Trinomio de la forma ax² ± bx ± c. Caso VII

.                          

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax² +bx +c:

– El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.

– El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

– El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.

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Procedimiento para el trinomio de la forma ax² +bx +c: 

–Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios, se procede así:
Ejemplo: 6x² -7x -3

1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado:

6(6x² -7x +3) = 36x² -6(7x) -18

2°)   Se ordena tomando en cuenta que 36x² = (6x)²    y  6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera:  (6x)² -7(6x) -18

3°) Luego se procede a factorar  (6x)² -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6°

4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio:  (6x- )(6x+ )

5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2  porque:  -9 +2 = -7  y  (-9)(2) = -18 –>  =  (6x-9)(6x+2)

6°) Aquí está la variante:  Como al principio multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre  “6”

(6x-9)(6x+2) / 6   ;  como ninguno de los binomios es divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así:  (6x-9) / 3    y  (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así:  (2x-3)(3x+1). que sería la Solución.

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Ejemplo:

a) Factorar    20x² +7x -6

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente del 1° término (20):

20(20x² +7x -6) = 400x² +20(7x) -120, se ordena tomando en cuenta que 400x² = (20x)²  y  20(7x) = 7(20x),

quedaría así:   (20x)² +7(20x) -120

>> Se factoriza  (20x)² +7(20x) -120, como un Caso VI

Se encuentra dos factores binomios:  (20x +  )(20x-  )

Se buscan 2 #s cuya diferencia sea 7  y cuyo producto sea -120,

y estos son:  15 y -8, porque  15 -8 = 7   y  (15)(-8) = -120  –>

la Solución parcial sería :   (20x+15)(20x-8)

>> Aplicando la Solución   (20x+15)(20x-8) para el caso VII;

Como multiplicamos el trinomio original por 20, ahora dividimos la Solución por 20:
(20x+15)(20x-8)/20, 

como los binomios no son divisibles entre 20; –> descomponemos el 20 en 2 #s, tal que el 1° # divida a un factor binomio y el  2° # divida al otro factor:

y éstos son: 5 y 4 porque (20x+15) / 5 = (4x+3)  y  (20x-8) / 4 = (5x-2)

–> la Solución final es:  (4x+3)(5x-2) 

Bueno, pasemos a los problemas del Ejercicio 100

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Ejercicio 100 del Libro.

1) Factorar   2x² +3x -2

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

2(2x² +3x -2) = 4x² +2(3x) -4 = (2x)² +3(2x) -4

>> Factorando (2x)² +3(2x) -4 , como un Caso VI:

(2x+  )(2x- ) y buscando 2 #s  que son: 4  y  -1

porque  4-1 = 3  y  (4)(-1) = -4

–> la Solución parcial es:  (2x+4)(2x-1)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII, se procede así:

Como multiplicamos el trinomio original por 2; ahora dividimos la solución entre 2: (2x+4)(2x-1) / 2

Como los dos binomios no son divisibles entre 2, –> se descompone el # 2 en dos #s que son:  2 y 1  porque (2x+4) / 2 = (x+2)    y   (2x-1) / 1  = (2x-1)

–> la solución final es :  (x+2)(2x-1)  ó  (2x-1)(x+2) 

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2) Factorar   3x² -5x -2

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

3(3x² -5x -2) = 9x² -3(5x) -6 = (3x)² -5(3x) -6

>> Factorando (3x)² -5(3x) -6 como un Caso VI:

(3x –  )(3x +  ) y buscando 2 #s  que son:  -6   y  +1  

porque -6 +1 = -5   y  (-6)(1) = -6

–> la Solución parcial es:  (3x-6)(3x+1)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII, se procede así:

Como multiplicamos el trinomio original por 3; ahora dividimos la solución entre 3: (3x-6)(3x+1) /3

Como los dos binomios no son divisibles entre 3, –> se descompone el # 3 en dos #s  que son:  3  y  1 porque  (3x-6)  / 3 = (x-2)  y  (3x+1) / 1  = (3x+1)

–> la Solución final es:  (x-2)(3x+1)  ó  (3x+1)(x-2)

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3) Factorar   6x² +7x +2

>> Multiplicar el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

6(6x² +7x +2) = 36x² +6(7x) +12 = (6x)² +7(6x) +12

>> Factorando (6x)² +7(6x) +12  como un Caso VI:

(6x+  )(6x+  )  y buscando 2 #s  que son :  4 y 3

porque 4 +3 = 7    y   (4)(3) = 12

–> la solución parcial es:  (6x+4)(6x+3)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII :

Como multiplicamos el trinomio original por 6; ahora dividimos la solución entre 6: (6x+4)(6x+3)/ 6 

Como los dos binomios no son divisibles entre 6,  –>  se descompone el # 6 en dos #s que son : 2  y 3   porque (6x+4) / 2 = (3x+2)  y  (6x+3) / 3 = (2x+1)

–> la Solución final es: (3x+2)(2x+1) ó  (2x+1)(3x+2)

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4) Factorar    5x² +13x -6

>> Multiplicar el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

5(5x² +13x -6) = 25x² +5(13x) -30 = (5x)² +13(5x) -30

>> Factorando (5x)² +13(5x) -30 como un Caso VI:

(5x+   )(5x-   )  y buscando 2 #s  que son:  15  y  -2

porque 15 -2 = 13   y    (15)(-2) = -30

–> la Solución parcial es:  (5x+15)(5x-2)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII:

Como multiplicamos el trinomio original por 5; ahora dividimos la Solución entre 5: 

(5x+15)(5x-2)/ 5

Como los dos binomios no son divisibles entre 5, –> se descompone el # 5 en dos #s  que son: 5 y 1  porque  (5x+15) / 5  = (x+3)  y  (5x-2) / 1 = (5x-2)

–> la Solución final es : (x+3)(5x-2) ó (5x-2)(x+3)

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Trinomio de la forma x² ± bx ± c. Casos Especiales.

.              

Se procede de la misma manera que se explicó en el Ejercicio 98.

En estos problemas del Ejercicio 99, se presentarán algunas diferencias que serán explicadas.

Ejemplos:

a) Factorar  x⁴ -2x²-50 

Se encuentra la raíz cuadrada del primer término del trinomio:

√x⁴ = x²

Se forman dos factores binomios, cuyo primer término será x²:

(x²      )(x²   );

el signo que sigue al 1º término del 1º binomio es el mismo del 2º término del trinomio. y el signo que sigue al 1º término del 2º binomio es el producto de los signos del 2º y 3º términos del trinomio:

(x²-  )(x²+  )

Luego se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del 2º término del trinomio y cuyo producto sea igual al coeficiente del 3º término.

En este caso son -10  y  5;  porque -10+5= -5  y  (-10)(5)=-50

(x²-10)(x²+5)     Solución.

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b) Factorar  x⁶ +7x³ -44

√x⁶ = x³

Formando los dos factores binomios:

(x³+   )(x³-   )

Buscando dos números que sumen (7) y que su producto sea (-44)

Estos son 11 y -4,  porque 11-4=7  y  (11)(-4)=-44

(x³+11)(x³-4)  Solución.

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c)  Factorar:  a²b² -ab -42

√a²b² = ab

Formando los dos factores binomios:

(ab-   )(ab+   )

Buscando dos números que sumen (-1)  y que su producto sea (-42):

Son -7  y  6: porque -7+6=-1   y    (-7)(6)=-42:

(ab-7)(ab+6)  Solución.

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d) Factorar  (5x)² -9(5x) +8

√(5x)² = 5x

Formando factores binomios:

(5x-   )(5x-   )

Buscando dos números que sumen (-9) y su producto sea (8):

Son -8  y -1; porque -8-1=-9  y  (-8)(-1)=8

(5x-8)(5x-1)  Solución.
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e)  Factorar   x²-5ax-36a²

√x² = x

Formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-5a) y su producto sea (-36a²):

Son -9a  y 4a;  porque -9a+4a=-5a  y  (-9a)(4a)= -36a²

(x-9a)(x+4a)  Solución.

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f) Factorar   (a+b)²-12(a+b)+20

√(a+b)² = (a+b)

Formando factores binomios:

[(a+b)-   ][(a+b)-   ]

Buscando dos números que sumen (-12) y que su producto sea (20):

Son -10  y -2;  porque -10-2=-12   y   (-10)(-2)=20

[(a+b)-10][(a+b)-2]

(a+b-10)(a+b-2)  Solución.

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g) Factorar  28+3x-x²

-x²+3x+28  (ordenado)

x²-3x-28   (Se cambió signo a todos los términos del trinomio para volver  positivo el término cuadrático)

√x² = x

formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-3) y que su producto sea (-28):

Son -7  y  4 ; porque  -7+4=-3   y  (-7)(4)=-28

-(x-7)(x+4)   (Como el trinomio original ordenado empezaba con signo negativo, esta descomposición también debe empezar con signo negativo.

Para eliminar el signo negativo que precede a la descomposición, debe cambiársele signo a los términos de uno de los factores; lo haremos con (x-7).

(-x+7)(x+4)   Lo ordenamos y quedaría así:

(7-x)(x+4)   Solución.

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h) Factorar  30+y²-y⁴

-y⁴+y²+30  (ordenado)

y²-y²-30   (volviendo positivo el término cuadrático)

√y⁴ = y²

Formando factores binomios:

(y²-   )(y²+   )

Buscando dos números que sumen (-1) y que su producto sea (-30):

Son -6  y 5 ; porque  -6+5=-1   y   (-6)(5)=-30

(y²-6)(y²+5)

-(y²-6)(y²+5)

(6-y²)(y²+5)   Solución.

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Ejercicio 99 del Libro.

Factorar las siguientes expresisones:

1)  x⁴+5x²+4

Si  √x⁴ = x²

->  (x²+4)(x²+1)   Solución.
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2)  x⁶-6x³-7

Si √x⁶ = x³

-> (x³-7)(x³+1)   Solución.
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3) x⁸-2x⁴-80

Si  √x⁸ = x⁴

-> (x⁴-10)(x⁴+8)   Solución.
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4)  x²y²+xy-12

Si  √x²y² = xy

->  (xy+4)(xy-3)   Solución.
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5)  (4x)²-2(4x)-15

Si  √(4x)² = 4x

-> (4x-5)(4x+3)   Solución.
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6)  (5x)²+13(5x)+42

Si  √(5x)² = 5x

-> (5x+7)(5x+6)   Solución.
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7)  x²+2ax-15a²

Si  √x² = x

-> (x+5a)(x-3a)   Solución.
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8)  a²-4ab-21b²

En este caso la incógnita es la variable porque forma parte del término cuadrático.
Si √a² = a

-> (a-7b)(a+3b)   Solución.
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9)  (x-y)²+2(x-y)-24

Si  (x-y)² = (x-y)

-> [(x-y)+6][(x-y)-4]

(x-y+6)(x-y-4)   Solución.
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10)  5+4x-x²

-x²+4x+5   (ordenado)

x²-4x-5  (con signos cambiados)

Si  √x² = x

->  (x-5)(x+1)

-(x-5)(x+1)   (Agregando signo negativo a la descomposición de factores)

-> Quitando el signo negativo, pero cambiando los signos a los términos de uno de los factores, en este caso a (x-5)

(5-x)(x+1)  o  (x+1)(5-x)   Solución.
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30)  x⁴ +5abx -36a²b²

Si  √x⁴ = x²

->  (x²+9ab)(x²-4ab)   Solución.
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Trinomio de la forma x² ± bx ± c. Caso VI

.                      

El Trinomio de la forma x² ± bx ± c, debe cumplir las siguientes condiciones:

1) El coeficiente del 1° término debe ser 1.

2) El 1° término debe ser una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3) El 2° término tiene la misma letra que el 1° con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

4) El 3° término es una cantidad cualquiera positiva o negativa, sin letra como el 1° y el 2° término.

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Procedimiento para factorar   x² ± bx ± c

1°) Se descompone el trinomio en 2 factores binomios, cuyo 1° término en ambos factores, es la raíz cuadrada del primer término del trinomio. (x   )(x   )

2°) En el 1° factor después de la letra se escribe el signo del 2° término del trinomio ( x+  ), y en el 2° factor después de la letra se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del trinomio por el signo del 3° término del trinomio.  (+)(+) = + –> (x+  )

3°) Si los factores binomios tienen el mismo signo después de la letra (x+  )(x+  ) se buscan 2 números cuya suma sea igual al valor absoluto del coeficiente del 2° término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente del 3° término del trinomio.  Y estos 2 números se colocan como 2° términos dentro de los factores binomios.

4°) Si los 2 factores binomios tienen signos distintos después de la letra  (x+  )(x-  )   ó (x-  )(x+  ) se buscan 2 números cuya diferencia sea el valor absoluto del coeficientes del 2° término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente del 3°término del trinomio.   El mayor de estos 2 números es el 2° término del primer factor binomio y el menor es el 2° término del 2° factor binomio.

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Ejemplos:

a) Factorar x² +5x +6

1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x  –>  (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio :  signo del 2° término del trinomio es “+”

.     2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (+)(+) = “+” –-> (x+  )(x+  )

3°) Como los signos de los binomios son iguales:

.     números buscados: 3 y 2 porque :

.     3+2 = 5   que es igual al 2° término del trinomio.

.     (3)(2) = 6  que es igual al 3° término del trinomio.   –>  (x+3)(x+2),  Solución

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b) Factorar   x² -7x +12

1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x –> (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio : signo del 2° término del trinomio es “-“

.     2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (-)(+) = “-“ –> (x-  )(x-  )

3°) Como los signos de los binomios son iguales:

.      números buscados : 4 y 3 porque:

.      -4 -3 = -7 que es igual al 2° término del trinomio.

.      (-4)(-3) = 12  que es igual al 3° término del trinomio  –> (x-4  )(x-3  ), Solución.

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c) Factorar  x² +2x -15

1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x  –> (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio: signo del 2° término del trinomio es : “+”

.     2° binomio: producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (+)(-) = ” -” –> (x +)(x -)

3°) Como los signos de los binomios no son iguales:

.     números buscados : 5 y -3 porque:

.     5 -3 = 2 que es igual al 2° término del trinomio.

.     (5)(-3) = -15  que es igual al 3° término del trinomio  –> (x +5)(x -3) , Solución.

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d) Factorar    x² -5x -14

1°) Descomponer el trinomio en 2 factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x –>  (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio: signo del 2° término del trinomio es :  “-“

.     2° binomio: producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (-)(-) = ” +”  –> (x – )(x +)

3°) Como los signos de los binomios son iguales:

.      Números buscados : -7 y 2  porque:

.     -7 +2 = -5   que es igual al 2° término del trinomio.

.     (-7)(2) = -14   que es igual al 3° término del trinomio.  –> (x -7)(x +2), Solución.

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EJERCICIO 98.

1) Factorar x² +7x +10

Raíz cuadrada de x² = x

El signo del 2°término del trinomio es  “+”

El producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (+ )(+ ) = “+”

Los números buscados : 5 y 2 porque

5 +2 = 7   y  (5)(2) = 10  –>

x² +7x +10 =  (x +5)(x +2), que es la Solución.

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2) Factorar   x² -5x +6

Raíz cuadrada de x² = x

El signo del 2° término del trinomio es “-“

El producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (- )(+ ) = “-“

Los números buscados : -3  y -2   porque

-3  -2 = -5   y  (-3)(-2) = 6  –>

x² -5x +6  =  (x -3)(x -2),  que es la Solución.

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3) Factorar   x² +3x -10

Raíz cuadrada de x² = x

El signo del 2° término del trinomio es  ” + “

El producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (+)(-)= ” – “

Los números buscados : 5  y  -2  porque

5-2 = 3   y   (5)(-2) = –10  –>

x² +3x -10  =  (x+5)(x-2), que es la Solución.

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8) Factorar     x² -6 -x  (ordenado es = x² -x -6)

Raíz cuadrada de x² = x

Signo del 2° término del trinomio es   ” – “

Producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio : (-)(-) = ” + “

Números buscados: -3  y  2   porque

-3  +2 = -1x = -x    y   (-3)(2) = -6  –>

x² -x -6  =  (x-3)(x+2), que es la Solución.

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22) Factorar  28 +a² -11a  (ordenado es) = a² -11a +28

Raíz cuadrada de a² = a

Signo del 2° término del trinomio es  ” –  “

Producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio: (-)(+) = ” – ”

Números buscados:  -7   y  -4   porque

-7 -4 = -11    y    (-7)(-4) = 28   –>

a² -11a +28  = (a-7)(a-4) , que es la Solución.

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46)  Factorar   n² +43n +432

Raíz cuadrada de n² = n

Signo del 2° término del trinomio es  ” + “

Producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio: (+)(+) = ” + “

Números buscados:  27  y  16   porque

27 + 16 = 43    y    (27)(16) = 432  –>

n² +43n +432  =  (n+27)(+16) , que es la Solución.

Nota: Para buscar los números, cuando las coeficientes del 2° y 3° términos del trinomio, son más grandes, se puede hacer descomponiendo el 3° término del trinomio en sus factores primos, así:

432 | 2

216 | 2

108 | 2

54   | 2

27   | 3

9     | 3

3     | 3

1 —|       –> (2^4)(3^3) = (16)(27) = 432   y también 16 +27 = 43

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48)  Factorar  m² -8m -1008

Raíz cuadrada de m² = m

Signo del 2° término del trinomio es  ” – “

Producto de los signos del 2° y 3° término del trinomio es: (-)(-) = ” + “

Números buscados:  -36    y  28   porque

-36 +28 = -8     y     (-36)(28) = -1008  –>

m² -8m -1008  =  (m-36)(m+28) , que es la Solución.

Nota:  En este caso también para encontrar los números buscados, se descompone el 3° término del trinomio en sus factores primos; como se explicó en el problema 46.

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Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Caso V.

.                            

Procedimiento:

Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.

Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto.  Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:

Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.

Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos (Caso IV).

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Ejemplo:  Factorar    x⁴ +x²y² +y⁴

1º) Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto:

raíz cuadrada de x⁴ = x²      ;     Raíz cuadrada de y⁴ = y²

el 2º  término debiera ser  2(x²)(y²) = 2x² y²

Comparando 2º término (2x²y²) - (x²y²) = x²y²  lo que le falta

2º) Convirtiendo a trinomio cuadrado  perfecto, sumando la diferencia que falta al 2º término y restando la misma diferencia al trinomio dado, así:

x₄ + x²y² + y⁴                     (Trinomio original)

.   + x²y²         - x²y²     (sumando y restando lo que le hace falta)

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x⁴ +2x²y² +y⁴  -x²y²  = (x⁴ +2x²y² +y⁴) -x²y² (resultado de convertir el trinomio)

3º) Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III:

(x⁴ +2x²y² +y⁴)  - x²y² =  (x² + y²)² - x²y²

4º) Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV:

(x² + y²)² - x²y²  = (x² +y² +xy)(x²y² -xy)

Ordenado sería = (x² +xy +y²)(x² -xy+y²) <-- Solución

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Ejercicio 96 del Libro.

1) Factorar a⁴+a²+1 = 

>  Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz cuadrada de a⁴ = a²     ;   raíz cuadrada de 1 = 1

El 2º término debe ser: 2(a²)(1) =  2a²

>  Comparando los 2ºs términos:  2a² - a² = a²  <--lo que falta.

>  Convirtiendo a cuadrado perfecto (sumando lo que falta al 2º término y restando la diferencia que falta al trinomio dado):

a⁴ + a²  + 1

.   + a²        -a²

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a⁴ +2a² + 1 -a²  =  (a⁴ +2a² +1) - a²

>  Factorando el trinomio cuadrado perfecto como en el Caso III:

(a⁴ +2a² +1) - a² =  (a² +1)² - a²

>  Factorando como diferencia de cuadrados perfectos:

(a² +1)² - a² = (a² +1 +a)(a² +1 -a)  

ordenado quedaría así (a² +a+1)(a²-a+1)  <--Solución

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2) Factorar m⁴+m²n²+n^4 

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz² de  m⁴ = m²    ;   raíz² de n⁴ = n²

--> el 2º término debe ser: 2(m²)(n²) = 2m²n²

Comparando los 2ºs términos:  2m²n² - m²n² = m²n² <-- le falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

m⁴ + m²n² + n⁴

.    + m²n²         - m²n²

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m⁴ +2m²n² + n⁴ - m²n²  =  (m⁴+2m²n²+n⁴) -m²n²

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto como Caso III

(m⁴+2m²n²+n⁴) - m²n²  =  (m² + n²)²  - m²n²

>> Factorando como Diferencia de Cuadrados ( Caso IV)

(m²+ n²)² - m²n² = (m² +n² +mn)(m² +n² -mn)

ordenado quedaría así :  (m² +mn+n²)(m² -mn+n²) Solución

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3) Factorar x⁸ +3x⁴ +4

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz² de x⁸ = x⁴   ;   raíz² de 4 = 2

--> el 2º término debería ser :  2(x⁴)(2) = 4x⁴

Comparando los 2ºs términos:   4x⁴  -  3x⁴ = x⁴  Es lo que falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

x⁸ +3x⁴ +4

.       x⁴ +4 -x⁴

___________

x⁸ +4x⁴ +4 -x⁴  =   (x⁸ +4x⁴ +4) -x⁴

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III

(x⁸ +4x⁴ +4)  - x⁴  =  (x⁴ +2)²  - x⁴

>> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV

(x⁴ +2)² -x⁴  =  (x⁴ +2 +x²)(x⁴ +2 -x²)

ordenando quedaría así :  (x⁴ +x² +2)(x⁴ -x² +2)  Solución

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4) Factorar    a⁴ +2a² +9 

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz² de a⁴ = a²     ;      raíz² de 9 = 3

--> el 2° término sería:  2(a²)(3) = 6a²

--> comparando los 2° términos :   6a²   -   2a² = 4a²  lo que falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

a⁴ +2a² +9

.   +4a²      -4a²

____________

a⁴ +6a² +9 -4a²   =   (a⁴ +6a² +9) - 4a²

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III

(a⁴ +6a² +9) -4a² = (a² +3)²  - 4a²

>> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV

(a² +3)² - 4a² = (a² +3 +2a)(a² +3 -2a)

ordenado quedaría así:  (a² +2a +3)(a² -2a +3)   Solución

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17) Factorar  25x⁴-139x²y²+81y⁴

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto

√25x⁴ = 5x²

√81y⁴ = 9y²

El 2° término debe ser  -2(5x²)(9y²) =  -90x²y²

Comparando los dos 2° términos:

-139x²y²  ( trinomio original)

-  90x²y²  (como debería ser)

-  49x²y²   ( es lo que se pasa)

Entonces a la ecuación original debemos quitarle +49x²y²

>> Convirtiendo la expresión a trinomio cuadrado perfecto,

por adición y sustracción, se hace así:

25x⁴ -139x²y² +81y⁴

.          49x²y²            -49x²y²

25x⁴ -  90x²y² +81y⁴ -49x²y²

= (25x⁴-90x²y²+81y⁴) - 49x²y²

>> Factorando el trinomio cuadrado como (Caso III)

= (5x²-9y²)² - (7xy)²

>> Factorando toda la expresión como diferencia de cuadrados (Caso IV)

(5x²-9y²+7xy)(5x²-9y²-7xy)

>> Ordenando los factores:

= 5x²+7xy-9y²)(5x²-7xy-9y²) <--  Solución.

Combinación de Casos de Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados.

.                     

Procedimiento General.

1) Agrupar los términos de la expresión algebraica dada en dos grupos; formando uno o más Trinomios Cuadrados  Perfectos (a²+2ab+b²).  Los términos que no sean T.C.P.  se restan del trinomio.  Cuando se forman dos trinomios se escriben uno menos el otro (a²+2ab+b²) - (x²+2xy+y²).

2) Se factoriza el trinomio o trinomios para convertirlos en un binomio al cuadrado (a+b)²

3) Si son dos binomios al cuadrado los encontrados se escriben como Diferencia de Cuadrados Perfectos (a+b)² - (x+y)².  Si solo es un binomio al cuadrado el encontrado, este se escribe restándole el otro término que no formó parte del trinomio (a+b)² – c².

Veamos unos ejemplos para su mejor comprensión:

Ejemplo 1)  Descomponer o factorar  a² +m² -4b² -2am

> Formando un trinomio cuadrado perfecto con 3 de los términos de la expresión dada:

a² -2am +m²

> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto encontrado:

a² -2am +m² = (a-m)²

> Restándole al binomio al cuadrado encontrado el otro término de la expresión dada:

(a-m)² – 4b²

> Esta nueva expresión es una Diferencia de Cuadrados Perfectos y se procede a factorizarla:

(a-m)² – 4b²

= [(a-m)+2b)][(a-m)-2b]

= (a-m+2b)(a-m-2b)   Solución.

Ejemplo 2) Descomponer o factorar  4x² -a² +y² -4xy +2ab -b²

> Formando trinomios cuadrados perfectos (en este caso se pueden formar dos), buscando el que sería el 2° término de cada trinomio.

-4xy es el resultado de -2(√4x²)(√y²) = -2(2x)(y) =  -4xy

2ab  es el resultado de  2(√-a²)(√-b²) = 2(-a)(-b) = 2ab

> Los trinomios quedarían así:

(4x² -4xy +y²) - (a² -2ab +b²)

> Convirtiendo los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:

(4x² -4xy +y²) - (a² -2ab +b²)

= (2x-y)² – (a-b)²

> Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos encontrada:

(2x-y)² – (a-b)²

= [(2x-y) + (a-b)][(2x-y) - (a-b)]

= (2x-y+a-b)(2x-y-a+b)   Solución.

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Ejercicio 95 del Libro.

Factorar o descomponer en dos factores:

1) a² +2ab +b² –x²

> Formando un trinomio cuadrado perfecto y factorándolo:

(a²+2ab+b²)

= (a+b)²

> Formando una diferencia de cuadrados pefectos:

(a+b)² – x²

> Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a+b)² – x²

= [(a+b) +x][(a+b) -x]

= (a+b+x)(a+b-x) Solución.

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2) x² -2xy +y² –m²

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

(x² -2xy +y²)

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

x²-2xy +y² = (x-y)²

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)² – m²

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)² – m²

= [(x-y)+m][(x-y) +m]

= (x-y+m)(x-y-m) Solución.

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3) m² +2mn +n² -1

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

m²+2mn+n²

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

m²+2mn+n² = (m+n)²

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)² -1

Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)² -1

= [(m+n) +1][(m+n) -1]

= (m+n+1)(m+n-1)   Solución.

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4) a² -2a +1 –b²

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a² -2a +1

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

a² -2a +1 = (a-1)²

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)² -b²

>Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)² -b²

= [(a-1) +b][(a-1) -b]

= (a-1+b)(a-1-b)    ordenado sería:

= (a+b-1)(a-b-1   Solución.

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7) a² +4 -4a -9b²

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a² -4a +4

> Factorando  el trinomio cuadrado perfecto:

a² -4a +4 = (a-2)²

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)² -9b²

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)² -9b²

= [(a-2) +3b][(a-2) -3b]

= (a-2+3b)(a-2-3b)     ordenado sería:

= (a+3b-2)(a-3b-2)    Solución.

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28) x² +4a² -4ax –y² -9b² +6by

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(x² -4ax +4a²) – (–y²+6by-9b²)

> Factorando los trinomios cuadrados perfectos:

(x² -4ax +4a²) – (y²-6by+9b²)

= (x-2a)² – (y-3b)²

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

= (x-2a)² – (y-3b)²

= [(x-2a) +(y-3b)][(x-2a) – (y-3b)]

= (x-2a+y-3b)(x-2a-y+3b)    Solución.

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30)  9x² +4y² -a² -12xy -25b² -10ab

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(9x² -12xy +4y²) – (a² +10ab +25b²)

> Factorando los trinomios cuadrados:

(9x² -12xy +4y²) – (a² +10ab +25b²)

= (3x-2y)² – (a+5b)²

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

(3x-2y)² – (a+5b)²

= [(3x-2y)+(a+5b)][(3x-2y)-(a+5b)]

= (3x-2y+a+5b)(3x-2y-a-5b)   Solución.

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