Multiplicación de Polinomios.

              
                  
Procedimiento:
1) Se multiplican todos los términos del multiplicando por el primer término del multiplicador.
2) Se multiplican todos los términos del multiplicando por el segundo término del multiplicador; colocando los subproductos debajo de cada uno de los términos semejantes del primer subproducto, y así sucesivamente según el número de términos que contenga el multiplicador.
3) Por último se suman los subproductos para obtener el producto final.
Es recomendable que el polinomio que multiplica sea el menor de los polinomios.
También es recomendable ordenar los polinomios poniendo la literal, en orden alfabético y/o antes que los valores constantes.
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Ejemplos:

a) Multiplicar a-4 por 3+a

> Ordenando, multiplicando y sumando subproductos:
a -4
a +3           .
a² -4a
     3a -12
a²  - a -12    Solución.
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b) Multiplicar 4x-3y por -2y +5x

> Ordenando, multiplicando y sumando subproductos:
4x -3y
5x -2y                    .
20x² -15xy
        -  8xy +6y²
20x² -23xy +6y²   Solución.
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Ejercicio 41 del Libro.
Multiplicar:

1)  a+3 por a-1

a +3
a -1           .
a² +3a
    -   a -3
a² +2a -3   Solución.
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2) a-3 por a+1
a -3
a +1       .
a²  -3a
.   +  a -3
a² -2a -3   Solución.
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3) x+5 por x-4
x +5
x -4          .
x² +5x
.    -4x -20
x² + x -20   Solución.
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4) m-6 por m-5

m -6
m -5              .
m²  - 6m
      - 5m +30
m² -11m +30   Solución.
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7) 3x-2y por y +2x

3x -2y
2x + y             .
6x² -4xy
        3xy -2y²
6x² -  xy -2y²  Solución.
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8) -4y+5x por -3x+2y
5x -4y
-3x +2y               .
-15x² +12xy
.        +10xy  -8y²
-15x² +22xy -8y²   Solución.
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9) 5a-7b por a+3b
5a -7b
a +3b                 .
5a²  - 7ab
.      +15ab -21b²
5a² +  8ab -21b²   Solución.
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10) 7x -3  por  4 +2x

7x -3
2x +4              .
14x²  -  6x
        +28x -12
14x² +22x -12   Solución.
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12) 6m -5n  por  -n +m

6m -5n
m  -n                       .
6m² -  5mn
       -  6mn +5n²
6m² -11mn +5n²   Solución.
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Ejercicio 42.
Multiplicar:

1) x² +xy +y² por x-y
x² +xy +y²
x - y                 .
x³ +x²y +xy²
.    -x²y  -xy² -y³
x³    --     --  -y³     Solución.
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9) m³-m²+m -2 por am+a
m³ -m² +m -2
am +a                      .
am -am³ +am² -2am
.      +am³ - am² +am  -2a
am                   -am  -2a  Solución.
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14) m³-3m²n+2mn² por m²-2mn-8n²
m³-3m²n+2mn²
m²-2mn-8n²                                       .
m  -3mn +2m³n²
.      -2mn +6m³n² - 4 m²n³
.                  -8m³n²+24m²n³  -16mn.
m -5mn     ---    +20m²n³ -16mn   Solución.
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16) 2-3x²+x  por x²-2x+3
x -3x² +2
x² -2x +3                                   .
x          -3x         +2x²
.    -2x         +6x³          -4x
.           +3x           -9x²        +6
x -2x   ---  +6x³  -7x²  -4x +6   Solución.
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Multiplicación de polinomios por monomios.

                  

Procedimiento:

Multiplicar 3x^2-6x+7 por 4ax^2

a) Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, colocando los productos parciales indicados; luego se efectúan las operaciones indicadas para obtener el producto total.

--> 3x^2(4ax^2) -6x(4ax^2) +7(4ax^2) = 12ax^4 -24ax^3 +28ax^2

b) Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, colocando los productos parciales debajo de la línea.

-->  3x^2 -6x +7

.     4ax^2                             .

.    12ax^4 -24ax^3 +28ax^2 

Nota:
Recuerda aplicar la Ley de signos para la multiplicación y la Ley de Signos de los Exponentes, que dice que en la multiplicación se suman los exponentes.

En los ejercicios se aplicará el procedimiento b), que es el utilizado en el Álgebra y solamente en los ejercicios que tienen exponentes literales y numéricos se aplicará el procedimiento a), para su mejor desarrollo.

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Ejercicio 39 del Libro.

Multiplicar:

1) 3x^3 -x^2 por -2x -->

3x^3 -x^2

-2x                 .

-6x^4 -2x^3

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2) 8x^2y  -3y^2 por 2ax^3 -->

8x^2y -3y^2

2ax^3                        .

16ax^5y -6ax^3y^2

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3) x^2 -4x +3   por   -2x

x^2 -4x +3

-2x                      .

-2x^3 +8x^2 -6x

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6) x^5 -6x^3 -8x  por  3a^2x^2

x^5 -6x^3 -8x

3a^2x^2                                       .

3a^2x^7 -18a^2x^5 -24a^2x^3

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10) a^m -a^(m-1) +a^(m-2)   por   -2a

-2a(a^m)  -2a{-a^(m-1)}  -2a{a^(m-2)} = -2a^(m+1) +2a^m -2a^(m-1)

-- 1º Producto -2a(a^m) = -2a^(m+1)

Se multiplican los coeficientes de "a":  -2(1)= -2 ; se copia la literal "a"  ;  y se suman los exponentes (1 de la "a" y la "m") = (m+1) --> todo es = -2a(m+1) 

-- 2º Producto: -2a{-a^(m-1)} = 2a^m

Se multiplican los coeficientes de "a": -2(-1) = 2 ;  se copia la literal "a" y se suman los exponentes (1 de la "a" y -1 de la "m") o sea m^(1-1) = m --> todo es = 2a^m

-- 3º Producto: -2a{a^(m-2)} = -2a^(m-1)

Se multiplican los coeficientes de "a":  -2(1) = -2  ;  se copia la literal "a" ;  y se suman los exponentes (1 de la "a" y -2 de la "m") o sea m^(1-2) = (m-1) --> todo es = -2a^(m-1)
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Nota:
Toda letra o literal que no tenga indicado un exponente, se sobreentiende que está elevada a la potencia (1)

Multiplicación de más de 2 monomios. Producto continuado.

Procedimiento:

1) Se multiplican los coeficientes.

2) Se copian las letras de los factores , en orden alfabético, elevadas a la suma de los exponentes que tengan esas letras en los factores. Las letras que no tengan otra común en los factores, solo se copian con su mismo exponente.

3) Se efectúan las operaciones para llegar a la solución.

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Ejemplos:

a) Efectuar  (2a)(-3a^2b)(-ab^3)

> Multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes respectivos de cada letra:

= (2)(-3)(-1)a^(1+2+1)b^(1+3)

=6a^4b^4     Solución.

b) Efectuar (-x^2y)(-2/3 x^m)(-3/4 a^2y^n)

> Multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes respectivos de cada letra;

= (1)(-2/3)(-3/4)a^2 x^(2+m)y^(1+n)

= 1/2a^2x^(m+2)y^(n+1)

= 1/2a^2x^m+2y^n+1   Solución.

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Ejercicio 38 del Libro.

Efectuar: 1)   (a)(-3a)(a^2) = (1)(-3)(1)-3a^(1+1+2) =  -3a^4   Solución. En este caso el resultado  es negativo, porque hay un número “impar” de factores negativos.

2)  (3x^2)(-x^3y)(-a^2x) =(3)(-1)(-1)a^2x(2+3+1)y^1 = 3a^2x^6y^1  Solución. En este caso el resultado es positivo, porque hay un número “par” de factores negativos.

6) (1/2x^3)(-2/3a^2x)(-3/5a^4m)

Multiplicando los coeficientes:
(1/2)(-2/3)(-3/5) = 1/5

Multiplicando las literales semejantes:
(a^2)(a^4) = a^(2+4) = a^6

m^1 = m

(x^3)(x^1) = x^(3+1) = x^4

--> 1/5a^6mx^4  Solución.

Nota.

-  Recuerda se multiplican los coeficientes, luego se copian las literales y después se suman los exponentes.

-  Cuando un valor no tiene exponente, se entiende que está elevado a la potencia “1” .

-  Para tener un buen orden, las literales se colocan en orden alfabético

Multiplicación de monomios con coeficiente fraccionario.

Ejemplos:
a) Multiplicar 


  Solución.

b) Multiplicar 




   Solución.
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Ejercicio 37 del Libro.

Efectuar :

1) 

   Solución.
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2) 



  Solución.
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3) 


   Solución.
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12) 



   Solución.
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Multiplicación de monomios con exponentes literales o numéricos

                       

Ejercicio 36 del Libro.

Multiplicar ... por ...

1) a^m por a^(m+1) -->
 a(^m)a^(m+1)
= a^(2m+1)

En este caso se copia la literal “a” en el producto,
y se suman los exponentes literales y numéricos;
(m + m) = 2m
(0 + 1 ) = 1
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3) 4a^nb^x por –ab^(x+1) -->
 [(4a^nb^x) (-ab(x+1)]
= -4a^(n+1)b^(2x+1)

Este otro caso se multiplican los coeficientes de los
monomios; luego se copian las literales base y
después se suman sus exponentes
(4)(-1) = -4
a^(n+1) = a^(n+1)
b^(x+x+1) = b^(2x+1)
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5) -3a^(n+4)b^(n+1) por -4a^(n+2)b^(n+3) -->

[-3a^(n+4)b^(n+1)][-4a^(n+2)b^(n+3)]
= 12a^(2n+6)b^(2n+4)
--------------

(-3)(-4) = 12
a^(n+4)+(n+2) = a^(2n+6)
b^(n+1)+(n+3) = b^(2n+4)
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Notas:

- Cuando la literal base no tiene coeficiente, se sobreentiende
que es “1” , por eso solamente se copia ésta.

- Cuando la literal no tiene semejante también solo se copia
con su respectivo coeficiente y exponente.