En una manera general, un monomio se puede descomponer en factores distintos de 1, por simple inspección, tal es el caso de 15ab = (3)(5)(a)(b).
Para efectos del Caso I estudiaremos la descomposición de monomios de dos o más factores distintos de 1.
Procedimiento.
1) Se encuentra
un factor que divida a ambos monomios.
2) Se encuentra
el factor común de las letras, que es el de menor exponente que
divida a los monomios.
3) Si los
coeficientes no tienen un factor común, pero si un factor común las
letras, se copian dentro del paréntesis, los mismos coeficientes.
4) Si las letras
no tienen un factor común, pero si hay factor común de los
coeficientes, se copian dentro del paréntesis las mismas letras.
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Ejemplos.
a)
Descomponer en factores a^2 +2a = a(a +2)
En este caso se
encuentra el factor común de los monomios a^2 y 2a;
y este es "a"; luego se escribe entre
paréntesis los factores (a) y (2 ) que
multiplicados por el factor común (a), den como
resultado los monomios dados originalmente.
--> Factor
común: a porque a(a) = a^2
y a(2) = 2a
--> la
solución es: a(a +2)
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b) Descomponer
en factores 10b -30ab^2 = 10b(1 -3ab)
En este caso se
encuentra el factor común de los monomios 10b y
30ab^2; y este es "10b";
y luego se escribe entre paréntesis los factores (1) y
(-3ab) que multiplicados por el factor común (10b),
den como resultado los monomios dados originalmente.
--> Factor
común : 10b porque 10b(1)
= 10b y 10b(-3ab )
= -30ab^2
--> la
solución es: 10b(1 -3ab)
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c)
Descomponer en factores 10a^2 -5a +15a^3
En este caso el
factor común de los monomios 10a^2 , -5a
y 15a^3 es "5a"; y luego
se escribe entre paréntesis los factores (2a), (-1)
y (3a^2) que multiplicados por el factor común (5a),
dan como resultado los monomios originales.
--> Factor
común es: 5a porque
5a(2a)
= 10^2 , 5a(-1) = -5a
y 5a(3a^2) = 15a^3
--> la
solución es: 5a(2a -1 +3a^2)
Para comprobar el
resultado se multiplica el factor común por cada uno de los términos
que están dentro del paréntesis; y el producto debe ser igual al
polinomio original.
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Ejercicio 89 del Libro
Factorar:
1) a^2 +ab
= a(a +b)
Factor común : a
porque a(a) = a^2 y a(b)
= ab
--> la
solución es: a(a +b)
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2) b+b^2 =
b(1 +b)
Factor común: b
porque b(1) = b y b(b)
= b^2
--> la
solución es: b(1 +b)
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3) x^2 +x =
x(x +1)
Factor común: x
porque x(x) = x^2 y
x(1) = x
--> la
solución es: x(x +1)
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4) 3a^3
-a^2 = a^2(3a -1)
Factor Común:
a^2 porque a^2(3a) = 3a^3
y a^2(-1) = -a^2
--> la
solución es: a^2(3a -1)
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5) x^3
-4x^2 = x^2(x -4)
Factor común:
x^2 porque x^2(x) =
x^3 y x^2(-4) = -4x^2
--> la
solución es: x^2(x-4)
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6) Factorar
5m²+15m³
> Encontramos
el factor común de los coeficientes y de las letras:
Factor común de
5 y 15 que es 5 (es el único factor común de estos
dos números)
Factor común de
m² y m³ , que es m² (porque es el de menor
exponente)
--> El factor
común de los monomios es 5m²
> Se escriben
primero el factor común de los monomios (5m²) y seguido se escriben
entre paréntesis los factores que resulten de dividir cada monomio
entre el factor común (5m²):
5m² ÷ 5m² = 1
15m³ ÷ 5m² =
3m³⁻² =3m¹ = 3m
--> se escribe
el resultado: factor común(Factores cocientes con su respectivo
signo):
5m²(1+3m),
que es la solución.
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7) ab -bc =
b(a -c)
Factor común: b
porque b(a) = ab
y b(-c) = -bc
--> la
solución es: b(a -c)
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10) 8m^2
-12mn = 4m(2m -3n)
Factor común: 4m
porque 4m(2m) = 8m^2
y 4m(-3m) = -12mn
--> la
solución es: 4m(2m -3n)
En este caso la
"m" es común en las letras de los monomios
y el "4" es común en los coeficientes de los
monomios; porque ambos dividen a cada uno de monomios o
(términos) del polinomio.
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12)
15c^3d^2 +60c^2d^3 = 15c^2d^2(c +4d)
Factor común:
15c^2d^2 porque
15c^2d^2(c)
= 15c^2d^2 y 15c^2d^2(4d) = 60c^2d^3
--> la
solución es: 15c^2d^2(c +4d)
Para este caso y
para otros: el factor común de las letras deberá ser el de menor
exponente, para que divida a los dos o más monomios.
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16) a^3
+a^2 +a = a(a^2 +a +1)
Factor común: a
porque a(a^2) = a^3 ,
a(a) = a^2 y a(1)
= a
--> la
solución es: a(a^2 +a +1)
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18) 15y^3
+20y^2 -5y = 5y(3y^2 +4y -1)
Factor común: 5y
porque
5y(3y^2) =
15y^3 , 5y(4y) = 20y^2
, 5y(-1) = -5y
--> la
solución es: 5y(3y^2 +4y -1)
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