Racionalización del denominador binomio de una fracción.

.                       5 +2√3 / 4 -√3 = 2 +√3

Caso II. Racionalización del denominador binomio de una fracción.

Regla.

Se multiplican ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado.

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Expresiones Conjugadas. Son aquellas expresiones que difieren de otra expresión solamente en el signo que une sus términos. Ejemplo: 3√2 + √5 su conjugada es 3√2 - √5.

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Ejemplo de racionalización del denominador binomio de una fracción:

a) Racionalizar el denominador de 4 -√2 / 2 +5√2

→ 4 -√2 / 2 +5√2

= (4 -√2)(2 -5√2)/(2 +5√2)(2 -5√2) (Multiplicando por el conjugado del denominador)

= 8 -20√2 -2√2 +5(√2)² / 4 -(5√2)² ( Operando y simplificando)

= 8 -22√2 +5(2) / 4 -25(2)

= 8 – 22√2 +10 / 4-50

= 18 -22√2 / -46

= 9 -11√2 / -23

= -9 +11√2 /23 ( Como -23 es negativo le cambiamos signo (23) y por tanto al numerador también.)

= 11√2 -9 /23 (Cambiamos el orden de los términos en el numerador para dejar primero el positivo)

→ 11√2 -9 /23 es la Solución.

b) Racionalizar el denominador de √5 +2√7 / 4√5 -3√7

→ √5 +2√7 / 4√5 -3√7

= (√5 +2√7)(4√5 +3√7) / (4√5 -3√7)(4√5 +3√7)

= 4(√5)² +11√35 +6(√7)² / 16(√5)² -9(√7)²

= 4(5) +11√35 +6(7) / 16(5) -9(7)

= 20 +11√35 +42 / 80 -63

= 62+11√35 / 17 Solución.

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Ejercicio 248.

Racionalizar el denominador de:

1) 3 -√2 / 1 +√2

→ 3 -√2 / 1 +√2

= (3-√2)(1 -√2) / (1 +√2)(1 -√2)

= 3 -3√2 -√2 +(-√2)² / 1 -√2 +√2 -(√2)²

= 3 -4√2 +2 / 1 -2

= 5 -4√2 / -1

= -5 +4√2 / 1

= 4√2 -5 Solución.

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3) √2 - √5 / √2 + √5

→ √2 - √5 / √2 + √5

= (√2 - √5)(√2 - √5) / (√2 + √5)(√2 - √5)

= (√2)² -√10 -√10 +(√5)² / (√2)² -√10 +√10 -(√5)²

= 2 -2√10 +5 / 2-5

= 7 -2√10 / -3

= -7+2√10 /3

= 2√10 -7 /3 Solución.

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5) √2 -3√5 / 2√2 + √5

→ √2 -3√5 / 2√2 + √5

= (√2 -3√5)(2√2 - √5) / (2√2 + √5)(2√2 - √5)

= 2(√2)² -√10 -6√10 +3(√5)² / (2√2)² -2√10 + 2√10 -(√5)²

= 2(2) -7√10 +3(5) / 4(2) -5

= 4 -7√10 +15 / 8 -5

= 19 -7√10 / 3 Solución.

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7) 3√2 / 7√2 -6√3

→ 3√2 / 7√2 -6√3

= (3√2)(7√2 + 6√3) / (7√2 -6√3)(7√2 + 6√3)

= 21(√2)² + 18√6 / (7√2)² +42√6 – 42√6 -(6√3)²

= 21(2) + 18√6 / 49(2) -36(3)
= 42 + 18√6 / 98 -108
= 42 + 18√6 / -10
= 21 + 9√6 / -5
= -21 -9√6 / 5
= -9√6 -21 /5
= ₋ 9√6 +21 / 5 Solución.

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Racionalizar el denominador monomio de una fracción.

.                              5/√2 = ⁵/₂ √2

Racionalizar el denominador de una fracción es convertir dicho denominador irracional (con radical) en un denominador racional (sin radical).

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Caso I. Racionalización del denominador monomio de una fracción.

Regla.

Se multiplican los dos términos de la fracción por el radical, del mismo índice que el denominador, que multiplicado por éste de como producto una cantidad racional.

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Ejemplos:

a) Racionalizar el denominador de 3/√2x

→ 3/√2x

= (3)(√2x)/(√2x)(√2x)

= 3√2x / √2²x²

= 3√2x / 2x

= 3/2x √2x Solución.

b) Racionalizar el denominador de 2/³√9a

→ 2 / ³√9a = 2 / ³√3²a

> (Se cambia el radical que va a multiplicar ³√3²a por ³√3a², con el fin de que el producto de los exponentes en el denominador, sean iguales al índice de la raíz; para poder eliminar el signo radical)

(2)(³√3a²)/(³√3²a)(³√3a²)

= 2 ³√3²a / ³√3³a³

= 2 ³√3²a / 3a

= 2/3a ³√3²a Solución.

c) Racionalizar el denominador de 5/3 ⁴√2x²

→ 5/3 ⁴√2x²

(Se cambia el radical que va a multiplicar ⁴√2x² por ⁴√2³x², con el fin de que el producto de los exponentes en el denominador, sean iguales al índice de la raíz; para poder eliminar el signo radical)

= (5)⁴√2³x² / 3 ⁴√(2x²)(⁴√2³x²)

= 5 ⁴√8x² / 3 ⁴√2⁴x⁴

= 5 ⁴√8x² / 3(2)(x)

= 5 ⁴√8x² / 6x

= 5/6x ⁴√8x² Solución.

Nota: La cantidad que se determine debe multiplicarse por el numerador y el denominador de la fracción original.

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Ejercicio 247.

Racionalizar el denominador de:

1) 1/√3

→ 1/√3

= 1(√3) / (√3)(√3)

= √3 / √3²

= √3 / 3

= 1/3 √3 Solución.

5) 5/³√4a²

→ 5/³√4a²

= 5(³√2a)/(³√4a²)(³√2a)

= 5 ³√2a / ³√8a³

= 5 ³√2a / ³√2³a³

= 5 ³√2a / 2a

= 5/2a ³√2a Solución.

7) 3/ ⁴√9a

→ 3/ ⁴√9a (⁴√9a es igual ⁴√3²a)

= 3(⁴√3²a³) / (⁴√3²a)(⁴√3²a³)

= 3 ⁴√3²a³ / ⁴√3⁴a⁴

= 3 ⁴√3²a³ / 3a

= 3/3a ⁴√3²a³

= 1/a ⁴√9a³ Solución.

10) 1/ ⁵√8a⁴

→ 1/ ⁵√8a⁴

= 1/ ⁵√2³a⁴

= 1(⁵√2²a)/ (⁵√2³a⁴)(⁵√2²a)

= ⁵√2²a / ⁵√2⁵a⁵

= ⁵√2²a / 2a

= 1/2a ⁵√2²a

= 1/2a ⁵√4a Solución.

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Radicación de radicales.

.                        ³√‾⁴√27a³

Para extraer una raíz a un radical se multiplica el índice del radical por el índice de la raíz y se simplifica el resultado.
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Ejemplos:

a) Hallar la raíz cuadrada de ³√4a²

→ √‾³√4a²

= ⁶√4a²

= ⁶√2²a²

= ⁶/²√2a

= ³√2a Solución.

b) Hallar la raíz cúbica de 5√5

→ ³√‾5√5

= ³√‾√5²(5) (Se introdujo el coeficiente de la raíz cuadrada (5) dentro del signo radical)

= ³√‾√5³ ( Se efectuó la multiplicación)

= ⁶√5³ (Se multiplicaron los índices de la raíz(³) y del radical (²), para dejar un solo radical (⁶) )

= √5 (Se dividió el índice (⁶) entre el exponente (³) para simplificar el resultado (²) )

→ √5 es la Solución.

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Ejercicio 246.

Simplificar:

1) √‾³√a²

= ⁶√a²

= ⁶÷²√a

= ³√a Solución.

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3) ⁴√‾√81

= ⁸√‾81

= ⁸√‾3⁴

= ⁸÷⁴√‾3

= √‾3 Solución.

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6) ³√‾2√2

= ³√‾√2²(2)

= ³√‾√2³

= ⁶√‾2³

= ⁶÷³√‾2

= √‾2 Solución.

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Potenciación de radicales.

.                      (2 √3)²

Regla.

Para extraer una raíz a un radical se multiplica el índice del radical por el índice de la raíz y se simplifica el resultado.

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Ejemplos.

a) Elevar 5√2 y 4√3

(5√2)² = (5²)(√2²) = 25(2) = 50 Solución.

(4√3)² = (4²)(√3²) = 16(3) = 48 Solución.

Nota: Cuando el índice de la raíz y el exponente de la cantidad subradical son iguales, se elimina el signo radical, quedando únicamente la cantidad. √2² = 2 y √3² = 3.

b) Elevar al cubo ⁵√4x²

→ (⁵√4x²)³ = ⁵√(4x²)³ = ⁵√64x⁶

Simplificando ⁵√64x⁶:

= ⁵√(2)(32)(x)(x⁵)

= ⁵√(2)(2⁵)(x)(x⁵)

= 2x ⁵√2x Solución.

c) Elevar al cuadrado √5 -3√2

→ (√5 -3√2)²

= (√5)² -2(√5)(3√2) + (3√2)² (Se factorizó como Cuadrado de la diferencia de un binomio)

= 5 -6√10 +9(2)

= 5 -6√10 +18

= 23 -6√10 Solución.

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Ejercicio 245

Desarrollar el cuadrado de los monomios:

1) (4√2)² = 4²(√2²) = 16(2) = 32

4) (2 ³√4)² = (2²)(³√2²)² = (2)²(³√2⁴) = 4 ³√2³2¹ = 4(2) ³√2¹= 8³√2

Elevar al cuadrado:

13) √2 -√3

= √2² -√3²

= (√2)² - 2(√2)(√3) + (√3)²

= 2 -2√6 +3

= 2+3 - 2√6

= 5 -2√6 Solución.

17) √x + √x-1

= √x² + √(x-1)²

= (√x)² + 2(√x)(√x-1) + (√x-1)²

= x + 2√x²-x + x-1

= x + x -1 + 2√x²-x

= 2x-1 + 2√x²-x Solución.

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División de radicales de distinto índice.

.           ³√8a³b ÷ ⁴√4a³ = ⁶√8a³b²

Regla.

Se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como radicales del mismo índice.

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Ejemplo.

Dividir ³√4a² entre ⁴√2a

³√4a² ÷ ⁴√2a

> El m.c.m. de los índices 3 y 4 es 12. -->

³√4a² = ¹²√( 4a²)¹²÷³ = ¹²√( 4a²)⁴ = ¹²√256a⁸

⁴√2a = ¹²√( 2a)¹²÷⁴ = ¹²√( 2a)³ = ¹²√8a³

→ ¹²√256a⁸ ÷ ¹²√8a³

= ¹²√256a⁸/¹²√8a³

= ¹²√32a⁵ Solución.

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Ejercicio 244.

Dividir:

1) ³√2 ÷ √2

El m.c.m. de los índices 3 y 2 es 6. →

³√2 = ⁶√(2)² = ⁶√4

√2 = ⁶√(2)³ = ⁶√8

→ ⁶√4 ÷ ⁶√8

= ⁶√4/8

Simplificando:

= ⁶√4/8 =

= ⁶√(4/8)(8/8)

= ⁶√32/64

= ⁶√32/2⁶

= ½ ⁶√32 Solución.

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6) ⁶√18x³y⁴z⁵ ÷ ⁴√3x²y²z³

El m.c.m. de los índices 6 y 4 es 12. →

⁶√18x³y⁴z⁵ = ¹²√(18x³y⁴z⁵)² = ¹²√324x⁶y⁸z¹⁰

⁴√3x²y²z³ = ¹²√(3x²y²z³)³ = ¹²√27x⁶y⁶z⁹

→ ¹²√324x⁶y⁸z¹⁰ ÷ ¹²√27x⁶y⁶z⁹

= ¹²√324x⁶y⁸z¹⁰/27x⁶y⁶z⁹

= ¹²√12y²z Solución.

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7) ³√3m⁴ ÷ ⁹√27m²

> El m.c.m. e los índices es 9. →

³√3m⁴ = ⁹√(3m⁴)³ = ⁹√27m¹²

⁹√27m² = ⁹√27m²

→ ⁹√27m¹² ÷ ⁹√27m²

= ⁹√27m¹²/27m²

= ⁹√m¹⁰

> Simplificando:

⁹√m¹⁰ = ⁹√m⁹m¹

= m⁹√m Solución.

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