Variación inversa de una función analítica.

Función Analítica.  Es cuando se conoce de modo preciso la función que relaciona a las variables, esta relación puede determinarse matemáticamente por medio de una fórmula o ecuación que permite, para cualquier valor de la variable independiente, hallar el valor correspondiente de la función.

Variación.  Es una ecuación que relaciona una variable con otra u otras variables mediante operaciones de multiplicación o división.

Existen tres tipos de variaciones: directas, inversas y conjuntas.

Variación inversa. Esta se da cuando la variable A varía inversamente a B o que A es inversamente proporcional a B, cuando multiplicando o dividiendo una de estas variables por una cantidad, la otra variable queda dividida en el primer caso y multiplica en el segundo por esa misma cantidad. A esta cantidad que interviene se le denomina constante (k).  k = AB y de aquí  A = k/B

Ejemplo de variación inversa:

Si 10 hombres hacen una obra en 6 horas,20 hombres la harían en 3 horas y 5 hombres en 12 horas, luego la variable tiempo empleado en hacer la obra es inversamente proporcional a la variable número de hombres y viceversa.

En este ejemplo la relación entre el espacio y el tiempo es constante, como se muestra:

10 hombres emplean 6 horas; el producto es 10(6)   = 60. 

20 hombres emplean 3 horas; el producto es 20(3)   = 60.

5 hombres emplean 12 horas; el producto es 5(12)   = 60.

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Ejercicio 166.

Hallar una de las variables cuando una de las otras variables es inversamente proporcional, en forma constante; según los siguientes planteamientos.

5) A es inversamente proporcional a B.  Si A = 3 cuando B = 5,  hallar A cuando B =7.

k = AB -> k = (3)(5) = 15  Constante.

A = k/B  ->  A = 15/7  -> A = .2.14  o  A = 2¹/₇  Respuesta.

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6)  B es inversamente proporcional a A.  Si A = 1/2 cuando B = 1/3,  hallar A cuando B = 1/12.

k = BA ->  k = (1/3) (1/2)  ->  k =  1/6  Constante.

A = k/B  ->  A = 1/6 / 1/12 --> A = 12/6  -> A = 2.  Respuesta.

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10)  x es inversamente proporcional a y²-1.  Si x = 9 cuando y = 3,  hallar x cuando y = 5.

k = AB  ->  k = xy  ->  k = (9)(3²-1)  -> x = (9)(8)  ->   k =72  Constante.

A = k/B  --> x = k/y  ->  x = 72/(5²-1)  -> x = 72/24  -> x = 3  Respuesta.

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16)  x es inversamente proporcional al cuadrado de y.  Cuando y = 6, x = 4.  Hallar y cuando x = 9

k = xy  -> .k = (4)(6²)  ->  k = (4)(36)  ->  k = 144  Constante.

y² = k/x  ->  y² = 144/9  ->  y = ±√144/9   -> y = ± 12/3  ->  y = ±4

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