Variación Conjunta de una función analítica.

Variación conjunta.  Es cuando una cantidad es proporcional a otras varias, es proporcional a su producto. Siempre que la variación de las cantidades sea constante.   A = kBC

Variación directa e inversa a la vez.

Esto es cuando A es proporcional a B e inversamente proporcional a C.   Cuando A es proporcional a la relación B/C esto se denota como A = kB/C

Ejemplo de Variación conjunta.

El área de un triángulo es proporcional a la altura, si la base es constante, y es proporcional a la base si la altura es constante, luego si la base y la altura varían, el área es proporcional al producto de la base por la altura.  Siendo A el área, b la base y h la altura, tenemos que A = kBC  y la constante k = 1/2 , entonces A = 1/2 bh.

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Ejercicio 166.

3)  A es proporcional a B y a C.  Si A = 30 cuando B = 2 y C =5, hallar A cuando B = 7 , C = 4.

A = kBC ->

30 = k(2)(5)  ->  30 = 10k  ->  k = 30/10  ->  k = 3.  Constante.

A = kBC  ->  A = 3(7)(4)  ->  A = 84  Respuesta.

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4) "x" es proporcional a "y" y a "z".  Si x = 4 cuando y = 3 y z = 6, hallar "y" cuando x = 10, z = 9.

A = kBC -> x = kyz

4 = k(3)(6)  ->  4 = k(18)  ->  k = 4/18  -> k = 2/9  Constante.

y = x/kz  ->  y = 10 / 2/9(9)  ->  y = 10 / 2  ->  y = 5  Respuesta.

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7)  A es proporcional a B e inversamente proporcional a C.  Si A = 8 cuando B = 12, C = 3, hallar A cuando B = 7, C = 14.

A = kB/C  ->  8 = k(12) /3  -> 3(8) = 12k  -> 24/12 = k ->  k =  2  Constante.

A = kB/C  -> A = 2(7) /14  ->  A = 14/14  -> A = 1  Respuesta.

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8) "x" es proporcional a "y" e inversamente proporcional a "z". Si x = 3 cuando y = 4, z = 8, hallar "z" cuando y = 7, x = 10.

x = ky/z  ->  3 = k(4) /8  ->  3(8) = 4k  -> 24 = 4k ->  k = 24/4  -> k = 6  Constante.

z = ky/x  ->  z = 6(7)/10  -> z = 42/10  ->  z = 21/10  ->  z = 4¹/₅   Respuesta.

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12) El área lateral de una pirámide regular es proporcional a su apotema y al perímetro de la base.  Si el área es 480m² cuando el apotema es 12m y el perímetro de la base es 80., hallar el área cuando el apotema es 6m y el perímetro de la base 40m.

Area = A  ,  apotema = a  ,  perímetro = p  , constante = k

A = kap  ->  480 = k(12)(80)  -> 480 = 960k  -> k = 480/960  -> k = 1/2  Constante

A = kap  ->  A = 1/2(6)(40)  -> A = 120m²  Respuesta.

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13)  El volumen de una pirámide es proporcional a su altura y al área de su base. Si el volumen de una pirámide, cuya altura es 8m y el área de su base es 36m², es 96 m³, ¿cuál será el volumen de una pirámide cuya altura es 12m y el área de su base es 64m²? 

volumen = v  ,  altura = a  ,  área = A  ,  constante = k

A = kBC  -> v = kaA  _> 96 = k(8)(36)  -> .96 = k(288)  -> k = 96/288  ->  k = 1/3 constante.

a >= kBC n--> v = kaA  ->  v = 1/3(12)(64)  -> v = 256 m³.  Respuesta. 

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Variación inversa de una función analítica.

Función Analítica.  Es cuando se conoce de modo preciso la función que relaciona a las variables, esta relación puede determinarse matemáticamente por medio de una fórmula o ecuación que permite, para cualquier valor de la variable independiente, hallar el valor correspondiente de la función.

Variación.  Es una ecuación que relaciona una variable con otra u otras variables mediante operaciones de multiplicación o división.

Existen tres tipos de variaciones: directas, inversas y conjuntas.

Variación inversa. Esta se da cuando la variable A varía inversamente a B o que A es inversamente proporcional a B, cuando multiplicando o dividiendo una de estas variables por una cantidad, la otra variable queda dividida en el primer caso y multiplica en el segundo por esa misma cantidad. A esta cantidad que interviene se le denomina constante (k).  k = AB y de aquí  A = k/B

Ejemplo de variación inversa:

Si 10 hombres hacen una obra en 6 horas,20 hombres la harían en 3 horas y 5 hombres en 12 horas, luego la variable tiempo empleado en hacer la obra es inversamente proporcional a la variable número de hombres y viceversa.

En este ejemplo la relación entre el espacio y el tiempo es constante, como se muestra:

10 hombres emplean 6 horas; el producto es 10(6)   = 60. 

20 hombres emplean 3 horas; el producto es 20(3)   = 60.

5 hombres emplean 12 horas; el producto es 5(12)   = 60.

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Ejercicio 166.

Hallar una de las variables cuando una de las otras variables es inversamente proporcional, en forma constante; según los siguientes planteamientos.

5) A es inversamente proporcional a B.  Si A = 3 cuando B = 5,  hallar A cuando B =7.

k = AB -> k = (3)(5) = 15  Constante.

A = k/B  ->  A = 15/7  -> A = .2.14  o  A = 2¹/₇  Respuesta.

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6)  B es inversamente proporcional a A.  Si A = 1/2 cuando B = 1/3,  hallar A cuando B = 1/12.

k = BA ->  k = (1/3) (1/2)  ->  k =  1/6  Constante.

A = k/B  ->  A = 1/6 / 1/12 --> A = 12/6  -> A = 2.  Respuesta.

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10)  x es inversamente proporcional a y²-1.  Si x = 9 cuando y = 3,  hallar x cuando y = 5.

k = AB  ->  k = xy  ->  k = (9)(3²-1)  -> x = (9)(8)  ->   k =72  Constante.

A = k/B  --> x = k/y  ->  x = 72/(5²-1)  -> x = 72/24  -> x = 3  Respuesta.

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16)  x es inversamente proporcional al cuadrado de y.  Cuando y = 6, x = 4.  Hallar y cuando x = 9

k = xy  -> .k = (4)(6²)  ->  k = (4)(36)  ->  k = 144  Constante.

y² = k/x  ->  y² = 144/9  ->  y = ±√144/9   -> y = ± 12/3  ->  y = ±4

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