Reducir una fracción a expresión entera o mixta.

Fracción representa la división del numerador entre el denominador, y para reducir una fracción a una expresión entera o mixta, se debe seguir las siguientes reglas:

1) Dividir el numerador entre el denominador.

2) Si es exacta la división, entonces equivale a una expresión entera.

3) Si no es exacta la división, entonces, se continúa dividiendo hasta que el primer término del residuo no sea divisible entre el primer término del divisor, y añadir al cociente encontrado una fracción formada por el último residuo como numerador y el último divisor como denominador. 

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Ejemplos:

a) Reducir a expresión entera 

Se divide cada término del numerador entre el término del denominador:

  Solución.   Expresión entera  (Exacta)

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b) Reducir a expresión mixta  

En este caso se hace por división larga:

.     a² -4a - 4/3a

3a | 3a³ -12a² -4

.    -3a³

.            -12a²

.             12a²

.                     -4  Residuo.  (-4/3a = - 4/3a)

  Solución :  a² -4a - 4/3a   Expresión mixta. (Inexacta)

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c) Reducir a expresión mixta  

Por división larga:

.             2x -1 -x+1/3x²-2

. 3x² -2 |  6x³ -3x² -5x +3

.             -6x³        +4x

.                     -3x² -  x

.                      3x²       - 2

.                             - x +1  Residuo.

Solución:  2x-1 - x+1/3x²-2

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Ejercicio 123.

Reducir a expresión entera o mixta:

1)  

  Solución.  Expresión entera.

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2)  

ó resolver por división larga:

.         3x² -2xy +y²        .

. 3xy | 9x³y -6x²y² +3xy³

.        -9x³y

.                  -6x²y² 

.                    6x²y² 

.                              3xy³

.                                  0

Solución 3x² -2xy +y²  Expresión entera..

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3) 

Solución:  x +3/x   Expresión mixta.  Inexacta.

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4)

.         2a +3 - 2/5a
.  5a | 10a² +15a -2
.       -10a² 
.                   15a 

.                  -15a

.                           -2  Residuo.

Solución: 2a+3 - 2/5a   Expresión mixta.  Inexacta.

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5) 

.        3x² -2x -1  -5/3x

.  3x | 9x³ -6x² +3x -5

.        -9x³

.                -6x²

.                 6x²

.                         3x

.                        -3x

.                               -5  Residuo.

Solución: 3x² -2x -1  -5/3x  Expresión mixta.  Inexacta.

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6) 

.          x -7  2/x+2

.  x+2 | x² -5x -16

.          -x² -2x

.               -7x -16

.                 7x+14

.                         2   Residuo.

Solución: x -7  2/x+2  Expresión mixta.  Inexacta.

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7)  

.           3x  -3x-2/4x-1 .

.  4x-1 | 12x² -6x -2

.           -12x²+3x

.                    -3x -2 = Residuo.

A la expresión -3x-2/4x-1, le cambiamos signo a los términos del numerador y a toda la fracción entonces la expresión sería - 3x+2/4x-1.

Solución:  3x - 3x+2/4x-1  Expresión Mixta.

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8) 

.            a²-2ab+4b²  -5b³/a+2b

.  a+2b | a³                    +3b³

.            -a³-2a²b

.                -2a²b

.                  2a²b+4ab²

.                           4ab²+3b³

.                          -4ab²- 8b³

.                                   -5b³   Residuo.

A la expresión -5b³/a+2b, le cambiamos signo a los términos del numerador y a toda la fracción entonces la expresión sería - 5b³/4x-1.

Solución: a²-2ab+4b²  - 5b³/a+2b   Expresión mixta.

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9) 

.           x -1 - 3x+2/x²-3

. x² -3 | x³ - x² - 6x +1

.          -x³        +3x

.                - x² - 3x

.                  x²         -3

.                        -3x -2  Residuo.

A la expresión -3x-2/x²-3, le cambiamos signo a los términos del numerador y a toda la fracción entonces la expresión sería - 3x+2/x²-3.

Solución: x-1 - 3x+2/x²-3.   Expresión mixta.

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10)

.             x²+2xy+2y²  -2y³/3x-2y

. 3x -2y | 3x³ +4x²y +2xy² - 6y³

.             -3x³ +2x²y

.                       6x²y

.                      -6x²y+4xy² 

.                                 6xy² - 6y³

.                                -6xy² +4y³

.                                          - 2y³  Residuo.

A la expresión -2y³/3x-2y, le cambiamos signo a los términos del numerador y a toda la fracción entonces la expresión sería - 2y³/3x-2y.

Solución: x² +2xy +2y²  - 2y³/3x-2y.   Expresión mixta.

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11)

.                  x-3 +2x-5/2x²-x+1

. 2x² -x +1 | 2x³ -7x² +6x - 8

.                 -2x³ + x²  -  x

.                         -6x² +5x - 8

.                          6x² - 3x +3

.                                   2x -5  Residuo.

En este caso a la expresión 2x-5/2x²-x+1, no se le cambia signo a ningún término ni a la fracción, entonces la expresión queda igual.

Solución: x-3 +2x-5/2x²-x+1.   Expresión mixta.

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12)

.               2a²-a-2 -  a-2/a²-a+1

. a² -a +1 | 2a⁴ - 3a³ + a²

.               -2a⁴ +2a³ -2a²

.                       -  a³ -  a² 

.                          a³ -  a² + a

.                              -2a² + a                        

.                                2a² -2a+2

.                                       -a+2   Residuo.

A la expresión -a+2 / a²-a+1, le cambiamos signo a los términos del numerador y a toda la fracción entonces la expresión sería -  a-2/a²-a+1.

Solución: 2a²-a-2 -  a-2/a²-a+1.   Expresión mixta.

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13)

.            x²-2 - 3x+4/x²-2

.  x² -2 | x⁴ - 4x² -3x

.           -x⁴ +2x²

.                  -2x²

.                   2x²       -4

.                          -3x-4  Residuo.

A la expresión -3x-4 / x² -2, le cambiamos signo a los términos del numerador y a toda la fracción entonces la expresión sería   -  3x+4 / x²-2.

Solución: x²-2 - 3x+4/x²-2.   Expresión mixta.

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14)

.                      5n  -  3n²+10n-3/2n²-3n+1

.  2n² -3n +1 | 10n³ -18n² -5n +3

.                    -10n³ +15n²-5n

.                               - 3n²-10n+3  Residuo

A la expresión -3n²-10n+3 / 2n²-3n+1, le cambiamos signo a los términos del numerador y a toda la fracción entonces la expresión sería   -  3n²+10n-3 / 2n²-3n+1.

Solución: x²-2 - 3x+4/x²-2.   Expresión mixta.

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15)

.                    2x²  - 10x³+12x² / 4x²+5x+6 

.  4x²+5x+6 | 8x⁴

.                   -8x⁴ -10x³ -12x²

.                           -10x³ -12x²   Residuo.

A la expresión -10x³-12x² / 4x²+5x+6, le cambiamos signo a los términos del numerador y a toda la fracción entonces la expresión sería   -  10x³+12x² / 4x²+5x+6 .

Solución: 2x²  - 10x³+12x² / 4x²+5x+6 .   Expresión mixta.

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16) 

.                      2m²+mn + 2m³n²-m²n³-mn⁴ /3m³-mn²+n³

. 3m³-mn²+n³ | 6m⁵ +3m⁴n

.                       -6m⁵           +2m³n²  -2m²n³  

.                                 3m⁴n +2m³n² -2m²n³                                            

.                                -3m⁴n             + m²n³ -mn⁴ 

.                                            2m³n²  - m²n³ -mn⁴   Residuo.

 En este caso a la expresión 2m³n²-m²n³-mn⁴ /3m³-mn²+n³, no se le cambia signo a ningún término ni a la fracción, entonces la expresión queda igual.                                         

. 

Solución: 2m²+mn  + 2m³n²-m²n³-mn⁴ /3m³-mn²+n³.   Expresión mixta.

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Reducir una fracción a términos mayores.

Es convertir una fracción en otra equivalente de numerador o denominador dado; donde el nuevo numerador o denominador sea múltiplo del numerador o denominador de la fracción original.

Si nos dan un numerador equivalente al original; debemos multiplicarlo por el cociente del numerador dado entre el numerador original, pero también debemos multiplicar ese cociente por el denominador dado.

También puede ser a la inversa si lo que se pide es cambiar el denominador de la fracción original.

Si la fracción es equivalente a otra dada, es porque no varía si sus dos términos son multiplicados por una misma cantidad.

Ejemplos:  3/6  ≡ 1/2, porque 3/6 = 0.5   y   1/2 = 0.5

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Ejemplos:

a) Reducir 2a/3b a fracción equivalente de numerador 6a²  

Encontrado el cociente de los numeradores y multiplicando la fracción por este.

6a² ÷ 2a = 3a  ⇒

(2a)(3a) / (3b)(3a)

= 6a²/ 9ab   Fracción equivalente.

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b) Convertir 5 / 4y³ en fracción equivalente de denominador 20a²y⁴.

Encontrado el cociente de los denominadores y multiplicando la fracción por este.

20a²y⁴ ÷ 4y³ = 5a²y ⇒

 5( 5a²y) / 4y³(5a²y)

= 25y³ / 20a²y⁴  Fracción equivalente.

Nota:_ Al simplificar 25y³ / 20a²y⁴ nos daría  5y³ / 4a²y⁴ , que es otra fracción equivalente.

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c) Reducir x-2 / x-3 a fracción equivalente de denominador x² -x -6

Encontrado el cociente de los denominadores y multiplicando la fracción por este.

x² -x -6 / x-3 

= (x-3)(x+2) / x-3

= x+2  Cociente  ⇒

(x-2)(x+2) / (x-3)(x+2)

= x² -4 / x² -x -6   Fracción equivalente.

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Ejercicio 122.

Completar:

1)  

4a² ÷ 2a = 2a ⇒

  Fracción equivalente.

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2)   

20a ÷ 5 = 4a ⇒ 

  Fracción equivalente.

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3)   

2a²b² ÷ ab² = 2a ⇒

 Fracción equivalente. 

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4) 

9x²y² ÷ 3x = 3xy² ⇒

Fracción equivalente.

__________________________________

5) 

5n³ ÷ 5n² = n  ⇒

 Fracción equivalente.

__________________________________

6) 

15 ÷ 5 = 3  ⇒
 

  Fracción equivalente.

__________________________________ 

7) 

x² -x ÷ x-1 = x ⇒

  Fracción equivalente.

_______________________________

8) 

2a³ ÷ a² = 2a  ⇒

   Fracción equivalente.

______________________________

9) 

(a+b)(a+b) ÷ a+b = a+b

  Fracción equivalente.

_______________________________

10)  

(x+3)(x+2) ÷  (x+3) = (x+2) ⇒  

  Fracción equivalente. 

_______________________________

11) 

 2a³ ÷  2a = a²  ⇒

  Fracción equivalente.

_______________________________

12) 

12 ÷ 6 = 2  ⇒

  Fracción equivalente.

_______________________________

13) 

a² -b²  ÷  a - b = a + b  ⇒

  Fracción equivalente.

______________________________

14) 

3x²-15x ÷ x-5 = 3x  ⇒

  Fracción equivalente.

_______________________________

15) 

 

(2x+y)(2x+y) ÷ (2x+y) = 2x+y  ⇒

  Fracción equivalente.

_________________________________

16) 

(x-3)(x+3) ÷  x+3 = x-3 ⇒

  Fracción equivalente.

_________________________________

17) 

(a+1)(a² -a +1) ÷ a+1 = a² -a +1 ⇒

  Fracción equivalente.

__________________________________

18) 

9x²y ÷  3x = 3xy  ⇒

  Fracción equivalente.

__________________________________ 

19)  

x²-1 ÷ x-1 = x+1  ⇒

  Fracción equivalente.

________________________________

20) 

63a³b  ÷ 7a²   = 9ab  ⇒

  Fracción equivalente.

________________________________

21) 

(x+5)(x-2)  ÷ x+5   = x-2  ⇒

  Fracción equivalente.

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