Año 2025

 

Teoría Coordinatoria. Combinaciones.

 Teoría coordinatoria estudia la ordenación de las cosas o elementos. 

Existen distintas formas de ordenación como Coordinaciones ⁿAₘ , Permutaciones Pₘ  y Pₘ₋₁ ,   y Combinaciones  ⁿCₘ.  

Combinaciones. 

Son los grupos que se pueden formar con varios elementos tomándolos uno a uno, dos a dos, tres a tres, etc.; de manera que dos grupos que tengan el mismo número de elementos se diferencien por lo menos por un elemento.

Las combinaciones binarias se forman escribiendo a la derecha de cada letra, una a una, todas las letras siguientes:

ab,  ab,  ad,    bc,  bd,    cd.

Las combinaciones terciarias se forman escribiendo a la derecha de cada binaria, una a una, las letras que siguen a la última de cada binaria siguientes:

abc, abd, acd, bcd.

La fórmula para las coordinaciones  es ⁿAₘ

La fórmula para las permutaciones es Pₘ

La fórmula para las combinaciones es  ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ

Partiendo de lo anterior veamos los siguientes ejemplos.

a) Entre 7 personas, ¿de cuántos modos puede formarse un comité de cuatro personas?  Hazlo por combinación.

Datos: m = 7 ;  n = 4.  ;  (7-4+1) = 4

Aplicando la fórmula:  ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ   = ⁴C₇ = ⁴A₇  / P₇  ⇒

⁴A₇ = (7)(6)...(7-4 +1) = (7)(6)(5)(4)= 840

P₇ =  P(m = n) =P₄ = 4! = (1)(2)(3)(4) = 24 ⇒

ⁿCₘ = 840/24 = 35 modos    (Por combinación).

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b) En un examen se ponen 8 temas para que el alumno escoja 5.  ¿Cuántas selecciones puede hacer el alumno?

Datos: m = 8 ; n = 5 ;  ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ

ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁵C₈ = ⁵A₈ / P₈

ⁿAₘ = ⁵A₈ = (8)(7)...(8-5+1) = (8)(7)(6)(5)(4) = 6720

Pₘ = P(m = n) = P₅ = 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120  ⇒

ⁿCₘ = 6720/120 = 56 alumnos.   (por combinación)

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Ejercicio 204c.

3) Con 7 personas, ¿cuántos comités distintos de 5 personas pueden formarse?

Datos:   m = 7  ,   p(m = n)  ;  n = 5

ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁵C₈ = ⁵A₈ / P₈ ⇒

⁵A₈ = (7)(6)...(7-5+1) = (7)(6)(5)(4)(3) = 2520

Pₘ = P(m = n) = P₅ = 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120  ⇒

ⁿCₘ = 2520/120 = 21 comités. 

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6) De 12 libros, ¿Cuántas selecciones de 5 libros pueden hacerse?

Datos:  m= 12  ;  n = 5  ;  P(m = n)

 ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁵C₁₂ = ⁵A₁₂ / P₁₂ ⇒

⁵A₁₂ = (12)(11)...(12-5+1 =8) = (12)(11)(10)(9)(8) = 95040

P₁₂ = P(m = n) = P₅ = 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120  ⇒

ⁿCₘ = 95040/120 = 792 selecciones. 

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8) ¿Cuántas selecciones de 4 letras pueden hacerse con las letras de la palabra Alfredo?

Datos:  m = 7  ; n = 4  ;  P(m = n)

ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁴C₇ = ⁴A₇ / P₇ ⇒

⁴A₇ = (7)(6)...(7-4+1 =4) = (7)(6)(5)(4) = 840                                                  

P₇ = P(m =n) = P₄ = 4! = (1)(2)(3)(4 ) = 24 

ⁿCₘ =  840/24 = 35 selecciones.

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15) ¿Cuántas selecciones de 3 monedas puede hacerse con una pieza de 5 centavos, una de 10, una de 20, una de 40 y una de a peso?

m = 5;  n = 3  Pm = 5;  P(m=n) = 3 

ⁿCₘ = ³A₅ / Pₘ = ³C₅ = ³A₅ / P₅ ⇒

³A₅ = (5)(4)...(5-3+1 =3) = (5)(4)(3) = 60                                                  

P₅ = P(m =n) = P₃ = 3! = (1)(2)(3) = 6 

ⁿCₘ =  60/6 = 10 selecciones.

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19) De entre 8 candidatos, ¿cuántas ternan se pueden formar?

Datos:  m = 8  ;  n = 3  ;  P = 8  ;  P(m=n) = 3  

ⁿCₘ = ³A₈ / Pₘ = ³C₈ = ³A₈ / P₈ ⇒

³A₈ = (8)(7)...(8-3+1 = 6) = (8)(7)(6) = 336     

P₈ = P(m = n) = P₃ = 3! = (1)(2)(3) = 6 

ⁿCₘ =  336/6 = 56 ternas.

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Teoría Coordinatoria. Permutaciones.

Teoría coordinatoria estudia la ordenación de las cosas o elementos. 

Existen distintas formas de ordenación como Coordinaciones  ⁿAₘ ,  Permutaciones Pₘ  y Pₘ₋₁ ,  y Combinaciones.  

Permutaciones.  Pₘ  o Pₘ₋₁.  Son los grupos que se pueden formar con varios elementos en el que entran todos en cada grupo, pero se diferencia un grupo de otro por el orden en que se colocan los elementos.

Las permutaciones que se pueden hacer con las letras "a" y "b" son:  ab, ba

as permutaciones que se pueden hacer con las letras "a", "b" y "c"; se obtienen formando las permutaciones de "a" y "b"  (ab, ba) y agregando la "c" adelante, en medio y después de cada una de ellas:  

abc, acb, cab, bac, bca, cba ( las mismas letras pero en diferente posición cada una de ellas)

Las permutaciones de las letras "a", "b", "c", y "d" se obtienen haciendo que en cada una de las permutaciones de "a", "b" y "c", la "d" ocupe todos los lugares.  

Para 5 o más letras se procede se repite el procedimiento sucesivo.

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Las permutaciones son un caso particular de las coordinaciones, ya que todos los elementos son parte de cada grupo.  Se denota por  Pₘ. que es igual  P! (Pe factorial)

En las permutaciones se puede establecer la condición que determinados elementos ocupen lugares fijos (n), por lo tanto, el número de permutaciones se formará con los demás elementos. (m-n) .

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Existen también las Permutaciones Circulares, que consisten en que "m" elementos se colocan alrededor de un círculo, entonces el número de permutaciones es (m-1), contado siempre en el mismo sentido a partir de un mismo elemento: el cual no se incluye en el conteo.

Ejemplo.  ¿De cuántos modos pueden sentarse 6 personas en una mesa redonda, contando en un solo sentido, a partir de una de ellas? 

P₆₋₁ = P₅ = 5!  = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 modos.

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Ejemplos:

a) ¿De cuántos modos pueden colocarse un estante 5 libros?

m = 5;    Pₘ = P! = 5! ⇒

5!  = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 Modos.

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b) ¡De cuántos modos pueden sentarse 6 personas a un mismo lado de una mesa?

m = 6;   Pₘ = P! = 6! =  ⇒

6!=(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 modos.

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c) Con 9 jugadores, ¿de cuántos modos se puede disponer una novena, si el pitcher y el catcher son siempre los mismos?

m = 9;   Pₘ = P!  

Como hay dos elementos fijos Pₘ = 9-2 = 7, por lo que quedan 7 elementos para permutar.⇒   

P!  = 7! = (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) = 5,040. modos.

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Ejercicio 204b.

2)  Con 5 jugadores, ¿De cuántos modos se puede disponer un team de basket de 5 hombres?

m = 5;  Pₘ = P! = 5!   ⇒  

5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 modos.

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7) ¿De cuántos modos pueden disponerse las letras de la palabra Ecuador, entrando todas en cada grupo?

m = 7;  Pₘ = P! = 7!   ⇒  

 7! = (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) = 5040  modos.

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9) Se tiene un libro de Aritmética, una de Álgebra, uno de Geometría, uno de Física y uno de Química. ¿De cuántos modos pueden disponerse en un estante si el de Geometría siempre está en el medio?  

Pₘ-1 (en las permutaciones circulares, donde un mismo elemento permanece en el mismo lugar)

m = 5:  Pₘ₋₁ = P₅₋₁ = 4:  P! = 4!   ⇒

4! = (1)(2)(3)(4) = 24 nodos.

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10)  ¿Cuántos números distintos de 6 cifras pueden formarse con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 ?

m = 6,  Pₘ = P! = 6!  ⇒ :  

6!  = (1)(2)(3)(4)(5)(6) = 720 números.

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11) ¿De cuántos modos pueden disponerse en una fila un sargento y 6 soldados si el sargento siempre es el primero?, ¿si el sargento no ocupa lugar fijo?

m = 7;   

a)  Pₘ-1 (si el sargento ocupa siempre el primer lugar)

Pₘ-1 = P₇₋₁ = 6:  P! = 6!

 6! = (1)(2)(3)(4)(5)(6) = 720 modos. 

b)  Pₘ  ( si el sargento no ocupa un lugar fijo)   ⇒

m = 7,  P₇ = P! = 7!  ⇒ :

 7! = (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) = 5040 modos.

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12) ¡De cuántos modos pueden sentarse un padre, su esposa y sus cuatro hijos en un banco, en una mesa redonda, contando siempre a partir del padre?

m = 6

a)  Pₘ = P6 (cuando se sientan todos, indistintamente)

⇒  Pₘ = P!  = 6!  = (1)(2)(3)(4)(5)(6) = 720 modos

b) Pₘ-1 = P₆₋₁= 5 (cuando se sientan todos a partir del padre)

⇒ Pₘ= P! = P₅ = 5! =  (1)(2)(3)(4)(5) = 120 modos

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14) ¿Cuántos números mayores que 2000 y menores de 3000, se pueden formar con los números 2,3,5, y 6?

m = 4;    Pₘ = P!= P₄ = 4!⇒

4!= (1)(2)(3)(4) = 24 números.

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16) ¿De cuántos modos puede dispone una tripulación de 5 hombres si el timonel y el stroke son siempre los mismos?rse

m = 5;   Pₘ-₂  ;   ⇒

Pₘ₋₂ = P₅₋₂ = 3;   P = 3  = 3! 

 3!  = (1)(2)(3) = 6 modos.

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21) Con 5 consonantes y 3 vocales, ¿cuántas palabras distintas de 8 letras pueden formarse?,  ¿cuántas,  si las vocales son fijas?  

m = 8 

a)  Pₘ = P! = P₈ = 8!

8! = (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) =  40,320. palabras.

b) Pₘ₋₃ =  P! = P₅ = 5! 

5!  = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 palabras.

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22)  ¿De cuántos modos se puede disponer de un team de basquet de 5 hombres con 5 jugadores si el centre es fijo?

m = 5 ;  m = 5-1= 4 ; Pₘ = 5  ; Pₘ₋₁ =4;

Pₘ₋₁ = 4 = 4! = (1)(2)(3)(4) = 24 modos.

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Teoría Coordinatoria. Coordinaciones.

Teoría coordinatoria estudia la ordenación de las cosas o elementos. 

Existen distintas formas de ordenación como Coordinaciones ⁿAₘ , Permutaciones Pₘ  y Pₘ₋₁ , y Combinaciones.  

Coordinaciones.  ⁿAₘ  Son los grupos que se pueden formar con varios elementos (letras, números, objetos, personas, etc.) relacionándolos uno a uno, dos a dos, tres a tres, etc. , de tal manera que cualquiera de los grupos del mismo número de elementos, se diferencien por lo menos de un elemento o si tienen los mismos elementos, se diferencien por el orden de colocación.  

Tipos de Coordinaciones. Son los grupos que se pueden formar con la cantidad de elementos (m) y los grupos (n) que se pueden formar con ellos.  Estos Son:  Monarias, binarias, teniarias y cuaternarias.

Monarias.  ¹A₄  Son los grupos de una letra que se pueden formar con los elementos de un grupo dado.

Ejemplo de [a, b, c, d]  ⇒ se forman: (a), (b) , (c), (d).

Binarias.   ²A₄  Son los grupos de dos elementos que se forman escribiendo a la derecha de cada letra todas las demás, una a una.

Ejemplo de [a, b, c, d]  ⇒  se forman:

( ab,   ac,   ad,  ba,  bc,  bd,  ca,  cb,  cd,  da,  db,  dc.)

Terciarias. ³A₄   Son los grupos de dos elementos que se forman escribiendo a la derecha de cada binaria, una a una, todos los elementos que no entren en ella.

Ejemplo de [a, b, c, d]  ⇒  se forman:

(abc,  abd,  acb,  acd,  adb,  adc,

bac,   bad,  bca,  bcd,  bda,  bdc.)

Cuaternarias.  ⁴A₄  Son los grupos de dos elementos que se forman escribiendo a la derecha de cada binaria, la letra que no entra en ella.

Ejemplo:  de [a, b, c, d.]  ⇒ se forma:  (a, b, c, d.).

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Ejemplos.

a) ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

n = 4,  m = 9,  Fórmula =  ⁴A₉

⁴A₉ = (9)(8) ... (9-4+1) = (9)(8)(7)(6) = 3024 formas. Respuesta.

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b) ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 7 banderas izando 3 de cada vez?

n = 3,  m = 7,   Fórmula = ³A₇

³A₇ = 7 ... (7-3+1) = (7)(6)(5) = 210 señales.  Respuesta.

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Ejercicio 204. 

1)  ¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 4, 5, 6, 7, 8, 9?

n = 3,  m = 6,   ³A₆

⇒ ³A₆ = 6 = (6) . . . (6-3+1=43) =  (6)(5)(4) = 120 números de 3 cifras.  Respuesta.

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4)  Entre la Guaira y Liverpool hay 6 barcos haciendo los viajes.  ¿De cuántos modos puede hacer el viaje de ida y de vuelta una persona si el viaje de vuelta debe hacerlo en un barco distinto al de ida?

n = 2,  m= 6,   Fórmula  ²A₆ 

⇒  ²A₆  = (6-2+1=5) = (6)(5) = 30 modos. Respuesta.                                                                                               

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5) ¿De cuántos modos pueden sentarse 3 personas en 5 sillas?

n = 3,  m = 5,    F = ³A₅ 

⇒  ³A₅  = (5) ...(5-3+1=3) = (5)(4)(3) = 60 modos de sentarse. Respuesta.

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13)  ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9 banderas, izando 3 de cada vez?

n = 3,  m = 9,   F= ³A₉

⇒  ³A₉  = (9)(8) ... (9-3+1=7) = (9)(8)(7) = 504 señales.   Respuesta.

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17)  Hay 7 hombres para formar una tripulación de 5, pero el timonel y el stroke son siempre los mismos.  ¿De cuántos modos se puede disponer la tripulación?

m = 7-2 = 5;   n = 5-2 = 3    F = ³A₅

⇒  ³A₅ = (5) . . . (5-3+1=3) = (5)(4)(3) = 60 formas.  Respuesta.

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20) ¿Cuántos números de 5 cifras que empiecen por 1 y acaben por 8 se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8?

  m = 8-2 = 6;   n = 5-2 = 3;     F = ³A₆ 

⇒ ³A₆ = (6)(5) . . . (6-3+1=5) = (6)(5)(4) = 120 números de 5 cifras.  Respuesta.

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Gráficos de algunas funciones de segundo grado.

Los gráficos de funciones o ecuaciones de segundo grado están representados por líneas curvas que forman figuras como parábolas, elipses, círculos, hipérbolas.

El procedimiento para graficar las funciones de segundo grado es:

a) Elaborar una tabla de valores de forma rectangular para "x", que inicien, por ejemplo, en -3 hasta 3, una segunda fila para los valores de "y" o sea los valores que resulten de la función dada.  (eje. 2x+3).

b) Con los valores de "x" y "y" se forman las coordenadas (x, y) que son los puntos que se necesitan para graficar.

c) Elaborar la gráfica con los puntos encontrados.

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Ejemplos.

a) Gráfico de y = x²

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x²:

.                                                          .

|  x  |  -3  |  -2  |  -1  |  0  |  1  |  2  |  3  |

|  y  |   9  |   4   |   1  |  0  |  1  |  4   |  9  |

Coordenadas o puntos: (-3, 9) . (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2. 4), (3, 9)   

Gráfica:

           

b) Gráfico de x²+y² = 16

Despejando la fórmula:

x²+y² = 16 -> y² = 16 -x²  -> y = ±√(16 -x²)

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(16 -x²):

.                                                          .

|  x  |  -4  |    -3   |    -2    |    -1   |    0   |    1    |     2    |    3   |   4   |

|  y  |   0  |  ±2.6  |  ±3.4  | ±3.8  |  ±4  |  ±3.8  |  ±3.4  | ±2.6 |   0   |

Toda ecuación de la forma x²+y² = r², por representa un círculo cuyo radio es r.  En este caso 

x²+y² = r² que es igual a x²+y² = 4² y esto es x²+y² = 16. 

Sus coordenadas principales son : (-4, 0), (0, 4), (0, -4). (4, 0)  

Gráfica:

c)  Gráfico de 9x²+25y²=225

Despejando la fórmula:

9x²+25y²=225 -> y² = 225 -9x² /25 -> y = 225/25-9x² /25  -> y = 9- 9x² /25y = ±√(9 -9x² /25)

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(9 -9x² /25):

.                                                          .

|  x  |  -5  |    -4   |    -3    |    -2   |   -1    |    0    |    1     |    2     |     3    |    4    |    5   |

|  y  |   0  |  ±1.8  |  ±2.4  | ±2.6  |  ±2.8  |  ±3   |  ±2.8  |  ±2.6  |  ±2.4  | ±1.8  |   0    |

Sus coordenadas principales son : (-5, 0), (0, 3), (0, -3). (5, 0)  

Gráfica:

d)  Gráfico de xy = 5  o  y = 5/x

Formando la tabla de valores positivos de "x" y "y", siendo la función (5/x):

.                                                          .

|  x  |    0   |   1  |    2    |    3   |    4     |    5   |   6    |   7   |   8    |  . . . |  ±∞   |

|  y  |  ±∞  |  5   |  2.5  |  1.6   |  1.25  |   1    |  0.8  |  0.7 |  0.6  |  . . .  |   0    |

Sus coordenadas principales son :

 (1, 5), (2, 2.5), (3, 1.6), (4, 1.25), (5, 1), (6, 0.8), (7, 0.7),  (8, 0.6)  

Formando la tabla de valores negativos de "x" y "y", siendo la función (5/x):

.                                                          .

|  x  |    0   |  -1  |  -2   |   -3   |    -4     | -5 |  -6   |   -7  |  -8   |  . . .  | ± -∞ |

|  y  |  ±∞  |  -5  | -2.5 | -1.6  |  -1.25 | -1 | -0.8 | -0.7 | -0.6 |  . . .  |   0    |

Sus coordenadas principales son : 

(-1, -5), (-2, -2.5), (-3, -1.6). (-4, -1.25), (-5, -1), (-6, -0.8), (-7, -0.7),  (-8, -0.6)  

Gráfica:

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Ejercicio 170.

Hallar el gráfico de:

1)  y = 2x²

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función 2x²:

.                                                          .

|  x  |  -3  |  -2  |  -1  |  0  |  1  |  2  |  3  |

|  y  |  18  |   8  |   2  |  0  |  2  |  8    18 |

Coordenadas o puntos: (-3, 18) . (-2, 18), (-1, 2), (0, 0), (1, 2), (2. 8), (3, 18)   

Gráfica:

2) y = x²/2 

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x²/2:

.                                                          .

|  x  |  -3  |  -2  |  -1  |  0  |  1   |  2  |   3  |

|  y  | 9/2 |   2   | 1/2 |  0  | 1/2 |  2  | 9/2 |

Coordenadas o puntos: (-3, 9/2) . (-2, 2), (-1, 1/2), (0, 0), (1, 1/2), (2. 2), (3, 9/2)

Gráfica:

3) x² +  y² = 25

Despejando la fórmula:

x² + y² = 25 -> y² = 25 -x²  -> y = ±√(25 -x²)

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(25 -x²):

.                                                          .

|  x  |  -5  |  -4   |  -3   |    -2   |   -1   |    0   |    1   |    2    |    3   |   4   |    5   |

|  y  |   0   |  ±3  |  ±4  | ±4.6  | ±4.9 |   ±5  | ±4.9 | ±4.6  |  ±4  |  ±3  |    0   |

Toda ecuación de la forma x²+y² = r², representa un círculo cuyo radio es r.  En este caso 

x²+y² = r² que es igual a x²+y² = 5² y esto es x²+y² = 25. 

Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son números reales: 

(-5, 0), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 4.6), (-1, 4.9), (0, 5), (1, 4.9), (2, 4.6), (3, 4), (4, 3), (5, 0) ,

(-4, -3), (-3, -4), (-2, -4.6), (-1, -4.9), (0, -5), (1, -4.9), (2, -4.6), (3, -4), (4, -3) 

Gráfica:

4) 9x²+16y² = 144

Despejando la fórmula:

9x² + 16y² = 144  -> 16y² = 144 -9x²  -> y² = (144 -9x²)/16  -> y = ±√(144 -9x²)/16

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(144 -9x²)/16:

.                                                          .

|  x  |  0   |  -3  |  -4  |  3   |   0  |  3  |  4  |   3  |   0  |

|  y  | -12 |  -8  |   0   | -8  |  12 |  8  |  0  | -8   | -12 |

Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son:

(0, -12), (-3, -8), (-4, 0),  (3, 8-), (0, 12), (3, 8), (4, 0), (3, -8), 

Gráfica: 

5) y = x²  +1

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x² +1:

.                                                          .

|  x  |  -3  |  -2  |  -1  |  0  |  1  |   2  |   3  |

|  y  |  10  |   5  |   2  |  1  |  2  |  5   |  10  |

Coordenadas o puntos: (-3, 10), (-2, 5), (-1, 2), (0, 1), (1, 2), (2. 5), (3, 10)   

Gráfica:

6) y -x² = 2

y -x² = 2  ->  y = x² +2

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x² +2:

.                                                          .

|  x  |  -3  |  -2  |  -1  |  0  |  1  |   2  |   3  |

|  y  |  11  |   6  |   3  |  2  |  3  |   6  |  11  |

Coordenadas o puntos: (-3, 11), (-2, 6), (-1, 3), (0, 2), (1, 3), (2. 6), (3, 11)   

Gráfica:

7) xy = 4

xy = 4  ->  y = y = 4/x

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función 4/x:

.                                                          .

|  x  |   -6   |   -5   |  -4  |  -3   |  -2  |  -1  |  1  |  2  |   3  |  4  |  5   |   6  |

|  y  |  -2/3 | -4/5  |  -1  | -4/3 |  -2  |  -4  |  4  |  2  | 4/3 |  1  | 4/5 | 2/3 |    

Coordenadas o puntos: 

(-6, -2/3), (-5, -4/5), (-4, -1), (-3, 4/3), (-2, -2), (-1, -4), 

(1, 4), (2, 2), (3, 4/3), (4, 1), (5, 4/5), (6, 2/3).    

Gráfica:

8)  x² +y² = 36

Despejando la fórmula:

x² + y² = 36 -> y² = 36 -x²  -> y = ±√(36 -x²)

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(36 -x²):

.                                                          .

|  x  |   6  |   -5  |   -4   |   -3   |   -2   |   -1   |    0   |    1   |    2   |    3    |   4    |    5    |  6  |

|  y  |   0  | ±3.3 | ±4.5 | ±5.2 | ±5.7 | ±5.9 |   ±6  | ±5.9 | ±5.7 | ±5.2 | ±4.5 | ±3.3  |  0  |

Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son números reales: 

(6, 0), (-5, 3.3), (-4, 4.5), (-3, 5.2), (-2, 5.7), (-1, 5.9), (0, 6), (1, 5.9), (2, 5.7), (3, 5.2), (4, 4.5), (5, 3.3), (6,0), y  

(-5, -3,3), (-4, -4.5), (-3, -5.2), (-2, -5.7), (-1, -5.9), (0, -6), (1, -5.9), (2, -5.7), (3, -5.2), (4, -4.5), (5, -3.3)

Gráfica:

9) y = x² +2x

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x² +2x:

.                                                          .

|  x  | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |

|  y  |  8 |  3  |  0 | -1 | 0 | 3 | 8 |

Coordenadas o puntos: 

(-4, 8), (-3, 3), (-2, 0), (-1, -1), (0, 0), (1, 3), (2. 8)

Gráfica:

10) 36x²  +25y²  = 900

Despejando la fórmula:

36x² + 25y² = 900  -> 25y² = 900 -36x²  -> y² = (900 -36x²)/25 -> y = ±√(900 -36x²)/25

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(900 -36x²)/25

.                                                          .

|  x  | -5  |    -4    |    -3    |   -2   |   -1    |    0    |    1     |    2    |     3    |    4    |  5  |

|  y  |  0  | ±0.72  | ±0.96 | ±1.1 | ±1.17 | ±1.2 | ±1.17 | ±1.1 | ±0.96 | ±0.72 |  0  |

Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son:

(-5, 0), (-4, 0.72), (-3, 0.96), (-2, 1.1 ), (-1, 1.17), (0, 1.2), (1, 1.17), (2, 1.1), (3, 0.96), (4, 0.72), (5,0).

(-5, 0), (-4, -0.72), (-3, -0.96), (-2, -1.1 ), (-1, -1.17), (0,-1.2), (1, -1.17), (2, -1.1), (3, -0.96), (4, -0.72), (5, 0).

Gráfica: 

11) x² + y² = 49

Despejando la fórmula:

x² + y² = 49 -> y² = 49 -x²  -> y = ±√(49 -x²)

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(49 -x²):

.                                                          .

|  x  | -7 |   -6   |   -5  |   -4    |  0   |     4    |    5    |    6   |  7   |

|  y  |  0 | ±3.6 | ±4.9 | ±5.74 | ±7 | ±5.74 | ±4.9 | ±3.6 |  0   | 

Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son números reales: 

(-7,0), (-6, 3.6), (-5, 4.9), (-4, 5.74), (0, 7), (4, 5.74), (5, 4.9), (6, 3.6), (7,0)

y

(-7,0), (-6, -3.6), (-5, -4.9), (-4, -5.74), (0, -7), (-4, -5.74), (5, -4.9), (6, -3.6), (7,0)

Gráfica:

12) y = x² -3x

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x²-3x

.                                                          .

|  x  |  -2 | -1 | 0 |  1 |  2  | 3 | 4 |  5  |

|  y  | 10 |  4  | 0 | -2 | -2 | 0 | 4 | 10 |

Coordenadas o puntos: 

(-2,10), (-1, 4), (0,0), (1, -2), (2, -2), (3, 0), (4. 4), (5,10).

Gráfica:

13) xy = 6

xy = 4  ->  y = 6/x

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función 6/x:

.                                             _            .

|  x  | -6 |   -5   |  -4   | -3  |  -2  | -1 |  1  |  2  |  3  |  4   |  5   |  6  |

|  y  |  -1 | -1.2 | -3/2 | -2  |  -3  | -6 |  6  |  3  |  2  | 1.5 | 1.2 |  1  | 

Coordenadas o puntos: 

(-6, -1), (-5, -1.2), (-4, -1.5), (-3, -2), (-2, -3), (-1, -6)

(1, 6), (2, 3), (3, 2), (4, 1.5), (5, 1.2), (6, 1).    

Gráfica:

14)  y = x + x²/2

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x + x²/2:

.                                                          .

|  x  |  -5   | -4  |  -3  |  -2  |   -1  |  0  |   1  |  2  |  3   |

|  y  |  7.5  | 4   | 1.5 |   0   | -0.5 |  0  | 1.5 |  4  | 7.5 |

Coordenadas o puntos: 

(-5, 7.5), (-4, 4), (-3, 1.5), (-2, 0), (-1, -0.5), 

(0,0), (1, 1.5), (2, 4), (3, 7.5).    

Gráfica:

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