Teoría Coordinatoria. Combinaciones.

 Teoría coordinatoria estudia la ordenación de las cosas o elementos. 

Existen distintas formas de ordenación como Coordinaciones ⁿAₘ , Permutaciones Pₘ  y Pₘ₋₁ ,   y Combinaciones  ⁿCₘ.  

Combinaciones. 

Son los grupos que se pueden formar con varios elementos tomándolos uno a uno, dos a dos, tres a tres, etc.; de manera que dos grupos que tengan el mismo número de elementos se diferencien por lo menos por un elemento.

Las combinaciones binarias se forman escribiendo a la derecha de cada letra, una a una, todas las letras siguientes:

ab,  ab,  ad,    bc,  bd,    cd.

Las combinaciones terciarias se forman escribiendo a la derecha de cada binaria, una a una, las letras que siguen a la última de cada binaria siguientes:

abc, abd, acd, bcd.

La fórmula para las coordinaciones  es ⁿAₘ

La fórmula para las permutaciones es Pₘ

La fórmula para las combinaciones es  ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ

Partiendo de lo anterior veamos los siguientes ejemplos.

a) Entre 7 personas, ¿de cuántos modos puede formarse un comité de cuatro personas?  Hazlo por combinación.

Datos: m = 7 ;  n = 4.  ;  (7-4+1) = 4

Aplicando la fórmula:  ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ   = ⁴C₇ = ⁴A₇  / P₇  ⇒

⁴A₇ = (7)(6)...(7-4 +1) = (7)(6)(5)(4)= 840

P₇ =  P(m = n) =P₄ = 4! = (1)(2)(3)(4) = 24 ⇒

ⁿCₘ = 840/24 = 35 modos    (Por combinación).

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b) En un examen se ponen 8 temas para que el alumno escoja 5.  ¿Cuántas selecciones puede hacer el alumno?

Datos: m = 8 ; n = 5 ;  ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ

ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁵C₈ = ⁵A₈ / P₈

ⁿAₘ = ⁵A₈ = (8)(7)...(8-5+1) = (8)(7)(6)(5)(4) = 6720

Pₘ = P(m = n) = P₅ = 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120  ⇒

ⁿCₘ = 6720/120 = 56 alumnos.   (por combinación)

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Ejercicio 204c.

3) Con 7 personas, ¿cuántos comités distintos de 5 personas pueden formarse?

Datos:   m = 7  ,   p(m = n)  ;  n = 5

ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁵C₈ = ⁵A₈ / P₈ ⇒

⁵A₈ = (7)(6)...(7-5+1) = (7)(6)(5)(4)(3) = 2520

Pₘ = P(m = n) = P₅ = 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120  ⇒

ⁿCₘ = 2520/120 = 21 comités. 

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6) De 12 libros, ¿Cuántas selecciones de 5 libros pueden hacerse?

Datos:  m= 12  ;  n = 5  ;  P(m = n)

 ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁵C₁₂ = ⁵A₁₂ / P₁₂ ⇒

⁵A₁₂ = (12)(11)...(12-5+1 =8) = (12)(11)(10)(9)(8) = 95040

P₁₂ = P(m = n) = P₅ = 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120  ⇒

ⁿCₘ = 95040/120 = 792 selecciones. 

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8) ¿Cuántas selecciones de 4 letras pueden hacerse con las letras de la palabra Alfredo?

Datos:  m = 7  ; n = 4  ;  P(m = n)

ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁴C₇ = ⁴A₇ / P₇ ⇒

⁴A₇ = (7)(6)...(7-4+1 =4) = (7)(6)(5)(4) = 840                                                  

P₇ = P(m =n) = P₄ = 4! = (1)(2)(3)(4 ) = 24 

ⁿCₘ =  840/24 = 35 selecciones.

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15) ¿Cuántas selecciones de 3 monedas puede hacerse con una pieza de 5 centavos, una de 10, una de 20, una de 40 y una de a peso?

m = 5;  n = 3  Pm = 5;  P(m=n) = 3 

ⁿCₘ = ³A₅ / Pₘ = ³C₅ = ³A₅ / P₅ ⇒

³A₅ = (5)(4)...(5-3+1 =3) = (5)(4)(3) = 60                                                  

P₅ = P(m =n) = P₃ = 3! = (1)(2)(3) = 6 

ⁿCₘ =  60/6 = 10 selecciones.

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19) De entre 8 candidatos, ¿cuántas ternan se pueden formar?

Datos:  m = 8  ;  n = 3  ;  P = 8  ;  P(m=n) = 3  

ⁿCₘ = ³A₈ / Pₘ = ³C₈ = ³A₈ / P₈ ⇒

³A₈ = (8)(7)...(8-3+1 = 6) = (8)(7)(6) = 336     

P₈ = P(m = n) = P₃ = 3! = (1)(2)(3) = 6 

ⁿCₘ =  336/6 = 56 ternas.

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