Teoría coordinatoria estudia la ordenación de las cosas o elementos.
Existen distintas formas de ordenación como Coordinaciones ⁿAₘ , Permutaciones Pₘ y Pₘ₋₁ , y Combinaciones ⁿCₘ.
Combinaciones.
Son los grupos que se pueden formar con varios elementos tomándolos uno a uno, dos a dos, tres a tres, etc.; de manera que dos grupos que tengan el mismo número de elementos se diferencien por lo menos por un elemento.
Las combinaciones binarias se forman escribiendo a la derecha de cada letra, una a una, todas las letras siguientes:
ab, ab, ad, bc, bd, cd.
Las combinaciones terciarias se forman escribiendo a la derecha de cada binaria, una a una, las letras que siguen a la última de cada binaria siguientes:
abc, abd, acd, bcd.
La fórmula para las coordinaciones es ⁿAₘ
La fórmula para las permutaciones es Pₘ
La fórmula para las combinaciones es ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ
Partiendo de lo anterior veamos los siguientes ejemplos.
a) Entre 7 personas, ¿de cuántos modos puede formarse un comité de cuatro personas? Hazlo por combinación.
Datos: m = 7 ; n = 4. ; (7-4+1) = 4
Aplicando la fórmula: ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁴C₇ = ⁴A₇ / P₇ ⇒
⁴A₇ = (7)(6)...(7-4 +1) = (7)(6)(5)(4)= 840
P₇ = P(m = n) =P₄ = 4! = (1)(2)(3)(4) = 24 ⇒
ⁿCₘ = 840/24 = 35 modos (Por combinación).
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b) En un examen se ponen 8 temas para que el alumno escoja 5. ¿Cuántas selecciones puede hacer el alumno?
Datos: m = 8 ; n = 5 ; ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ
ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁵C₈ = ⁵A₈ / P₈
ⁿAₘ = ⁵A₈ = (8)(7)...(8-5+1) = (8)(7)(6)(5)(4) = 6720
Pₘ = P(m = n) = P₅ = 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 ⇒
ⁿCₘ = 6720/120 = 56 alumnos. (por combinación)
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Ejercicio 204c.
3) Con 7 personas, ¿cuántos comités distintos de 5 personas pueden formarse?
Datos: m = 7 , p(m = n) ; n = 5
ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁵C₈ = ⁵A₈ / P₈ ⇒
⁵A₈ = (7)(6)...(7-5+1) = (7)(6)(5)(4)(3) = 2520
Pₘ = P(m = n) = P₅ = 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 ⇒
ⁿCₘ = 2520/120 = 21 comités.
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6) De 12 libros, ¿Cuántas selecciones de 5 libros pueden hacerse?
Datos: m= 12 ; n = 5 ; P(m = n)
ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁵C₁₂ = ⁵A₁₂ / P₁₂ ⇒
⁵A₁₂ = (12)(11)...(12-5+1 =8) = (12)(11)(10)(9)(8) = 95040
P₁₂ = P(m = n) = P₅ = 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 ⇒
ⁿCₘ = 95040/120 = 792 selecciones.
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8) ¿Cuántas selecciones de 4 letras pueden hacerse con las letras de la palabra Alfredo?
Datos: m = 7 ; n = 4 ; P(m = n)
ⁿCₘ = ⁿAₘ / Pₘ = ⁴C₇ = ⁴A₇ / P₇ ⇒
⁴A₇ = (7)(6)...(7-4+1 =4) = (7)(6)(5)(4) = 840
P₇ = P(m =n) = P₄ = 4! = (1)(2)(3)(4 ) = 24
ⁿCₘ = 840/24 = 35 selecciones.
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15) ¿Cuántas selecciones de 3 monedas puede hacerse con una pieza de 5 centavos, una de 10, una de 20, una de 40 y una de a peso?
m = 5; n = 3 Pm = 5; P(m=n) = 3
ⁿCₘ = ³A₅ / Pₘ = ³C₅ = ³A₅ / P₅ ⇒
³A₅ = (5)(4)...(5-3+1 =3) = (5)(4)(3) = 60
P₅ = P(m =n) = P₃ = 3! = (1)(2)(3) = 6
ⁿCₘ = 60/6 = 10 selecciones.
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19) De entre 8 candidatos, ¿cuántas ternan se pueden formar?
Datos: m = 8 ; n = 3 ; P = 8 ; P(m=n) = 3
ⁿCₘ = ³A₈ / Pₘ = ³C₈ = ³A₈ / P₈ ⇒
³A₈ = (8)(7)...(8-3+1 = 6) = (8)(7)(6) = 336
P₈ = P(m = n) = P₃ = 3! = (1)(2)(3) = 6
ⁿCₘ = 336/6 = 56 ternas.
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