Descomposición de una expresión algebraica en cuatro factores.

.      

Descomposición de una expresión algebraica en cuatro factores.

Procedimiento:

1) Se descompone la expresión algebraica en los factores que se necesiten, utilizando cualquiera de los 10 casos de Factorización, según el o los que sean necesarios.

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Ejemplos:

a) Descomponer en cuatro factores   2x⁴-32

> Buscando el factor común de 2x⁴   y   32, que es 2

> Se descompone la expresión en 2 factores:

2x⁴-32 = 2(x⁴-16)

> Se descompone x⁴-16 en dos factores:

x⁴-16 = (x²+4)(x²-4)

> Se descompone x²-4 en dos factores:

x²-4 = (x+2)(x-2)

--> 2x⁴-32 =  2(x²+4)(x+2)(x-2)   Solución

b) Descomponer en cuatro factores  a⁶-b⁶

> Descomponer la expresión como diferencia de cuadrados:

a⁶-b⁶ = (a³+b³)(a³-b³)

> Descomponiendo cada uno de los factores anteriores

como suma y como diferencia de cubos perfectos:

(a³+b³)(a³-b³) =  (a+b)(a²-ab+b²)(a-b)(a²+ab+b²)

--> a⁶-b⁶ =  (a+b)(a²-ab+b²)(a-b)(a²+ab+b²)  Solución.

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Ejercicio 108.

3) Descomponer en cuatro factores  x⁴-41x²+400

> Descomponiendo la expresión como Caso VI

x⁴-41x²+400 = (x²-25)(x²-16)

> Descomponiendo  x²-25  y  x²-16  como caso IV

x²-25 = (x+5)(x-5)

x²-16 = (x+4)(x-4)

--> la descomposición quedaría así:

x⁴-41x²+400 = (x+5)(x-5)(x+4)(x-4)  Solución.

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10) Descomponer en cuatro factores  12ax⁴+33ax²-9a

> Descomponiendo la expresión en su factor común:

El factor común de 12ax⁴+33ax²-9a  es  3a

--> = 3a(4x⁴+11x²-3)

> Descomponiendo 4x⁴+11x²-3 como Caso  VII

3a(4x⁴+11x²-3) = 3a(x²+3)(4x²-1)

Descomponiendo 4x²-1  como Caso IV:

3a(x²+3)(4x²-1) = 3a(x²+3)(2x+1)(2x-1)

-->  12ax⁴+33ax²-9ª =  3a(x²+3)(2x+1)(2x-1)  Solución.

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12) Descomponer en cuatro factores  x⁶-7x³-8

> Descomponiendo la expresión como Caso VI:

x⁶-7x³-8 =  (x³-8)(x³+1)

> Descomponiendo  x³-8   y   x³+1 como Caso IX:

x³-8 = (x-2)(x²-2x+4)

x³+1 = (x+1)(x²-2x+1)

--> La descomposición quedaría así:

x⁶-7x³-8 =  (x-2)(x²-2x+4)(x+1)(x²-2x+1)  Solución.

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Descomposición de una expresión algebraica en tres factores.

.         

Descomposición de una expresión algebraica en tres factores.

Procedimiento:

1) Buscar si hay un factor común en los términos de la expresión.

2) Si hay factor común en la primera expresión descomponerlo en dos factores.

3) Descomponer en dos factores, el factor que no es común en los dos encontrados.

4) La solución será la expresión con los tres factores encontrados.

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Ejemplos:

a) Descomponer en tres factores 5a²-5

> Buscando el factor común de 5a²  y  -5, que es 5

> Descomponiendo 5a²-5 en dos factores

5a²-5 = 5(a²-1)

> Descomponiendo en dos factores a²-1:

a²-1 = (a+1)(a-1)

-->  5a²-5 =  5(a+1)(a-1)  Solución.

b) Descomponer en tres factores 3x³-18x²y+27xy²

> Buscando el factor común 3x³  ;  -18x²y  ;  +27xy², que es 3x

> Descomponiendo 3x³-18x²y+27xy² en dos factores:

3x³-18x²y+27xy² = 3x(x²-6xy+9y²)

> Descomponiendo x²-6xy+9y²  en dos factores:

x²-6xy+9y² = (x-3y)² = (x-3y)(x+3y)

--> 3x³-18x²y+27xy² = 3x(x-3y)(x+3y)  Solución.

c) Descomponer en tres factores 6ax²+12ax-90a

> Buscando el factor común de  6ax²  ;  +12ax  ;  -90a, que es 6a

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

6ax²+12ax-90a = 6a(x²+2x-15)

> Descomponiendo  x²+2x-15 en dos factores:

x²+2x-15 = (x+5)(x-3)

--> 6ax²+12ax-90ª =  6a(x+5)(x-3)  Solución.

d) Descomponer en tres factores  8x³+8

> Buscando el factor común de 8x³  y  8, que es 8

>Descomponiendo en dos factores la expresión:

8x³+8 =  8(x³+1)

> Descomponiendo x³+1 en dos factores:

x³+1 = (x+1)(x²+x+1)

--> 8x³+8 =  8(x+1)(x²+x+1)  Solución.

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Ejercicio 107.

1) Descomponer en tres factores 3ax²-3a

> Buscando el factor común de 3ax²  y  -3a, que es 3a

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

3ax²-3a = 3a(x²-1)

> Descomponiendo x²-1 en dos factores:

x²-1 = (x+1)(x-1)

--> 3ax²-3a = 3a(x+1)(x-1)  Solución.

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2) Descomponer en tres factores  3x²-3x-6

> Buscando el factor común de 3x² , 3x  , 6, que es 3

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

3x²-3x-6 =  3(x²-x-2)

> Descomponiendo x²-x-2 en dos factores:

x²-x-2 = (x-2)(x+1)

--> 3x²-3x-6 =  3(x-2)(x+1)  Solución.

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3) Descomponer en tres factores  2a²x-4abx+2b²x

> Buscando el factor común de 2a²x  ;  4abx  ;  2b²x, que es 2x

> Descomponiendo la expresión en dos factores

2a²x-4abx+2b²x = 2x(a²-2ab+b²)

> Descomponiendo a²-2ab+b² en dos factores:

a²-2ab+b² = (a-b)² = (a+b)(a-b)

--> 2a²x-4abx+2b²x = 2x(a+b)(a-b)

ó = 2x(a-b)²  Solución.

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Suma o diferencia de potencias impares iguales. Caso X.

.                                        

Regla para  la suma  de dos potencias impares iguales (m⁵+n⁵) es  igual a dos factores:

el primer factor es la suma de las raíces de los términos (m+n)

el segundo factor es el primer término elevado a la 5-1=4,  menos el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  menos el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta. (m⁴ - m³n + m²n² - mn³ + n⁴)

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Regla para  La diferencia  de dos potencias impares iguales (m⁵ - n⁵) es  igual a dos factores:

el primero es la diferencia de las raíces de los términos (m-n)

el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  más el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  más el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta.

(m⁴ + m³n + m²n² + mn³ + n⁴)

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Ejemplo:

Factorar    x⁵ +32

1º  Encontramos la raíz quinta de los términos:

raíz quinta de x⁵ = x          ; raíz quinta de 32 = 2  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x +2)

3º  Formamos el segundo factor:

[x⁵⁻¹ - x⁵⁻²(2) +x⁵⁻³(2^²) - x⁵⁻⁴(2³) + (2)⁴)]

[x⁴ - x³(2) +x²(4) - x(8) + 16] = (x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)

--> x⁵ +32  =  (x +2)(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)  Solución
_________________________________________

Factorar    x⁷ - 1

1º  Encontramos la raíz séptima de los términos:

raíz séptima de x⁷ = x          ; raíz séptima de 1 = 1  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x - 1)

3º  Formamos el segundo factor:

[x⁷⁻¹ + x⁷⁻²(1) + x⁷⁻³(1²) + x⁷⁻⁴(1³) + x⁷⁻⁵(1⁴) +x⁷⁻⁶(1⁵) + (1⁶)]

[(x⁶ + x⁵(1) + x⁴(1) + x³(1) + x²(1)^4 +x(1) + 1] =

 = (x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x +1) -->

--> x⁷ -1  =  (x - 1)(x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x +1)  Solución

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NOTA:

Cuando el primer factor es suma (x+1), los signos del segundo factor son alternativamente "+" y  "-"

Cuando el primer factor es diferencia (x-1),  los signos del segundo factor son todos positivos " + "

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Ejercicio 105 del Libro.

3) Factorar    1 - x⁵

Raíz quinta de 1 = 1     ;    raíz quinta de x⁵ = x

--> 1er.  factor:   (1 -x)

.     2º.  factor: [1⁴ + 1³(x) + 1²(x²) + 1(x³) + x⁴] =

=  (1 + x + x² + x³ + x⁴) 

--> 1 - x⁵   =   (1 -x)(1 + x + x² + x³ + x⁴)   Solución

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4)  Factorar    a⁷  + b⁷

Raíz séptima de a⁷ = a         ;    raíz séptima de b⁷ = b

--> 1er.  Factor:  (a +b)

.    2º.  Factor:  [a⁶  -a⁵(b) +a⁴(b²) -a³(b³)  +a²(b⁴) -a(b⁵) +b⁶] =

(a⁶ - a⁵b + a⁴b² - a³b³ + a²b⁴ - ab⁵ + b⁶)

Solución:

a⁷ + b⁷  =  (a+b)(a⁶ -a⁵b +a⁴b² -a³b³ +a²b⁴ -ab⁵ +b⁶)

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6)  Factorar  a⁵+243

Raíz quinta de  a⁵ = a   ;    raíz quinta de 243 = 3

--> 1er.  Factor:  (a+3)   

.     2º. Factor:  [a⁴ - a³(3) + a²(3)² - a(3)³ + (3)⁴] =

= (a⁴ -3a³ +9a² - 27a +81)

--> a⁵ +243 = (a+3)(a⁴ -3a³ +9a² - 27a +81)   Solución.

________________________________________

7)    Factorar   32 -m⁵

Raíz quinta de 32 = 2       ;      Raíz quinta de m^5 = m

--> 1er. Factor:   (2 -m)

.     2º. Factor: [(2)⁴ + (2)³(m) + (2)²(m)² + (2)(m)³ + m⁴] =

=   (16 + 8m + 4m² + 2m³ +m⁴)

--> 32 -m⁵  =  (2 -m)(16 + 8m + 4m² + 2m³ +m⁴)  Solución.

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8)   Factorar   1 + 243x⁵

Raíz quinta de 1 = 1      ;     Raíz quinta de 243x⁵ = 3x

--> 1er. factor:  (1 + 3x)

.   2º. Factor:  [(1)⁴ - (1)³(3x) + (1)²(3x)² - (1)(3x)³ + (3x)⁴] =

=   (1 - 3x + 9x² - 27x³ + 81x⁴)

-->  1+243x⁵ = (1 +3x) (1 - 3x + 9x² - 27x³ + 81x⁴)  Solución.

_________________________________________

10)  Factorar   243 -32b⁵

Raíz quinta de  243 =  3     ;      Raíz quinta de 32b⁵ = 2b

-->  1er. Factor:   (3 -2b)

.   2º. Factor:   [(3)⁴ + (3)³(2b) + (3)²(2b)² + (3)(2b)³  + (2b)⁴] =

=    (81 + 54b + 36b² + 24b³ +16b⁴)

-->  la Solución es = 

 .    243 -32b⁵  =  (3 -2b)(81 + 54b + 36b² + 24b³ +16b⁴)

_________________________________________

11)   Factorar   a⁵ +b⁵c⁵

Raíz quinta de a⁵ = a     ;      Raíz quinta de b⁵c⁵ = bc

-->  1er. Factor:   (a + bc)

.   2º. Factor:  [(a)⁴ - (a)³(bc) + (a)²(bc)² - (a)(bc)³ + (bc)⁴]  =

= (a⁴ - a³bc + a²b²c² - ab³c³ + b⁴c⁴)

-->   la Solución es =

.   a⁵ +b⁵c⁵  =  (a⁴ - a³bc + a²b²c² - ab³c³ + b⁴c⁴)

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Suma o diferencia de cubos perfectos. Caso IX

.                         

1.  Regla  para la suma de cubos perfectos.

a³ +b³  =   (a+b)(a²-ab+b²)

La suma de dos cubos perfectos, es igual a la suma de sus raíces cúbicas, (a+b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a², menos el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíz cúbica, b².

Ejemplo:

Factorar o descomponer en 2 factores 27m⁶ +64n⁹

Se encuentra las raíces cúbicas de

.      27m⁶ = 3m²      y     64n⁹ = 4n³

--> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:   (3m²+4n³)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (3m²)² = 9m⁴

Producto de las 2 raíces cúbicas:  (3m²)(4n³) = 12m²n³

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (4n³)² = 16n⁶

-->  27m⁶+64n⁹  =  (3m²+4n³)(9m⁴ -12m²n³ +16n⁶)   Solución.

2.  Regla para la diferencia de cubos perfectos.  

a³ -b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

La diferencia de dos cubos perfectos, es igual a la diferencia de sus raíces cúbicas, (a-b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a^2, más el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíuz cúbica, b^2.

Ejemplo: 

Descomponer en 2 factores  8x³ -125

--> Se encuentra las raíces cúbicas de:

.     8x³  =  2x          y      125  =  5

--> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:  (2x -5)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2x)²  =  4x²

Producto de las 2 raíces cúbicas: (2x)(5) = 10x

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (5)² = 25

--> 8x³ -125  =  (2x -5)(4x² +10x +25)  Solución.

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Ejercicio 103 del Libro.

Descomponer en 2 factores :

1)  1 +a³

Raíz cúbica de 1  =  1          Raíz cúbica de a³ =  a

Suma de las raíces cúbicas:  (1 +a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)²  =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a)  =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)²  =  a²

--> 1 +a³  =  (1 +a)(1 -a +a²)  Solución.

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2)  1 -a³

Raíz cúbica de 1  =  1       y       Raíz cúbica de a³  =  a

Diferencia de las raíces cúbicas:  (1 -a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)²  =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a) =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)²  =  a²

-->  1 -a³  =  (1 -a)(1 +a +a²)     Solución.

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3)  x³ +y³

Raíz cúbica de x³  =  x                      Raíz cúbica de y³ =  y

Suma de las raíces cúbicas:  (x +y)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (x)²  = x²

Producto de las raíces cúbicas:  (x)(y)  =  xy

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (y)² =  y²

-->  x³ +y³  =  (x +y)(x² -xy +y²)    Solución.

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14)  64 +a⁶

Raíz cúbica de 64  =  4               Raíz cúbica de a⁶  =  a²

Suma de las raíces cúbicas:  (4 +a²)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (4)²  = 16

Producto de las raíces cúbicas:  (4)(a²) =  4a²

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a²)² = a⁴

-->  64 +a⁶  =  (4 +a²)(16 -4a² +a⁴)     Solución.

Recordatorio:

Para elevar una potencia a otra potencia;  Se eleva el coeficiente a la otra potencia, se copia la literal y se multiplican los exponentes:  (a²)² = a²*²= a⁴

Para encontrar la raíz cúbica de una potencia, se extrae la raíz cúbica del coeficiente, se copia la literal y se divide el exponente de la potencia entre el índice de la raíz cúbica (3) :  ∛8a⁶ = 2a⁶/³ = 2a².

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17)   8a³ +27b⁶

Raíz cúbica de 8a³  =  2a              Raíz cúbica de 27b⁶  =  3b²

Suma de las raíces cúbicas:  (2a +3b²)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2a)²  =  4a²

Producto de las raíces cúbicas:  (2a)(3b²) = 6ab²

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (3b²)²  =  9b⁴

-->   8a³ +27b⁶  =  (2a +3b²)(4a² -6ab² +9b⁴)    Solución.

Cubo perfecto de binomios. Caso VIII

.         

Condiciones que debe cumplir la expresión para ser un Cubo Perfecto de Binomios:

Sea la expresión:  a³  +3a²b  +3ab²  +b³ = (a+b)³

a) Debe tener 4 términos

b) Que el 1° y 4° término sean cubos perfectos.

c) Que el 2° término sea el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del 4°  término ( 3a²b)

d) Que el 3° término sea el triplo de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del 4° término (3ab²)

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Procedimiento para factorar una expresión que sea un Cubo Perfecto de Binomio:

Sea el ejemplo:  8x³ +12x² +6x +1

>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° términos:

raíz cúbica de  8x³ = 2x       y    raíz cúbica de  1 = 1  

>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:

2° término:   3(2x)²(1) = 3(4x²)(1) = 12x²

3° término:  3(2x)(1)² = 3(2x)(1) = 6x

>> Como todos los términos de la expresión dada 8x³ +12x² +6x +1, son positivos, el binomio resultante de la expresión es (2x+1)³.

Por lo tanto; 8x³ +12x² +6x +1 = (2x+1)³ ,   Es la Solución.

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Otro ejemplo: 8x⁶ +54x²y⁶ -27y⁹ -36x⁴y³

>> En este caso se ordena la expresión en relación a la letra “x” y quedaría así:

8x⁶  -36x⁴y³  +54x²y⁶  -27y⁹  –>

>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° término:

raíz cúbica de  8x⁶ = 2x²       ;   raíz cúbica de  27y⁹ = 3y³

>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:

2° término:  3(2x²)²(3y³) = 3(4x⁴)(3y³) = 36x⁴y³

3° término:  3(2x²)(3y³)² = 3(2x²)(9y⁶) = 54x²y⁶

>> Como los términos de la expresión son alternativamente positivos y negativos ( +, -, +, –) el binomio resultante de la expresión es:   8x⁶  -36x⁴y³  +54x²y⁶ -27y⁹  =  (2x² -3y³)³  que es la Solución

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NOTA:  Para extraer la raíz cúbica de un monomio, se le extrae raíz cúbica al coeficiente y se divide el exponente de la letra entre 3 :  8x⁶ –>   raíz cúbica de 8 es  2     y    6/3 = 2  –>  = 2x²

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Ejercicio 102 del Libro.

1)  Factorar   a³  +3a²  +3a  +1

Raíz cúbica de  a³ = a    ;    raíz cúbica de  1  = 1

2° término:   3(a)²(1) = 3(a²)(1) = 3a²   

3° término:   3(a)(1)² = 3(a)(1) = 3a  

Signos positivos –>  (a+1)³

Por lo tanto:   a³  +3a²  +3a  +1 = (a+1)³  Solución.

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2) Factorar     27 -27x +9x² -x³  (Está ordenado de menor a mayor grado)

Raíz cúbica de     27 = 3       ;       raíz cúbica de   x³ =  x

2° término:  3(3)²(x) =3(9)(x) = 27x  

3° término :  3(3)(x)² = 3(3)(x²) = 9x² 

Signos alternos (x, -, +, -) –>  (3-x)³

Por lo tanto:   27 -27x +9x² -x³  =  (3-x)³  Solución

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3) Factorar   m³  +3m²n  +3mn²  +n³

Raíz cúbica de m³ = m       ;       n³ = n

2° término:  3(m)²(n) = 3(m²)(n) = 3m²n  

3° término:  3(m)(n)² = 3(m)(n²) = 3mn² 

Signos positivos –>  (m+n)³

Por lo tanto:  m³  +3m²n  +3mn²  +n³ = (m+n)³  Solución

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4) Factorar    1  -3a  +3a²  -a³

Raíz cúbica de  1 = 1       ;      raíz cúbica de  a³ = a

2° término:  3(1)²(a) = 3(1)(a) = 3a  

3° término:  3(1)(a)² = 3(1)(a²) = 3a²  

Signos alternos (+, -, +, -) –>  (1-a)³

Por lo tanto:  1  -3a  +3a²  -a³ =   (1-a)³ Solución.

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