Problemas resueltos por ecuaciones simultáneas.

 Ejemplo.  

La diferencia de dos números es 14, y 1/4 de su suma es 13.  Hallar los números.

Datos:

x = el número mayor    ;     y = el número menor

(x+y)/4 = la cuarta parte de la suma.

Formamos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

Quitamos denominadores y sumamos:

Sustituimos el valor de "x" en (1)

x -y = 14

33 -y = 14

-y = 14-33

y = 19

Solución: los números son  33 y 19.

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Ejercicio 193.

Resolver los problemas utilizando ecuaciones simultáneas.

1) La diferencia de dos números es 40 y 1/8 de su suma es 11.  Halar los números.

Datos:

x = número mayor  ;  y = número menor   ;  (x+y)/8 = octava parte de la suma.

   

Sustituyendo el valor de "x" en (1):

x -y = 40

64 -y = 40

-y =40 -64

-y = -24

y = 24

Solución: los números son:  64 y 24.

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2) La suma de dos números es 190 y 1/9 de su diferencia es 2.  Hallar los números.

Datos:  x = número mayor   ;  y = número menor ;  

x+y = suma    ;     (x-y)/9 Novena parte de diferencia.

Sustituyendo el valor de "x" en (1)

x +y = 190

104 +y = 190

y = 190-104

y =  86

Solución: los números son:  104 y 86.

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3) La suma de dos números es 1529 y su diferencia 101.  Hallar los números.

Datos:  x= número mayor   ;   y = número menor

x +y = suma   ;   x -y = diferencia.

Sustituyendo el valor de "x" en (1):

x +y = 1529

714 +y = 1529

y = 1529-815

y = 714

Solución: los números son 815 y 714. 

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4) Un cuarto de la suma de dos números es 45 y un tercio de su diferencia es 4. Hallar los números.

Datos:  x = número mayor   ;   y = número menor

(x +y)/4 = Un cuarto de la suma  ;   (x -y)/3 = un tercio de la diferencia. 

Sustituyendo el valor de "x" en (1)

(x +y)/4 = 45

(96+y)/4=45

96+y =45(4)

y = 180-96

y = 84

Solución: los números son:  96 y 84. 

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5) Los 2/3 de la suma de dos números es 74 y los 3/5 de su diferencia 9.  Hallar los números.

Datos:  x = número mayor;     y = número menor;

2(x+y) /3 = 2/3 de la suma;      3(x-y) /5 = 3/5 de la diferencia.

 

Sustituyendo "x" en (2)

3x -3y = 45

3(63) -3y = 45

189 -3y = 45

-y = 45 -189 /-3

-y = -144/3

y = 48

Solución: los números son 63 y 48.

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6) Los 3/10 de la suma de dos números exceden en 6 a 39 y los 5/6 de su diferencia son 1 menos que 26.  Hallar los números. 

Datos: x = número mayor   ;   y = número menor .

 

Sustituyendo "x" en (1)

3x +3y = 450

3(90) +3y = 450

270 +3y = 450

y = 450-270 /3

y = 180/3

y = 60

Solución: los números son:  90  y  60.

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Gráfica de ecuaciones lineales. Intersección.

 Ejemplos.

a) Hallar la intersección de 3x+4y=10 con 2x+y=0

Se tiene 3x+4y=10  ⇒   y = 10-3x /4 ; x = 10-4y /3

Si x = 0 ⇒ y =10-3(0) /4 ⇒ y =10/4 ⇒ y = 5/2 ó 2¹/₂ : (x, 2¹/₂)

Si y = 0 ⇒ x =10-4(0) /3 ⇒ x =10/3 ⇒ x = 3¹/₃    :  (3¹/₃, 0)

Se tiene 2x+y = 0   ⇒  y = -2x  ;  x = -y/2

Si x = 0 ⇒ y =-2(0) ⇒ y = 0      (0, 0)

Si x =1 ⇒ y = -2(1) ⇒ y = -2 ->    :   (1, -2)

La intersección es (-2,4)

Graficando los puntos de cada ecuación se representaría así:

b) Hallar la intersección de 2x+5y=4 con 3x+2y=-5

Se tiene 2x+5y=4 ⇒  y = 4-2x /5   ;    x = 4-5y /2

Si x=0 ⇒ y = 4-2(0) /5 ⇒ y = ⁴/₅   :  (0, ⁴/₅)

Si y=0 ⇒ y = 4-5(0) /2 ⇒ y = 4/2 y = 2    :  (2, 0)  

Se tiene 3x+2y=-5 -> y = -5-3x /2  ;  x = -5-2y /3

Si x=0 ⇒ y = -5-3(0) /2  ⇒ y = -5/2 ó -2¹/₂  :  (0, -2¹/₂)

Si y=0 ⇒ x = -5-2(0) /3 ⇒ x =-5/3 ó x = -1²/₃  :  (-1²/₃, 0)

La intersección es  (-3,2)

Graficando las ecuaciones en base a sus puntos:

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Ejercicio 175.

Hallar la intersección de:

21)  x+1=0  con y-4=0

1°) x+1=0  es x=-1 equivale a 0y+x=-1 -> 

Si y = -1  ⇒  0(-1)+x = -1 ⇒  x = -1  punto (-1,-1)

Si y = 0  ⇒  0(0)+x = -1  ⇒ x = -1   punto (-1, 0)

Si y = 1  ⇒  0(1)+x = -1  ⇒  x = -1  punto  (-1,1)

2°) y=-4 es y=4  equivale a 0x+y=4  ->

Si x = -1  ⇒ 0(-1)+y = 4 ⇒ y = 4   punto (-1, 4)

Si x = 1   ⇒ 0(1)+y = 4   ⇒ y = 4  punto   (1, 4) 

La intersección es  (-1,4)

por lo tanto su gráfica es:

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22)  3x=2y  con  x+y=5

1°) Se tiene 3x=2y -> 3x-2y= 0 

-> x = 2y/3   ;  y = -3x/-2

Si x = -1  ⇒ y = -3(-1) /-2 ⇒ y = - 3/2   punto (-1, -3/2)

Si x = 0   ⇒ y = -3(0) /-2   ⇒ y = 0/-2 ⇒ y = 0  punto (0, 0)

Si x =1  -> y = -3(1) /-2  ⇒ y = -3/-2 ⇒ y = 3/2  punto (1, 3/2)  

2°)  Se tiene x+y = 5 

⇒ x +y=5 ⇒   x = 5-y   ;    y = 5-x ->

Si x = 0 ⇒  y = 5-(0) ⇒ y = 5   Punto (0, 5)

Si y = 0 ⇒  x = 5-(0) ⇒ x = 5    Punto (5, 0)

La intersección es (2, 3)

Por lo tanto su gráfica es:

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23)  x -y = 2  con 3x +y = 18

1°) Se tiene x -y = 2 ⇒

x-y = 2 ⇒  x = 2+y    ;     -y = 2-x ⇒  y = -2+x

Si x = 0  ⇒  y = -2-(0) ⇒ y = -2   Punto (0, -2)

Si y = 0  ⇒  x = 2+(0)  ⇒  x = 2   Punto (2, 0)

2°)  Se tiene 3x+y=18 ⇒

3x+y=18  ⇒  x= 18-y /3   ;    y= 18-3x ⇒

Si x = 0  ⇒  y= 18-3(0) ⇒ y = 18   Punto (0, 18)

Si y = 0  ⇒ x = 18-(0) /3 ⇒ x = 18/3 ⇒ x= 6  Punto  (6, 0)

La intersección es (5, 3)

Su gráfica es:

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24) 2x -y = 0 con 5x +4y = -26

Se tiene 2x-y=0 ⇒

x = y/2   ;   y = 2x

Si x = -1 ⇒  y = 2(-1) ⇒  y = -2   Punto  (-1, -2)

Si x = 0  ⇒  y = 2(0)  ⇒   y = 0    Punto (0, 0)

Si x = 1 ⇒  y = 2(1)  ⇒  y = 2b    Punto (1, 2) 

Se tiene  5x+4y=-26 ⇒

x = -26-4y /5    ;   y = -26-5x /4  ⇒

Si x=0 ⇒  y=-26 -5(0) /4 ⇒  y=-26/4 ⇒ y=- 13/2 ⇒ y=-6¹/₂  Punto (0, -6¹/₂)

Si y=0 ⇒  x=-26-4(0) /5 ⇒ x=-26/5 ⇒ x= -5¹/₅    Punto (-5¹/₅, 0)

La intersección es (-2, -4)

Su gráfica sería:

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25)  5x+6y=-9  con  4x-3y=24

Se tiene 5x+6y=-9 ⇒

x = -9 -6y /5   ;   y = -9 -5x /6 ⇒

x = 0   ⇒  y= -9-5(0) /6 ⇒ y=-9/6 ⇒ y=-3/2   Punto (0, -3/2)

y = 0  ⇒  x= -9 -6(0) /5 ⇒ x=-9/5 ⇒ x= -9/5   Punto (-9/5, 0)

Se tiene 4x-3y=24 ⇒

x = 24+3y /4    ;    y = 24-4x /-3

x=0  ⇒  y= 24-4(0) /-3 ⇒ y= 24/-3 ⇒ y=-8  Punto (0, -8)

y=0  ⇒  x= 24+3(0) /4 ⇒ x= 24/4  ⇒  x= 6   Punto (6, 0)

La intersección es (3, -4)

La gráfica sería:

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26)  x +5 = 0  con  6x -7y = -9

Se tiene x+5 = 0  es x=-5, equivale a x +0y = -5 ⇒

Si y = -1 ⇒  x+0(-1) = -5 ⇒ x = -5   Punto (-5, -1)

Si y = 0  ⇒  x+0(0) = -5   ⇒ x = -5   Punto (-5, 0)

Si y = 1  ⇒  x+0(1) = -5   ⇒ x = -5    Punto (-5, 1)

Se tiene 6x-7y=-9 ⇒

x = -9+7y / 6    ;     y = -9 -6x /-7 ⇒

x = 0  ⇒ y = -9 -6(0) /-7 ⇒ y = -9/-7 ⇒ y= 9/7   Punto (0, 9/7)

y = 0  ⇒ x = -9+7(0) /6⇒ x=- 9/6 ⇒   Punto (-9/6, 0)

La intersección es (-5, -3)

La gráfica sería:

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27) 3x +8y = 28  con  5x -2y = -30

Se tiene 3x+8y=28 ⇒

x= 28-8y /3    ;     y= 28-3x /8 ⇒

x = 0  ⇒ y= 28-3(0) /8  ⇒  y= 28/8 ó  y= 7/2   Punto (0, 7/2)

y = 0  ⇒ x= 28-8(0) /3  ⇒  x= 28/3  ó  x= 9¹/₃  Punto (28/3, 0)

Se tiene 5x-2y=-30 ⇒

x= -30+2y /5    ;    y= -30-5x /-2 ⇒

x = 0  ⇒  y= -30-5(0) /-2  ⇒  y= -30/-2  ⇒  y= 15  Punto (0, 15)

y = 0  ⇒  x= -30+2(0) /5  ⇒  x= -30/5    ⇒  x= -6   Punto (-6. 0)

La intersección es (-4, 5)

La gráfica sería:

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28) y-4 = 0   con   7x+2y=22

Se tiene y-4=0  es y=4, que equivale a 0x+y=4 ⇒

Si x = -2  ⇒  0(-2)+y=4 ⇒  y= 4   Punto (-2, 4)

Si x =  0  ⇒  0(0)+y=4   ⇒  y= 4    Punto (0, 4)

Si x = 2   ⇒  0(2)+y=4   ⇒  y= 4    Punto (2, 4)

Se tiene 7x+2y=22  ⇒

x= 22-2y /7    ;     y= 22-7x /2 ⇒

x = 0  ⇒  y = 22-7(0) /2  ⇒  y = 22/2  ⇒  y = 11   Punto (0, 11)

y = 0  ⇒   x = 22-2(0) /7  ⇒  x = 22/7 ⇒ x = 3¹/₇   Punto (3¹/₇, 0)

La intersección es (2, 4)

La gráfica sería:

 

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