Producto de dos binomios de la forma (x+a)(x+b)

.             

Procedimiento: (x+a) (x+b) = (x)^2+(a+b)x+(a)(b) = x^2+(a+b)x+ab 1) El primer termino del producto, es el producto de los primeros términos de los binomios; 2) El coeficiente del segundo término del producto, es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios, multiplicada por el primer término de los binomios; 3) El tercer término del producto, es el producto de los segundos términos de los binomios. Nota: la forma (x+a)(x+b), puede presentarse para resolver con diferentes signos, (x+a)(x+b) , (x+a)(x-b) , (x-a)(x+b) , (x-a)(x-b); es decir de la forma (x±a)(x±b) ________________________________________

Ejercicio 67 del Libro.

1) (a+1)(a+2) = (a)^2 + (1+2)a + (1)(2) = a^2+3a+2

Primer término : (a)(a) = (a)^2 = a^2

Segundo término : (1+2)a = 3a

Tercer término : (1)(2) = 2 

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2) (x+2)(x+4) = x^2 + (2+4)x + (2)(4) = x^2+6x+8

Primer término : (a)(a) = x^2

Segundo término :  (2+4)x = 6x

Tercer término : (2)(4) = 8

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3) (x+5)(x-2) = (x)^² +(5-2)x +(5)(-2) = x^² +3x -10

Primer término : (x)(x) = (x)^2 = x^2

Segundo término : (5-2)x = 3x

Tercer término : (5)(-2) = - 10

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4) (m-6)(m-5) = (m)^2+(-6-5)m+(-6)(-5) = m^2 -11m +30

Primer término:  (m)(m) = m^2

Segundo término: (-6-5)m = -11m

Tercer término: (-6)(-5) =30

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7) (x-3)(x-1) = (x)^² +(-3-1)x +(-3)(-1) = x^² -4x +3

Primer término: (x)(x) = (x)^2 = x^2

Segundo término : (-3-1)x = -4x

Tercer término : (-3)(-1) = 3

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9) (a-11)(a+10) = (a)^² +(-11+10)a +(-11)(10) = a^² –a -110

Primer término : (a)(a) = (a)^2 = x^2

Segundo término: (-11+10)a = -a

Tercer término : (-11)(10) = -110

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11) (a^2 + 5)(a^2 - 9) = (a^2)^2+(5-9)a^2+(5)(-9) = a^4 -4a^2 -45

Primer término:  (a^2)(a^2) = a^4

Segundo término: (5-9)a^2 = -4a^2

Tercer término: (5)(-9) = -45

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15) (x^³+7)(x^³-6) = (x^³)^² +(7-6)x^³ +(7)(-6) = x^⁶ +x^³ -42

Primer término: (x^3)(x^3) = (x^3)^2 = x^6

Segundo término : (7-6)x^3 = x^3

Tercer término : (7)(-6) = - 42

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19) (ab+5)(ab-6) = (ab)^² +(5-6)ab +(5)(-6) = a^²b^² -ab -30

Primer término: (ab)(ab) = (ab)^2 = a^2b^2

Segundo término: (5-6)ab = - ab

Tercer término: (5)(-6) = - 30

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23)  (a^x -3)(a^x +8) = (a^x)^2+(-3+8)a^x+(-3)(8) = a^2x +5a^x -24

Primer término: (a^x)(a^x) = a^2x

Segundo término: (-3+8)a^x = 5a^x

Tercer término: (-3)(8) = -24

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Recuerda aplicar la ley de signos para la suma y para la multiplicación

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades cuando los factores tiene 3 elementos.

.                  

Procedimiento. 

-          Se determina dos elementos o variables comunes en signos, y esas variables (a+b), formarán el minuendo de la diferencia.

-          La tercera variable (c), es la que tiene signos distintos en los factores y es la que constituye el sustraendo de la diferencia.

-          Luego se forman dos factores; uno de  suma  y otro de diferencia.

-          En el primer factor (suma) se colocarán las variables asociadas más la variable que quedó sola [(a+b)+c].  En el segundo factor (diferencia) se colocarán las variables asociadas menos la variable que quedó sola [(a+b)-c].

-          Al multiplicar estos nuevos factores quedará el minuendo elevado al cuadrado menos el sustraendo elevado al cuadrado. Ej. (a+b)^2 - c^2

-          Pero como hay una operación indicada entre paréntesis, (a+b)^2, es necesario resolver primero el minuendo, aplicando el caso del ejercicio 62 o 63.  Y al resultado, a^2+2ab+b^2, se le agrega la variable que queda sola elevada al cuadrado, -c^2;  y la solución final sería  a^2+2ab+b^2 -c^2.

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Ejercicio 65 del Libro.

1) (x+y+z)(x+y-z)

= [(x+y)+z][(x+y)-z]
= (x+y)^² –z^² 

= x^² +2xy +y^² –z^²

Se forman dos factores asociando en cada uno “x+y” así: [(x+y) + z] y [(x+y)-z]

Y como (x+y)(x+y) = (x+y)^2  y (+z)(-z) = - z^2,  resultaría (x+y)^2 – z^2 ;

pero a este resultado hay que resolver el cuadrado de la suma de (x+y)^2 ,

que sería igual a x^2 +2xy +y^2  , agregando a esto la otra variable - z^2;

La solución sería x^2+2xy+y^2 -z^2

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4) (m+n+1)(m+n-1) = [(m+n) +1][(m+n) -1] = (m+n)² -1² =

= m^² +2mn +n^² –(1)  = m^² +2mn +n^² -1

Asociando “m+n” :  [(m+n)+1][(m+n)-1]

-->esto es igual (m+n)^2 –(1)^2

--> (m+n)^2 = m^2 +2mn -n^2   ;  – (1)^2 = - 1

La solución sería   m^2 +2mn +n^2  -1

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5) (m-n-1)(m-n+1) = [(m-n) -1][(m-n) +1] = (m-n)^² -1^² =

= m^² -2mn +n^² -1

Asociando “ m-1 “  :  [(m-n)-1][(m-n)+1]

--> Esto es igual a  (m-n)^2 –(1)^2

--> (m-n)^2 = m^2 -2mn +n^2    ;   - (1)^2 = - 1

La solución sería   m^2 -2mn +n^2 – 1

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6) (x+y-2)(x-y+2) = [x +(y-2)][x -(y-2)] = x^² –(y-2)^² =

= x^² –{y^² –[2(y)(2)] +2^²} = x^² –(y^²-4y+4) = x^² –y^² +4y -4

Asociando "y-2" :  [x+(y-2)][x-(y-2)]

..> Esto es igual a  x^2 - (y-2)^2

..> x^2 = x^2   

--> - (y-2)^2 = -(y^2 - [2(y)(2)]+2^2 = -(y^2 -4y+4) = -y^2+4y-4

La solución sería  x^2 -y^2+4y -4

En este caso al formar los factores de suma y de diferencia; se toma el primer término de los polinomios como minuendo de cada uno de los nuevos factores (x) ; y se asocian el segundo y tercer término para formar el sustraendo (y-2);  pero al asociar el sustraendo en el factor de diferencia [x-(y+2)] ; los términos asociados se colocan dentro del paréntesis con diferente signo.

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8) (a^2-2a+3)(a^2+2a+3) = a^4+2a^2+9

Asociando "a^2" y "3" : (a^2+3) --> [(a^2+3)-2a][(a^2+3) +2a]

--> Esto es igual a : (a^2+3)^2  - (2a)^2

--> Operando los cuadrados : = [(a^2)2 + 2(a^2)(3) +3^2] - 4a^2 =

--> simplificando :  = (a^4+6a^2+9) - 4a^2 = a^4 +6a^2 +9 -4a^2 =

--> Operando términos  comunes : = a^4 +2a^2 +9 <-- Solución.

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9) (m^2-m-1)(m^2+m-1) =

Asociando ¨m^2" y ¨-1¨  : (m^2 -1) --> [(m^2 -1) -m][(m^2 -1) +m]

--> Esto es igual a: (m^2-1)^2 - (m)^2

--> Operando cuadrados: = [(m^2)^2 -2(m^2)(1) +(-1)^2] - m^2

--> Simplificando: = (m^4 -2m^2 +1) -m^2 = m^4 -2m^2 +1 -m^2 =

--> Operando términos comunes = m^4 -3m^2 +1 <--  Solución.

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10) (2a-b-c)(2a-b+c) = [(2a-b)-c][(2a-b)+c] =(2a-b)^² –c^²  =

= (2a)^² -2(2a)(b) +(b)^² –c^² = 4a^² -4ab +b^² –c^²

Asociando "2a-b" : [(2a-b)-c][(2a-b)+c]

--> Esto es =  (2a-b)^2-c^2

Resolviendo lo del paréntesis : (2a)^2-2(2a)(b)+b^2 = 4a^4-4ab+b^2

Al resultado del paréntesis se le agrega el 3° término al cuadrado c^2 :

así   4a^4 -4ab +b^2 -c^2    es la Solución

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12) (x^²-5x+6)(x^²+5x-6) = [x^²–(5x-6)][x^²+(5x-6) =

= (x^²)^²-(5x-6)^² = x^⁴–[(5x)^² -2(5x)(6) +6^²] =

= x^⁴ -25x^² +60x -36

Asociando ""5x-6" :  [x^2-(5x-6)][x^2-(5x-6)]= (x^2)^2-(5x-6)^2

Minuendo : (x^2)^2 = x^4   ;

Sustraendo : -(5x-6)^2 = -(5x)^2-2(5x)(6)+6^2] = -(25x^2 -60x+36)

La solución sería :  x^4 -25x^2 +60x-36

Toma en cuenta que para resolver el sustraendo,  este viene entre paréntesis antecedido de signo negativo " -( ) ", por lo que los términos se sacan con signo cambiado hacia la solución.

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-  En el caso 1: (x+y)^2   y en el caso 4 : (m+n)^2 ;  se aplicó el procedimiento para el cuadrado de la suma de dos números : (Ejercicio 62)

 -  En el caso 5 : (m-n)^2  ; en el caso 6 : (y-2)^2;  el caso 10 : (2a-b)^2 ; y en el caso 12 : (5x-6)^2,  (se aplicó el procedimiento para el cuadrado de la diferencia de dos números: (Ejercicio 63)

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Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

.                   

Procedimiento:

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, (a+b)(a-b), es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo: a^ 2 - b^2. 

El minuendo y el sustraendo se identifican mejor en el factor que tiene una diferencia o resta (a-b).

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Ejercicio 64 del Libro.

3) (a-x)(x+a)

(a+x)(a-x)  ordenado con relación a la letra "a"

= a^² – x^²

En este caso la diferencia es (a-x)  -->

El cuadrado del minuendo “ a “ es              :    a^2

Menos el cuadrado del sustraendo “ x ” es : – x^2

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5) (2a-1)(1+2a)

(2a+1)(2a-1)    ordenado con relación a la letra "a"

= (2a)^² – (1)^² 

= 4a^² -1

En este caso la diferencia es (2a-1)  -->

El cuadrado del minuendo “ 2a “ es            : (2a)^2 = 4a^2

Menos el cuadrado del sustraendo “ 1 “ es : - (1)^2 = - 1

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7) (1-3ax)(3ax+1)

 (1+3ax)(1-3ax)   ordenado en relación a la constante 1.

= 1 - 9a^²x^²

En este caso la diferencia es  (1-3ax) -->

El cuadrado del minuendo “ 1” es                   : (1)^2 = 1

Menos el cuadrado del sustraendo “ 3ax” es : - (3ax)^2 = - 9a^2x^2

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9) (a^³ –b^²)(a^³+b^²)

(a^³+b^²)(a^³ –b^²)  ordenado suma y diferencia

= (a^³)^² –(b^²)^² 

= a^⁶ – b^⁴

En este caso la diferencia es (a^3 - b^2) -->

El cuadrado del minuendo “ a^3 “ es               : (a^3)^2 = a^6

Menos el cuadrado del sustraendo “ b^2 "  es : - (b^2)^2 = - b^4

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Recuerda:

La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

                            

Procedimiento:

  (x - y)² = El primer término al cuadrado, menos el duplo del 1º. por el 2º. término, más el cuadrado del 2º. término.

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Ejercicio 63 del Libro.

1) (a-3)^² = (a)^² -2(a)(3) +(3)^² = a^² -6a +9

El primer término al cuadrado   : (a)^2 = a^2

Menos el duplo del 1° por el 2°   : - 2(a)(3) = - 6a

Más el cuadrado del 2° término :  (3)^2 = 9

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4) (2a-3b)^² = (2a)^² -2(2a)(3b) +(3b)^² = 4a^² -12ab +9b^²

El primer término al cuadrado   :  (2a)^2 = 4a^2

Menos el duplo del 1° por el 2°   : - 2(2a)(3b) = - 12ab

Más el cuadrado del 2° término :  (3b)^2 = 9b^2

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9) (x^⁵-3ay^²)^² = (x^⁵)^² -2(x^⁵)(3ay^²) +(3ay^²)^² =

= x^¹⁰ - 6ax^⁵y^² +9a^²y^⁴

El primer término al cuadrado   : (x^5)^2 = x^10

Menos el duplo del 1° por 2°        : - 2(x^5)(3ay ^2) = - 6ax^5y^2

Más el cuadrado del 2° término  : (3ay^2)^2 = 9a^2y^4

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Notas:

Al elevar una potencia a otra potencia; se copia la base y se multiplican los exponentes.

Cuando una literal no tiene semejante en el otro factor; solo se copia con su respectivo exponente.

Cuando una literal no tiene exponente mayor que 1; solo se copia sin exponente (se entiende que está elevado a la potencia 1, que es igual a la misma base).

Cuadrado de la suma de dos cantidades.

                   

Procedimiento:

  (x+y)^² = El primer término al cuadrado, más el duplo del 1º. por el 2º. término, más el cuadrado del 2º. término.
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Ejercicio 62 del libro.

1) (m+3)^² = (m)^² +2(m)(3) +3^²  = m^² +6m +9

Primer término al cuadrado:  m(m) = m^2

Duplo del 1° término por el 2° : 2(m)(3) = 2(3m) = 6m

Segundo término al cuadrado: 3^2 = 3(3) = 9

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3) (6a+b)^² = (6a)^² +2(6a)(b) +(b)^² = 36a^² +12ab +b^²

Primer término al cuadrado: (6a)(6a) = [(6)(6)][(a)(a)] = 36a^2

Duplo del 1° término por 2°: 2(6a)(b) = 2(6ab) = 12ab

Segundo término al cuadrado: (b)(b) = b^2

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9) (a^²x+by^²)^² = (a^²x)^² +2(a^²x)(by^²) +(by^²)^² =

=  a^⁴x^² +2a^²xby^² +b^²y^⁴

Primer término al cuadrado: (a^2x)^2 = [(a^2)(a^2)][(x)(x)] = a^4x^2

Duplo del 1° término por el 2°: 2(a^2x)(by^2) = 2(a^2xby^2) = 2a^2xby^2

Segundo término al cuadrado: (by^2)^2 = [(b)(b)][(y^2)(y^2)] = b^2y^4

Notas:

- Cuando una literal no tiene otra con que multiplicarse , sólo se copia.

- Todo número o literal multiplicado por sí mismo, es igual a su cuadrado.

- En la potencia de una potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes.

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10) (3a^³+8b^⁴)^² = (3a^³)^² +2(3a^³)(8b^⁴) +(8b^⁴)^² =

= 9a^6 +48a^3b^4 +64b^8

El primer término al cuadrado (3a^3)^2 = 9a^6

Más el duplo del 1° término por el 2° : 2(3a^3)(8b^4) = 48a^3b^4

Más el segundo término al cuadrado : (8b^4)^2 = 64b^8

Recuerda:

- Cuando una literal no tiene otra con que multiplicarse , sólo se copia con su respectivo exponente.

- En la potencia de una potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes.

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