Aquí se aplican las diferentes fórmulas para logaritmo de un producto, de un cociente, de una potencia y de una raíz; de acuerdo con la expresión aritmética dada.
___________________________________________________
Ejemplos:
a) Hallar el valor de (3284*0.09132) /715.84
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log [(3284*0.09132)/715.84] =
= Log (3284*0.09132) + Colog 715.84
= (3.516403 + ⁻2.960566) + 3.145184
= 2.476969 + ⁻3.145184
= ⁻1.622153
> Antilog del resultado es
= 0.418941 Solución.
b) Hallar el valor de 100.39*0.03196 / 7.14*0.093
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log [(100.39*0.03196)/(7.14*0.093)]=
= (Log 100.39 + Log 0.03196) – (Log 7.14 + Log 0.093)
= (2.001690 + ⁻2.504607) – (0.853698 + ⁻2.968483)
= 0.506297 + Colog ⁻1.822181
= 0.506297 + 0.177819
= 0.684116
= Antilog 0.684116
= 4.831878 Solución.
c) Hallar por logaritmos el valor de 3^⅖ * 5^⅔
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log (3^⅖ * 5^⅔) =
= ⅖(Log 3) + ⅔(Log 5)
= ⅖(0.477121) + ⅔(0.698970)
= 0.190848 + 0.46598
= 0.656828
= Antilog 0.656828
= 4.5376 Solución.
d) Hallar por logaritmos el valor de ³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)
> Aplicando los fórmulas correspondientes:
Log [³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)] =
= Log [(32.7*0.006)/(0.14*89.17)]/3
= [(Log 32.7 + Log 0.006) - (Log 0.14 + Log 89.17)]/3
= [(1.514548 + ⁻3.778151) + Colog (⁻1.146128 + 1.950219)]/3
= [(⁻1.292699) + Colog (1.096347)]/3
= [⁻1.292699) + ⁻2.903653]/3
= ⁻2.196352/3
= ⁻1.398784
Antilog ⁻1.398784
= 0.25048 Solución.
___________________________________________________
Ejercicio 299.
Hallar por logaritmo el valor de las expresiones siguientes:
1) 515*78.19 /6.13
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto, y de un cociente:
Log (515*78.19 /6.13) =
= (Log 515 + Log 78.19) – (Log 6.13)
= (2.711807 + 1.893151) + Colog 0.787460
= 4.604958 + ⁻1.212540
= 3.817498
Antilog de 3.817498 = 6568.98
= 6569. Solución.
___________________________________________________
11) 2^⅕ * 3^½ * 5^¾
> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia y de un producto:
Log (2^⅕ * 3^½ * 5^¾) =
= ⅕(Log 2) + ½(Log 3) + ¾(Log 5)
= ⅕(0.301030) + ½(0.477121) + ¾(0.698970)
= 0.060206 + 0.238560 + 0.524227
= 0.822993
Antilog de 0.822993 =
= 6.6526 Solución.
____________________________________________________
16) √(932.5 * 813.6 * 0.005)
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto y de una raíz:
Log [√(932.5 * 813.6 * 0.005)]
= (Log 932.5 + Log 813.6 + Log 0.005)/2
= (2.969649 + 2.910411 + ⁻3.698970)/2
= 3.57903 /2
= 1.789515
Antilog 1.789515
= 61.591 Solución.
_____________________________________________________
20) ⁵√(56813/22117)
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente y de una raíz:
Log ⁵√(56813/22117
= (Log 56813 – Log 22117)/5
= (4.754447 + Colog 4.344726)/5
= (4.754447 + ⁻5.655274)/5
= 0.409721/5
= 0.081944
Antilog 0.081944 =
= 1.20766 Solución.
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viernes, 17 de enero de 2020
viernes, 10 de enero de 2020
Valor de expresiones algebraicas por medio de logaritmos.
Logaritmo de a : Log a.
Procedimiento:
1) Aplicar la
fórmula correspondiente de acuerdo a la operación aritmética que
se pide resolver:
Logaritmo
de un Producto: es igual a la suma de los logaritmos de los
factores.
Log (a * b) =
Log a + Log b.
Logaritmo
de un Cociente: es igual al logaritmo del dividendo menos el
logaritmo del divisor.
Log a/b = Log
a – Log b.
Logaritmo
de una Potencia: es igual al exponente multiplicado por el
logaritmo de la base.
Log aⁿ =
n(Log a).
Logaritmo
de una Raíz: es igual al logaritmo de la cantidad subradical
divido entre el índice de la raíz.
Log ⁿ√a =
Log a /n.
2) Aplicar en
todos los casos las propiedades que corresponda según el tipo de
logaritmo que se aplique.
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Ejemplos:
a) Hallar
el valor de 1215 * 0.84 por logaritmos.
> Aplicando la
fórmula para Log de un producto:
Log (1215 *
0.84) =
= Log 1215 + Log
0.84
= 3.084576 + ⁻1.924279
= (3-1)+(0.084576
+ 0.924279) (Se suman las características por separado y luego se
suman las mantisas también separadas; pero éstas como positivas.
= 2 + 1.008855
(Finalmente se suma el total de las características y la suma de las
mantisas).
= 3.008855
> Se encuentra
el antilogaritmo del resultado:
Antilog
3.008855 = 1,020.60 Solución
> Realizando
la operación aritméticamente:
1,215 * 0.84 =
1,020.60
b) Hallar
por logaritmos el valor de 3214.8 * 0.003 * (-43.76)
> En este caso
el factor -43.76 se debe tomar como positivo; pero al resultado final
se le pone el signo menos.
> Aplicando la
fórmula para logaritmo de un producto:
Log (3214.8 *
0.003* 43.76) =
Log 3214.8 + Log
0.003 + Log 43.76
= 3.507154 + ⁻3.477121 + 1.641077
= (3-3+1) +
(0.507154 + 0.477121 +0.641077)
= 1 + 1.625352
= 2.625352
> Encontrando
el Antilog del resultado:
Antilog
2.625352 = 422.0384 = -422.0384 Solución.
> Realizando
la operación aritméticamente:
3214.8 * 0.003 * -43.76 =
-422.0389
c) Hallar
por logaritmos el valor de 0.765/39.14
> Aplicando la
fórmula para logaritmo de un cociente:
Log (0.765/39.14)
=
= Log 0.765 –
Log 39.14
= ⁻1.883661 –
1.592621
> Aplicamos el
cologaritmo del sustraendo (1.592621) para convertir la operación en
suma:
Colog 1.592621 = ⁻2.407379
> la operación
quedaría así:
⁻1.883661 + ⁻2.407379 =
= (-1-2) +
(0.883661 + 0.407379)
= ⁻3 + 1.29104
= ⁻2.29104
> Aplicando el
Antilogaritmo del resultado:
Antilog ⁻2.29104 = 0.019545 Solución.
> Resolviendo el cociente aritméticamente:
0.765/39.14 =
0.019545
d) Hallar
por logaritmos el valor de (7.5)⁶
> Aplicando la
fórmula para logaritmo de una potencia:
Log (7.5)⁶ =
6(Log 7.5) =
=6(0.875061)
= 5.250366
> Aplicando el
Antilogaritmo del resultado:
Antilog
5.250366 = 177,977.868 Solución.
> Operando la
potencia aritméticamente:
(7.5)⁶ =
177,978.515
Nota:
Generalmente la diferencia entre el valor hallado por logaritmos y el
valor aritmético se debe a que los logaritmos no son rigurosamente
exactos, sino aproximados.
e) Hallar
por logaritmos el valor de ⁵√3
> Aplicando la
fórmula para el logaritmo de una raíz:
Log ⁵√3 =
(Log 3)/5
= 0.477121/5
= 0.095424
> Aplicando el
antilogaritmo al resultado:
Antilog 0.095424
= 1.24573 Solución.
> Resolviendo
la raíz aritméticamente:
⁵√3 = 1.24573
____________________________________________________
Ejercicio
298.
Hallar el valor
de las siguientes expresiones por medio de logaritmos:
1)
532 * 0.184
> Aplicando la
fórmula para logaritmo de un producto:
Log (532*0.184)
= Log 532 + Log 0.184
= Log 532 + Log 0.184
= 2.725912 + ⁻1.264818
=
(2-1)+(0.725912+0.264818)
= 1 + 0.99073
= 1.99073
> Aplicando el
antilogaritmo al resultado:
Antilog 1.99073 =
97.888 Solución.
> Resolviendo
el producto aritméticamente:
532 * 0.184 =
97.888
____________________________________________________
7) 8.125 ÷
0.9324
> Aplicando la
fórmula para logaritmo de un cociente:
Log (8.125
/0.9324)
= Log 8.125 – Log 0.9324
= Log 8.125 – Log 0.9324
= 0.909823 - ⁻1.969602
= 0.909823 +
Colog ⁻1.969602
= 0.909823 +
0.030398
= 0.940221
> Aplicando el
antilogaritmo al resultado:
Antilog 0.940221
= 8.7141 Solución.
> Resolviendo
el cociente aritméticamente:
8.125 ÷ 0.9324 =
8.7141
_____________________________________________________
12)
0.15³
> Aplicando la
fórmula para logaritmo de una potencia:
Log (0.15³) =
= 3(Log 0.15)
= 3(⁻1.823909)
= ⁻3.471727
= 0.003375
Solución.
< Resolviendo
la potencia aritméticamente:
(0.15)³ =
0.003375
_____________________________________________________
19 )
⁵√63
> Aplicando la
fórmula para logaritmo de una raíz:
Log (⁵√63) =
= (Log 63)/5
= (1.799340)/5
= 0.359868
> El
antilogaritmo del resultado es:
Antilog 0.359868
= 2.290 Solución.
> Resolviendo
la raíz aritméticamente:
⁵√63 =
2.290
__________________________________________________
miércoles, 8 de enero de 2020
Logaritmos.
Logaritmos.
Logaritmo
de un número
es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para
obtener el número dado.
Sistemas
de Logaritmos:
1)
Logaritmos Vulgares o de Briggs: cuya base es 10.
2)
Logaritmos Naturales o de Neper, cuya base es el número
indeterminado.
Propiedades
Generales de los Logaritmos:
1)
La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.
2)
Los números negativos no tienen logaritmo, porque siendo su base
positiva, todas sus potencias pares o impares, serán positivas.
3)
En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1. (Log b =
1)
4)
En todo sistema el logaritmo de 1 es cero. (Log 1 = 0)
5)
Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo, porque siempre
serán mayores que 0.
6)
Los números menores que 1 tiene logaritmo negativo, porque siempre
serán menores que 0.
Logaritmo
de un Producto:
es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Log (a *
b) = Log a + Log b
Logaritmo
de un Cociente:
es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
Log a/b = Loga – Log b.
Logaritmo
de una Potencia:
es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.
Log aⁿ = n(Log a).
Logaritmo
de una Raíz:
es igual al logaritmo de la cantidad subradical divido entre el
índice de la raíz. Log ⁿ√a = Log a /n.
Logaritmos
Vulgares o de Briggs
son aquellos cuya base es 10. Estos son los únicos números cuyos
logaritmos son números enteros.
Log
1 = 0 ; Log 10 = 1 ; Log 100 = 2 ;
Log 1000 = 3 ; Etc. y Log 0.1 = ⁻1 ; Log 0.01 = ⁻2 ; Log 0.001= ⁻3 ; Etc.
Estructura
de un logaritmo:
(que no sea de base 10)
Característica,
que es la parte entera. (
1.xxxxxx)
Mantisa,
que es la parte decimal. (x.397940)
Valor
de la Característica de un logaritmo.
1)
La característica del logaritmo de un número comprendido entre 1 y
10 es cero.
2)
La característica del logaritmo de un número mayor que 10 es
positiva y su valor absoluto es 1 menos que el número de cifras
enteras del número. 125.8 -->
Característica es 2.
3)
La característica del logaritmo de un número menor que 1 es
negativa y su valor absoluto es 1 más que el número de ceros que
hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa
decimal. Log 0.07 --> su característica
es ⁻2.
Características
negativas.
En
Log de un número menor que 1 la característica es negativa, pero su
mantisa siempre será positiva. Al escribirse la característica
negativa junto con su mantisa debe escribirse el 2 con una
línea encima del ⁻2; y no -2.xxxxxx porque el signo a la par de la
característica indicaría que la mantisa también es negativa.
Cologaritmo:
Se
llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso.
El
cologaritmo es usado para transformar la sustracción en adición,
aplicando el cologaritmo al sustraendo y convertirlo en un sumando.
Regla:
La característica del cologaritmo se obtiene agregando 1 a la
característica dada y cambiándole luego de signo al resultado;
la mantisa se obtiene restando de 9 todas las cifras a partir del
punto decimal, excepto la última cifra significativa, que se resta
de 10.
Ejemplo:
Colog
3.472 = (3+1).(9-4)(9-7)(10-2)
= 4.528
= ⁻4.528 (Este
es el nuevo sumando)
Nota:
Ver en próximas publicaciones la parte práctica de los Logaritmos.
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