Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

.                   

Procedimiento:

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, (a+b)(a-b), es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo: a^ 2 - b^2. 

El minuendo y el sustraendo se identifican mejor en el factor que tiene una diferencia o resta (a-b).

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Ejercicio 64 del Libro.

3) (a-x)(x+a)

(a+x)(a-x)  ordenado con relación a la letra "a"

= a^² – x^²

En este caso la diferencia es (a-x)  -->

El cuadrado del minuendo “ a “ es              :    a^2

Menos el cuadrado del sustraendo “ x ” es : – x^2

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5) (2a-1)(1+2a)

(2a+1)(2a-1)    ordenado con relación a la letra "a"

= (2a)^² – (1)^² 

= 4a^² -1

En este caso la diferencia es (2a-1)  -->

El cuadrado del minuendo “ 2a “ es            : (2a)^2 = 4a^2

Menos el cuadrado del sustraendo “ 1 “ es : - (1)^2 = - 1

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7) (1-3ax)(3ax+1)

 (1+3ax)(1-3ax)   ordenado en relación a la constante 1.

= 1 - 9a^²x^²

En este caso la diferencia es  (1-3ax) -->

El cuadrado del minuendo “ 1” es                   : (1)^2 = 1

Menos el cuadrado del sustraendo “ 3ax” es : - (3ax)^2 = - 9a^2x^2

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9) (a^³ –b^²)(a^³+b^²)

(a^³+b^²)(a^³ –b^²)  ordenado suma y diferencia

= (a^³)^² –(b^²)^² 

= a^⁶ – b^⁴

En este caso la diferencia es (a^3 - b^2) -->

El cuadrado del minuendo “ a^3 “ es               : (a^3)^2 = a^6

Menos el cuadrado del sustraendo “ b^2 "  es : - (b^2)^2 = - b^4

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Recuerda:

La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

                            

Procedimiento:

  (x - y)² = El primer término al cuadrado, menos el duplo del 1º. por el 2º. término, más el cuadrado del 2º. término.

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Ejercicio 63 del Libro.

1) (a-3)^² = (a)^² -2(a)(3) +(3)^² = a^² -6a +9

El primer término al cuadrado   : (a)^2 = a^2

Menos el duplo del 1° por el 2°   : - 2(a)(3) = - 6a

Más el cuadrado del 2° término :  (3)^2 = 9

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4) (2a-3b)^² = (2a)^² -2(2a)(3b) +(3b)^² = 4a^² -12ab +9b^²

El primer término al cuadrado   :  (2a)^2 = 4a^2

Menos el duplo del 1° por el 2°   : - 2(2a)(3b) = - 12ab

Más el cuadrado del 2° término :  (3b)^2 = 9b^2

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9) (x^⁵-3ay^²)^² = (x^⁵)^² -2(x^⁵)(3ay^²) +(3ay^²)^² =

= x^¹⁰ - 6ax^⁵y^² +9a^²y^⁴

El primer término al cuadrado   : (x^5)^2 = x^10

Menos el duplo del 1° por 2°        : - 2(x^5)(3ay ^2) = - 6ax^5y^2

Más el cuadrado del 2° término  : (3ay^2)^2 = 9a^2y^4

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Notas:

Al elevar una potencia a otra potencia; se copia la base y se multiplican los exponentes.

Cuando una literal no tiene semejante en el otro factor; solo se copia con su respectivo exponente.

Cuando una literal no tiene exponente mayor que 1; solo se copia sin exponente (se entiende que está elevado a la potencia 1, que es igual a la misma base).

Cuadrado de la suma de dos cantidades.

                   

Procedimiento:

  (x+y)^² = El primer término al cuadrado, más el duplo del 1º. por el 2º. término, más el cuadrado del 2º. término.
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Ejercicio 62 del libro.

1) (m+3)^² = (m)^² +2(m)(3) +3^²  = m^² +6m +9

Primer término al cuadrado:  m(m) = m^2

Duplo del 1° término por el 2° : 2(m)(3) = 2(3m) = 6m

Segundo término al cuadrado: 3^2 = 3(3) = 9

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3) (6a+b)^² = (6a)^² +2(6a)(b) +(b)^² = 36a^² +12ab +b^²

Primer término al cuadrado: (6a)(6a) = [(6)(6)][(a)(a)] = 36a^2

Duplo del 1° término por 2°: 2(6a)(b) = 2(6ab) = 12ab

Segundo término al cuadrado: (b)(b) = b^2

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9) (a^²x+by^²)^² = (a^²x)^² +2(a^²x)(by^²) +(by^²)^² =

=  a^⁴x^² +2a^²xby^² +b^²y^⁴

Primer término al cuadrado: (a^2x)^2 = [(a^2)(a^2)][(x)(x)] = a^4x^2

Duplo del 1° término por el 2°: 2(a^2x)(by^2) = 2(a^2xby^2) = 2a^2xby^2

Segundo término al cuadrado: (by^2)^2 = [(b)(b)][(y^2)(y^2)] = b^2y^4

Notas:

- Cuando una literal no tiene otra con que multiplicarse , sólo se copia.

- Todo número o literal multiplicado por sí mismo, es igual a su cuadrado.

- En la potencia de una potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes.

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10) (3a^³+8b^⁴)^² = (3a^³)^² +2(3a^³)(8b^⁴) +(8b^⁴)^² =

= 9a^6 +48a^3b^4 +64b^8

El primer término al cuadrado (3a^3)^2 = 9a^6

Más el duplo del 1° término por el 2° : 2(3a^3)(8b^4) = 48a^3b^4

Más el segundo término al cuadrado : (8b^4)^2 = 64b^8

Recuerda:

- Cuando una literal no tiene otra con que multiplicarse , sólo se copia con su respectivo exponente.

- En la potencia de una potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes.

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Productos Notables. Teoremas.

Productos Notables.

Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, o también escribiendo todos sus pasos hasta llegar al resultado.

Reglas.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades.

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al primer término al cuadrado más el duplo del producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a+b)² = a² + 2ab + b²

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2) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al primer término al cuadrado menos el duplo del producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a-b)² = a²  - 2ab + b²

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3) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

(a+b)(a-b) = a² - b²

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4) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades cuando los factores tienen 3 elementos.

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de las dos variables asociadas (a+b) menos el cuadrado de la variable no asociada (c).

(a+b+c)(a+b-c) = (a+b)^2 - c^2

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5) El cubo de la suma de dos cantidades.

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al primer término al cubo más el triplo del producto del primer término al cuadrado por el segundo término más el triplo del producto del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

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6) El cubo de la diferencia de dos cantidades.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al primer término al cubo menos el triplo del producto del primer término al cuadrado por el segundo término más el triplo del producto del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

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7) Producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b)

El producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b) es igual al producto de los primeros términos de los binomios; más/menos la suma algebraica de los segundos términos de los binomios por el primer término de los binomios; más/menos el producto de los segundos términos de los binomios.

(x±a) (x±b) = (x)^2+(a+b)x+(a)(b) = x^2+(a+b)x+ab

Nota: Se dice mas/menos, porque en la suma de los 2º términos y el producto de los 2º términos, se deben tomar en cuenta los signos de los términos.

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Ejemplos y ejercicios de estos productos notables los encontrarás en esta misma página.  Puedes buscarlos por tema o por número de ejercicio.

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Cociente Mixto.

      

Cociente Mixto.

Se originan cuando el dividendo no es divisible exactamente por el divisor y nos da un residuo. Estos cocientes constan de entero y una fracción.

La división debe detenerse cuando el primer término del residuo es de grado inferior al primer término del divisor con relación a una letra, o sea, cuando el exponente de una letra en el residuo es menor que el exponente de la misma letra en el divisor; entonces agregamos al cociente la fracción resultante cuyo numerador será el residuo y el denominador el divisor.

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Ejemplos:

a) Dividir x²-x-6  entre  x+3

         x-4 + 6/x+3  <--  Solución.

x+3  |x² - x- 6

        -x²-3x   

            -4x - 6

             4x+12 

                     6  <-- Residuo

b) Dividir 6m⁴-4m³n²-3m²n⁴+4mn⁶-n⁸  entre  2m²-n⁴

              3m² -2mn²  + 2mn⁶-n⁸ /2m²-n⁴ <--  Solución.

2m²-n⁴  |6m⁴-4m³n²-3m²n⁴+4mn⁶ -n⁸

              -6m⁴           +3m²n⁴ 

                      -4m³n²            +4mn⁶

                       4m³n²            - 2mn⁶

                                              +2mn⁶ -n⁸  <-- Residuo

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Ejercicio 59.

 3) Dividir 9x³+6x²+7  entre  3x²

        3x +2 + 7/3x²  <-- Solución.

3x²  |9x³+6x²+7

        -9x³

                6x²

               -6x²   .

                      7  Residuo

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5) Dividir x²+7x+10  entre  x+6

         x +1  + 4/x+6   <--   Solución.

x+6  |x²+7x+10

        -x² -6x 

                 x+10

                -x – 6

                       4   Residuo

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13) Dividir  8a³-6a²b+5ab²-9b³  entre  2a-3b

            4a² +3ab +7b²  + 12b³/2a-3b  <--  Solución. 

2a-3b  |8a³ -  6a²b +5ab² -9b³

           -8a³+12a²b   

                      6a²b +5ab²

                     -6a²b +9ab²   

                               14ab² -  9b³

                              -14ab²+21b³  

                                           12b³  Residuo

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