Factor común polinomio. Caso I

.                   

Procedimiento:

1) Se copia el factor común de los polinomios y se escribe como primer factor de la solución.

2) Con los factores no comunes de los polinomios se forma el segundo factor de la solución.

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Ejemplos:

a) Descomponer x(a+b) + m(a+b) = (a+b)(x+m)

1º) Factor común (a+b)

2º) Factores no comunes "x" y "m" --> (x+m)

Solución:  (a+b)(x+m)

b) Descomponer 2x(a-1) - y(a-1) = (a-1)(2x-y)

1º) Factor común (a-1)

2º) Factores no comunes  "2x" y "-y" --> (2x-y)

Solución: (a-1)(2x-y)

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Ejercicio 90 del Libro.

Descomponer en factores:

1) a(x+1)+b(x+1) = (x+1)(a+b)

Factor común:  (x+1)   

Factores no comunes: "a"  y  "b" --> (a+b)

Solución:  (x+1)(a+b)

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2) x(a+1)-3(a+1) = (a+1)(x-3)

Factor común: (a+1)  

Factores no comunes: "x"  y  "-3" --> (x-3)

Solución: (a+1)(x-3)

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3) 2(x-1)+y(x-1) = (x-1)(2+y)

Factor común: (x-1) 

Factores no comunes: "2"  y  "y" --> (2+y)

Solución:  (x-1)(2+y)

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4) m(a-b) +(a-b)n = (a-b)(m+n)

Factor común: (a-b)  

Factores no comunes:  "m"  y  "n" --> (m+n)

Solución: (a-b)(m+n)

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5) 2x(n-1)-3y(n-1) = (n-1)(2x-3y)

Factor común: (n-1) 

Factores no comunes: "2x"  y  "-3y" --> (2x-3y)

Solución:  (n-1)(2x-3y)

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6) a(n+2)+n+2 = a(n+2)+(n+2) = (n+2)(a+1)

Factor común: (n+2)

Factores no comunes "a"  y  "1" --> (a+1)

Solución: (n+2)(a+1)

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7) x(a+1)-a-1 = x(a+1)-(a+1) = (a+1)(x-1)

Factor común: (a+1)

Factores no comunes: "x"  y  "-1" --> (x-1)

Solución: (a+1)(x-1)

En este caso los dos últimos términos  "-a-1" se introducen entre paréntesis, (con su signo cambiado) precedidos del signo menos -(a+1).  Y se inicia el procedimiento normal.

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8) a^2 +1 -b(a^2+1) = (a^2 +1)-b(a^2 +1) = (a^2 +1)(1-b)

Factor común: (a^2 +1) 

Factores no comunes: "1"  y  "-b" --> (1-b)

Solución:  (a^2 +1)(1-b)

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13) a^3(a-b+1)-b^2(a-b+1) = (a^3 -b^2)(a-b+1)

Factor común:  (a-b+1)  ;

Factores no comunes: "a^3"   y  "-b^2" --> (a^3 -b^2)

Solución: (a-b+1)(a^3 -b^2)

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16) (x+y)(n+1)-3(n+1)    =  (n+1)(x+y-3)

Factor común: (n+1)  ;

Factores no comunes:   "(x+y)"   ;   " -3 "    Estos se colocan dentro de paréntesis como un factor de la solución,   -->   quedaría así:   (x+y -3)

Solución: (n+1)(x+y -3)

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 20)  Factorar :    a(x-1)-(a+2)(x-1) = -2(x-1) 

Factor común:  (x-1)

Factores no comunes: "a"  y  -(a+2) que es igual a (-a-2); luego se colocan dentro de un mismo paréntesis como un factor de la solución, -->  (a-a-2) = (-2)

Solución:  (x-1)(-2), también se puede escribir así (-2)(x-1) ó -2(x-1)

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23) Factorar   (m+n)(a-2)+(m-n)(a-2)

Factor común:   (a-2)

Factores no comunes:  (m+n)+(m-n) =

= (m+n+m-n) <-- (Se eliminan +n  y -n y se suman las m) = 2m

Entonces (a-2)(2m) = 2m(a-2)  Solución.

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26) Factorar  (a+b-1)(a^2+1)  - a^2-1

> agrupando:

(a+b-1)(a^2+1) - (a^2+1)

[En este caso al poner entre paréntesis  -a^2-1, anteponemos al primer paréntesis el signo del primer término que vamos a agrupar, que es negativo " - " , entonces se debe cambiar el signo a los términos que irían entre los paréntesis  -(a^2+1).]

Al formar los factores de la solución quedaría así:

Factor Común (a^2+1)

Factores no comunes (a+b-1)+(-1) = (a+b-1-1) = (a+b-2)

Solución:  (a^2+1)(a+b-2)

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32)  (3x+2)(x+y-z)-(3x+2)-(x+y-1)(3x+2)

= (3x+2)(x+y-z)-(1)(3x+2)-(x+y-1)(3x+2)

[Todo factor que no tiene un coeficiente que le anteceda, se sobreentiende que está multiplicado por (1), que es el caso de -(3x+2), entonces es (1)(3x+2)]

> Ordenando:

(3x+2)(x+y-z)-(3x+2)(1)-(3x+2)(x+y-1)

> Factor común:  (3x+2)

> Factores no comunes: (x+y-z)-(1)-(x+y-1)=(x+y-z-1-x-y+1)=-z

(Se eliminó la x con la -x; la y con la -y; y -1 con +1; quedando solamente la -z, que forma el otro factor de la solución)

Entonces se forman los factores de la solución así:

(3x+2)(-z)

= (-z)(3x+2)

= -z(3x+2)   Solución.

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Factor común por agrupación de términos. Caso II

.              

Procedimiento.

1) Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común, separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo.

2) La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupen tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales.

3) Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común Polinomio.

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Ejemplos:

a) ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y)

1º) Agrupar términos que tienen factor común: (ax+bx) + (ay+by)

2º) Factorando por el factor común: x(a+b) + y(a+b)

3º) Formando factores: uno con  los términos con factor común y otros con los términos no comunes (a+b)(x+y), que es la solución.

b) 3m^2 -6mn +4m -8n = (m-2n)(3m+4)

1º) Agrupando términos que tiene factor común: (3m^2 -6mn)+(4m-8n)

2º) Factorar por el factor común: 3m(m-2n) + 4(m-2n)

3º) Formando factores: (m-2n)(3m+4)   <-- Solución.

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Ejercicio 91 del Libro.

Factorar o descomponer en factores:

1) a^2+ab+ax+bx = (a+b)(a+x)

1º) Agrupar términos con factor común: (a^2+ab)+(ax+bx)

2º) Factorar por el factor común: a(a+b)+x(a+b)

3º) Formando factores:  (a+b)(a+x)  <--Solución

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2) am-bm+an-bn = (a-b)(m+n)

1º) Agrupar términos con factor común: (am-bm)+(an-bn)

2º) Factorar por el factor común: m(a-b) +n(a-b)

3º) Formando factores:  (a-b)(m+n)  <-- Solución.

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3) ax-2bx-2ay+4by = (a-2b)(x-2y)

1º) Agrupar términos con factor común: (ax-2bx)-(2ay-4by)

2º) Factorar por el factor común: x(a-2b)-2y(a-2b) =

3º) Formando factores: (a-2b)(x-2y) <-- Solución.

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4) a^2x^2 -3bx^2 +a^2y^2 -3by^2 = (a^2 -3b)(x^2 +y^2)

1º) Agrupar términos con factor común: (a^2x^2 -3bx^2)+(a^2y^2 -3by^2)

2º) Factorar por el factor común: x^2(a^2 -3b)+y^2(a^2 -3b)

3º) Formando factores: (a^2 -3b)(x^2 +y^2) <-- Solución.

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5) 3m-2n-2nx^4+3mx^4 = (3m -2n)(1 +x^4)

1º) Agrupar términos con factor común: (3m+3mx^4) -(2n+2nx^4)

2º) Factorar por el factor común: 3m(1+x^4) -2n(1+x^4)

3º) Formando factores: (3m-2n)(1+x^4) <-- Solución.

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6) x^2 -a^2 +x -a^2x = (x-a^2)(x+1) 

1º) Agrupar términos con factor común: (x^2 +x) -(a^2 +a^2x)

2º) Factorar por el factor común: x(x+1) -a^2(1+x)

3º) Formando factores: (x+1)(x-a^2) = (x-a^2)(x+1) <-- Solución.

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7) Factorar  4a^3 -1 -a^2 +4a

1°) Agrupando términos por el factor común  :  (4a^3 -a^2)+(4a -1)

2°) Factorando términos por el factor común :  a^2(4a -1)+1(4a -1)

3°) Formando factores :  (a^2+1)(4a-1)  <--   Solución.

Nota:  Al factorizar (4a-1), su factor comun es "1"; por eso queda

en   1(4a-1).

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9) 3abx^2-2y^2-2x^2+3aby^2 = (3ab -2)(x^2 +y^2)

1º) Agrupar términos con factor común: (3abx^2 -2x^2)+(3aby^2 -2y^2)

2) Factorar por el factor común: x^2(3ab -2)+y^2(3ab -2)

3º) Formando factores: (3ab -2)(x^2 +y^2) <-- Solución.

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19)  4am3-12amn -m2 +3n

> Agrupando términos por factor común:  (4am3-m2) - (12amn+3n)

< Factorando por el factor común: m2(4am-1) -3n(4am-1)

< Factorando factores:   (m2-3n)(4am-1)  <--  Solución.

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20) 20ax-5bx-2by+8ay = (4a -b)(5x +2y)

1º) Agrupar términos con factor común: (20ax -5bx)+(8ay -2by)

2º) Factorar por el factor común: 5x(4a -b)+2y(4a -b)

3º) Formando factores: (4a-b)(5x+2y)  <-- Solución.

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Factor Común monomio. Caso I

.                     

En una manera general, un monomio se puede descomponer en factores distintos de 1, por simple inspección, tal es el caso de 15ab = (3)(5)(a)(b). 

Para efectos del Caso I estudiaremos la descomposición de monomios de dos o más factores distintos de 1.

Procedimiento.

1) Se encuentra un factor que divida a ambos monomios.

2) Se encuentra el factor común de las letras, que es el de menor exponente que divida a los monomios.

3) Si los coeficientes no tienen un factor común, pero si un factor común las letras, se copian dentro del paréntesis, los mismos coeficientes.

4) Si las letras no tienen un factor común, pero si hay factor común de los coeficientes, se copian dentro del paréntesis las mismas letras.

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Ejemplos.

a) Descomponer en factores a^2 +2a = a(a +2)

En este caso se encuentra el factor común de los monomios a^2 y 2a; y este es "a"; luego se escribe entre paréntesis los factores (a) y (2 ) que multiplicados por el factor común (a), den como resultado los monomios dados originalmente.

--> Factor común:  a  porque a(a) = a^2  y a(2) = 2a

--> la solución es:  a(a +2)

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b) Descomponer en factores 10b -30ab^2 = 10b(1 -3ab)

En este caso se encuentra el factor común de los monomios 10b  y  30ab^2; y este es "10b"; y luego se escribe entre paréntesis los factores (1) y (-3ab) que multiplicados por el factor común (10b), den como resultado los monomios dados originalmente.

--> Factor común : 10b   porque  10b(1) = 10b    y  10b(-3ab ) = -30ab^2

--> la solución es:  10b(1 -3ab)

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c) Descomponer en factores 10a^2 -5a +15a^3

En este caso el factor común de los monomios 10a^2 , -5a y 15a^3  es "5a"; y luego se escribe entre paréntesis los factores (2a),  (-1) y (3a^2) que multiplicados por el factor común (5a), dan como resultado los monomios originales.

--> Factor común es:  5a  porque

5a(2a) = 10^2 ,     5a(-1) = -5a     y   5a(3a^2) = 15a^3

--> la solución es:   5a(2a  -1  +3a^2)

Para comprobar el resultado se multiplica el factor común por cada uno de los términos que están dentro del paréntesis; y el producto debe ser igual al polinomio original.

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Ejercicio 89 del Libro

Factorar:

1) a^2 +ab = a(a +b)

Factor común : a  porque a(a) = a^2   y a(b) = ab

--> la solución es: a(a +b)

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2) b+b^2 = b(1 +b)

Factor común:  b  porque  b(1) = b   y   b(b) = b^2

--> la solución es:  b(1 +b)

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3) x^2 +x = x(x +1)

Factor común:  x  porque  x(x) = x^2   y   x(1) = x

--> la solución es:  x(x +1)

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4) 3a^3 -a^2 = a^2(3a -1)

Factor Común: a^2   porque a^2(3a) = 3a^3  y  a^2(-1) = -a^2

--> la solución es:   a^2(3a -1)

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5) x^3 -4x^2 = x^2(x -4)

Factor común:  x^2   porque x^2(x) = x^3   y   x^2(-4) = -4x^2

--> la solución es:  x^2(x-4)

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6) Factorar 5m²+15m³

> Encontramos el factor común de los coeficientes y de las letras:

Factor común de 5 y 15 que es 5 (es el único factor común de estos dos números)

Factor común de m² y m³ , que es m² (porque es el de menor exponente)

--> El factor común de los monomios es  5m²

> Se escriben primero el factor común de los monomios (5m²) y seguido se escriben entre paréntesis los factores que resulten de dividir cada monomio entre el factor común (5m²):

5m² ÷ 5m² = 1

15m³ ÷ 5m² = 3m³⁻² =3m¹ = 3m

--> se escribe el resultado: factor común(Factores cocientes con su respectivo signo):

5m²(1+3m), que es la solución.

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7) ab -bc = b(a -c)

Factor común:  b    porque  b(a) = ab   y   b(-c) = -bc

--> la solución es:   b(a -c)

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10) 8m^2 -12mn = 4m(2m -3n)

Factor común: 4m   porque   4m(2m) = 8m^2  y   4m(-3m) = -12mn

--> la solución es:  4m(2m -3n)

En este caso la "m" es común en las letras de los monomios y el "4" es común en los coeficientes de los monomios;  porque ambos dividen a cada uno de monomios o (términos) del polinomio.

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12) 15c^3d^2 +60c^2d^3 = 15c^2d^2(c +4d)

Factor común: 15c^2d^2    porque

15c^2d^2(c) = 15c^2d^2  y 15c^2d^2(4d) = 60c^2d^3

--> la solución es: 15c^2d^2(c +4d)

Para este caso y para otros: el factor común de las letras deberá ser el de menor exponente, para que divida a los dos o más monomios.

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16) a^3 +a^2 +a = a(a^2 +a +1)

Factor común:  a  porque   a(a^2) = a^3  ,   a(a) = a^2   y   a(1) = a

--> la solución es:   a(a^2 +a +1)

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18) 15y^3 +20y^2 -5y = 5y(3y^2 +4y -1)

Factor común: 5y   porque

5y(3y^2) = 15y^3  ,   5y(4y) = 20y^2   ,  5y(-1) = -5y

--> la solución es:   5y(3y^2 +4y -1)

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Ecuaciones enteras de 1er. grado con productos indicados.

Procedimiento:

1°) Se efectúan los productos indicados en la expresión.

2°) Se transponen los términos comunes (dejando las incógnitas a la izquierda y los valores conocidos a la derecha).

3°) Se reducen los términos semejantes en cada miembro de la ecuación.

4°) Se simplifica el resultado para encontrar la solución.

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Ejemplos:

a) Resolver 10(x-9) -9(5-6x) = 2(4x-1) +5(1+2x).

> Efectuando los productos es igual a:

.     10x-90-45+54x = 8x-2+5+10x

> Transponiendo términos comunes es igual a:

.     10x+54x-8x-10x = -2+5+90+45

> Reduciendo los términos comunes es igual a:

.      46x = 138

> Simplificando para encontrar la Solución es igual a:

.     x = 138/46

.     x = 3    que es la Solución.

b) Resolver 4x -(2x+3)(3x-5) = 49 -(6x-1)(x-2).

> Efectuando los productos indicados es igual a:

.     4x -(6x^2 -x-15) = 49 -(6x^2 -13x+2)

(Se saca el resultado de los productos del paréntesis pero con el signo cambiado)

y es igual a:  4x-6x^2+x+15 = 49-6x^2+13x-2

> Transponiendo los términos comunes es igual a:

.     6x^2-6x^2+4x+x-13x = 49-2-15

> Reduciendo los términos semejantes es igual a:

.     -8x = 32

> Simplificando para encontrar la solución es igual a:

.     x = 32/-8

.     x = -4      Solución.

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Ejercicio 80.

1) Resolver     x +3(x-1) = 6 -4(2x+3).

>     x+3x-3 = 6-8x-12

>     x+3x+8x = 6-12+3

>                  12x= -3

>                       x = -3/12

>                       x = - 1/4     Solución.

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2) Resolver    5(x-1) +16(2x+3) = 3(2x-7) -x

>     5x-5+32x+48 = 6x-21-x

>     5x+32x-6x+x = -21+5-48

>                            32x = -64

>                                 x = -64/32

>                                 x = -2     Solución.

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3) Resolver    2(3x+3) -4(5x-3) = x(x-3) -x(x+5).

>     6x+6-20x+12 = x^2 -3x -x^2 -5x     (x^2 y -x^2 se eliminan)

>     6x-20x+3x+5x = -6-12

>                             -6x= -18

>                                 x = -18/-6

.                                   x = 3      Solución.

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4)  Resolver    184 -7(2x+5)= 301 +6(x-1) -6.

>     184-14x-35 =301+6x-6-6

>          -14x-6x = 301-6-6+35-184

>                    -20x = 140

>                           x = 140/-20

>                           x= -7      Solución.

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6) Resolver   3x(x-3) +5(x+7) -x(x+1) -2(x^2+7) +4 = 0

>     3x^2 -9x +5x +35 -x^2 -x -2x^2 -14 +4 = 0

>     3x^2 -x^2 -2x^2 -9x +5x -x= -35 +14 -4

>                                                          -5x= -25

>                                                              x = -25/-5

>                                                              x = 5     Solución.

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8) Resolver (3x-4)(4x-3)=(6x-4)(2x-5)

>   12x^2-25x+12= 12x^2-38x+20

>   12x^2-12x^2-25x+38x= 20-12

>                                            13x = 8

>                                                 x = 8/13  Solución

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9) (4-5x)(4x-5) = (10x-3)(7-2x)

> Efectuando las multiplicaciones:

-20x^2+41x-20 = -20x^2+76x-21

> Transponiendo y reduciendo términos comunes:

-20x^2 +20x^2 +41x -76x = -21 +20

-35x = -1

x = -1/-35

x = 1/35     Solución.

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Ecuaciones enteras de 1er. grado con signos de agrupación.

Procedimiento:

1°) Se suprimen los signos de agrupación

2°) Se transponen los términos con incógnitas y los términos con valores conocidos.

3°) Se reducen los términos semejantes.

4°) Se simplifica el resultado para encontrarla Solución.

Recuerda:
>Empezar a suprimir los signos de agrupación que estén más adentro de otros.

> Si hay un signo negativo antes de la agrupación, se sacan los elementos con signo cambiado.

> Si hay un signo positivo antes de la agrupación, se sacan los elementos son su mismo signo.

> Cuando no hay signo antes de la agrupación, se entiende que es positivo.

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Ejemplo:

Resolver  5x+{-2x+(-x+6)} = 18-{-(7x+6)-(3x-24)}

1°) Suprimiendo paréntesis 

.     5x+{-2x-x+6} = 18-{-7x-6-3x+24}

.     Suprimiendo las llaves 

.     5x-2x-x+6 = 18+7x+6+3x-24

2°) Transponiendo términos semejantes 

.     5x-2x-x-7x-3x= 18+6-24-6

3°) Reduciendo los términos semejantes en cada miembro 

.     -8x = -6

4°) Simplificando para obtener la solución 

.     x = -6/-8  --> x = 3/4 , que es la Solución.

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Ejercicio 79.

1) Resolver   x-(2x+1) = 8-(3x+3).

> x-2x-1 = 8-3x-3         (quitando paréntesis)

> x-2x+3x = 8-3+1       (transponiendo términos)

>               2x = 6                (reduciendo términos)

>                  x = 6/2           (simplificando)

>                  x= 3                Solución.

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2) Resolver   15x-10 = 6x-(x+2)+(-x+3)

> 15x-10 = 6x-x-2-x+3

> 15x-6x+x+x= -2+3+10

>                    11x= 11

>                         x = 11/11

>                         x = 1    Solución.

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3) Resolver   (5-3x)-(-4x+6) = (8x+11)-(3x-6).

> 5-3x+4x-6 = 8x+11-3x+6

> -3x+4x-8x+3x = 11+6-5+6

>                         -4x = 18

>                             x = 18/-4

>                             x = - 9/2    Solución.

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4) Resolver    30x-(-x+6)+(-5x+4) = -(5x+6)+(-8+3x).

> 30x+x-6-5x+4 = -5x-6-8+3x

> 30x+x-5x+5x-3x = -6-8+6-4

>                              28x = -12

>                                   x = -12/28

>                                   x = - 3/7    Solución.

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5) Resolver   15x+(-6x+5)-2-(-x+3) = -(7x+23)-x+(3-2x).

> 15x-6x+5-2+x-3 = -7x-23-x+3-2x

> 15x-6x+x+7x+x+2x = -23+3-5+2+3

>                                     20x = -20

>                                           x = -20/20

>                                           x= -1    Solución.

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6) Resolver   3x+[-5x-(x+3)] = 8x+(-5x-9).

> 3x-5x-x-3 = 8x-5x-9

> 3x-5x-x-8x+5x = -9+3

>                          -6x = -6

>                              x = -6/-6

>                              x = 1     Solución.

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7) Resolver   16x-[3x-(6-9x)] = 30x+[-(3x+2)-(x+3)]

> 16x-[3x-6+9x] = 30x+[-3x-2-x-3]

> 16x-3x+6-9x= 30x-3x-2-x-3

> 16x-3x-9x-30x+3x+x= -2-3-6

>                                      -22x= -11

>                                             x = -11/-22

>                                             x = 1/2     Solución.

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9) Resolver  9x-(5x+1)-{2+8x-(7x-5)}+9x = 0

9x -5x -1 -{2+8x-7x+5}+9x = 0       <-- Se liminaron los paréntesis.

9x -5x -1 -2 -8x +7x -5 +9x = 0        <--  Se eliminaron las llaves.

9x -5x -8x +7x +9x = 1 +2 +5           <--  Se transpusieron términos semejantes

> Simplificando:

12x = 8

x = 8/12 = 2/3   Solución.

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11) Resolver -{3x+8-[-15+6x-(-3x+2)-(5x+4)]-29} = -5

-{3x+8-[-15+6x+3x-2-5x-4]-29} = -5   <-- Se eliminaron los paréntesis

-{3x+8+15-6x-3x+2+5x+4-29} = -5      <-- Se eliminaron los corchetes

-3x-8-15+6x+3x-2-5x-4+29 = -5             <-- Se eliminaron las llaves

-3x+6x+3x-5x = -5+8+15+2+4-29          <--Se traspusieron los términos

>                     x = -5   Solución.

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