División de polinomios por el método de coeficientes separados.

La división de polinomios por coeficientes separados puede usarse para los siguientes casos:

Caso 1) Cuando la división contenga una sola y misma letra y estén ordenados en relación a dicha letra.

Ejemplo:

Dividir 8x⁶-16x⁵+6x⁴+24x²+18x-36 entre 4x³+3x-6 por coeficientes separados:

> Escribiendo solo los coeficientes son sus respectivos signos del polinomio divisor y del polinomios dividendo; agregando cero donde falte un término según su orden:

.                  2 -4 + 0 +6 .
4 +0 +3 -6 | 8 -16 + 6 +  0 +24 +18 -36
.                  -8 + 0 - 6 +12.              

.                      -16 +0 +12 +24

.                       16 +0 +12 - 24 

.                                  +24 + 0 +18 - 36

.                                   -24 + 0 - 18 +36

.                                               0

Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendremos, sin sus coeficientes, el primer término del cociente encontrado y para el segundo término disminuye su exponente en tres unidades, porque así es la secuencia de los polinomios, y así sucesivamente.

-> x⁶ ÷ x³ = x³
∴ 2 -4 + 0 +6 = 2x³ -4x² +0x +6 = Solución.

Caso 2) Cuando la división contenga las mismas dos letras y los polinomios estén ordenados en relación a una de las letras.

Ejemplo:
Dividir a⁵-7a⁴b+21a³b²-37a²b³+38ab⁴-24b⁵ entre a²-3ab+4b²

.             1 -4 +5 -6 .
1 -3 +4  | 1 -7 +21 -37 +38 -24
.             -1 +3 - 4
.                  -4 +17 -37
.                   4 -12 +16
.                         5 - 21 +38
.                        -5 +15 -20
.                             -  6 +18 -24
.                                6 -18 +24
.                                       0

Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendremos, sin sus coeficientes, el primer término del cociente encontrado; y para el segundo término disminuye el exponente de la 1ª letra "a" en una unidad y el exponente de la 2ª letra "b" aumenta en igual manera y así sucesivamente.

->a⁵ ÷ a²= a³

∴ 1 -4 +5 -6 = a³-4a²b+5ab²-6b³ Solución. 

NOTA: Tomar en cuenta que el exponente de la primera letra aumenta unidades según la secuencia que tienen los polinomios, o sea, en una unidad, en dos unidades, en tres unidades, o en más; de igual manera la segunda letra del término del cociente.

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Ejercicio 58.

Dividir por coeficientes separados:

3)  a⁶+a⁵b-7a⁴b²+12a³b³-13a²b⁴+7ab⁵-b⁶ entre a²-2ab+b²

.             1+3-2+5-1                  .

1 -2 +1 | 1 +1 -7 +12 -13 +7 -1

.            -1 +2 -1

.                   3 -8 +12

.                  -3+6 -  3

.                      -2 + 9 -13

.                        2 - 4 + 2

.                              5 -11 +7

.                            -5 +10 -5

.                                 -  1 +2 -1

.                                     1 -2 +1

.                                        0

-> a⁶ ÷ a² = a⁴

 

∴ 1+3-2+5-1 = a⁴+3a³b-2a²b²+5ab³-b⁴  Solución.

__________________________________

5) x⁸-2x⁶-50x⁴+58x²-15 entre x⁴+6x²-5

.             1 -8 +3               .

1 +6 -5 | 1 - 2 -50 +58 -15

.             -1 -6 + 5

.                  -8 -45 +58

.                   8 +48 -40

.                          3 +18 -15

.                         -3 -18 +15

.                                 0

-> x⁸ ÷ x⁴ = x⁴

∴ 1 -8 +3 = x⁴ -8x² +3  Solución.

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7) 3x¹⁵-20x¹²-70x⁶+51x⁹+46x³-20 entre 3x⁶-8x³+10

=  3x¹⁵-20x¹²+51x⁹-70x⁶+46x³-20 ÷ 3x⁶-8x³+10 (ordenado el dividendo)

.

.            1-4+3-2                  .

3-8+10 | 3-20+51-70+46-20

.            -3+ 8- 10

.               -12+41-70

.                 12-32+40

.                         9-30+46

.                       -9+24-30

.                           -  6+16-20

.                               6-16+20

.                                    0

-> 3x¹⁵ ÷ 3x⁶ = x⁹

 

∴ 1-4+3-2 = x⁹-4x⁶+3x³-2  Solución.

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9) 2x⁷-6x⁶y-8x⁵y²-20x⁴y³-24x³y⁴-18x²y⁵-4y⁷ entre 2x²+4y²

 

.             1-3-6 -4+0-1                  .              

 2+ 0+4 | 2- 6- 8-20-24-18+0-4

.             -2- 0- 4

.                 -6-12-20 

.                  6+ 0+12

.                     -12- 8-24

.                      12+0+24

.                          - 8+  0 -18

.                             8+ 0 +16

.                                      -  2+ 0- 4

.                                         2+ 0 +4

.                                              0

-> x⁷ ÷ x² = x⁵

 

∴ 1-3-6-4+0-1 = x⁵-3x⁴y-6x³y²-4x²y³-y⁵ Solución.

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 11) n¹º-6n⁸+5n⁷+13n⁶-23n⁵-8n⁴+44n³-12n²-32n+16 entre n⁶-3n⁴+5n³-8n+4

       

.                          1+0-3+0+4                                               .

1+0-3+5+0-8+4 | 1+0- 6+5+13-23 - 8+44-12 -32+16

.                           -1-0+3- 5 -  0+ 8 - 4

.                                   -3  0+13- 15-12+44-12

.                                    3+0 -  9+15+ 0 -24+12

.                                               4   0 -12+20   0  -32+16

.                                              -4   0 +12-20   0 +32 -16

.                                                                0

-> n¹º ÷ n⁶ = n⁴

 

 ∴ 1+0-3+0+4 = n⁴ -3n² +4  Solución.

________________________________

 

13) x¹⁶-4x¹⁴y²-10x¹²y⁴+21x¹ºy⁶+28x⁸y⁸-23x⁶y¹º+9x⁴y¹²+33x²y¹⁴-6y¹⁶

entre x⁶-4x⁴y²-5x²y⁴+y⁶

 

 .             1+0-5+0+3-6                          .

 1-4-5+1 | 1- 4-10+21+28-23+  9+33 - 6

 .              -1+4+ 5 - 1

.                       - 5+20+28

.                         5 -20 -25+ 5 

.                                   + 3-18+  9+33

.                                    - 3+12+15 - 3

.                                           -6+24+30 - 6

.                                             6-24 -30 +6

.                                                       0

-> x¹⁶ ÷ x⁶ = x¹º

 

 ∴ 1+0-5+0+3-6 = x¹º-5x⁶y⁴+3x²y⁸-6¹º  Solución.

_________________________________

15) 7a²ˣ⁺⁵-35a²ˣ⁺⁴+6a²ˣ⁺³-78²ˣ⁺²-5a²ˣ⁺¹-42a²ˣ-7a²ˣ⁻¹

entre aˣ+6aˣ⁺¹+7aˣ⁺³.

 

= 7a²ˣ⁺⁵-35a²ˣ⁺⁴+6a²ˣ⁺³-78²ˣ⁺²-5a²ˣ⁺¹-42a²ˣ-7a²ˣ⁻¹

÷ 7aˣ⁺³+6aˣ⁺¹+aˣ. (ordenado el divisor)

 

.               1-5+0-7                    .

7+0+6+1 | 7-35+ 6 -78- 5-42-7

.               -7 - 0 - 6 -  1

.                   -35+ 0-79

.                    35+ 0+30+5

.                              -49- 0-42

.                               49+0+42+7

.                                      0 

-> a²ˣ⁺⁵ ÷  aˣ⁺³ = aˣ⁺²

∴ 1-5+0-7 = aˣ⁺²-5aˣ⁺¹+0aˣ-7aˣ⁻¹ = aˣ⁺²-5aˣ⁺¹-7aˣ⁻¹  Solución.

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17) 6a⁵ˣ⁺³-23a⁵ˣ⁺²+12a⁵ˣ⁺¹-34a⁵ˣ+22a⁵ˣ⁻¹-15a⁵ˣ⁻²

entre  a²ˣ⁺²-a²ˣ-3a²ˣ⁺¹-5a²ˣ⁻¹

 

= -15a⁵ˣ⁻²+22a⁵ˣ⁻¹-34a⁵ˣ+12a⁵ˣ⁺¹-23a⁵ˣ⁺²+6a⁵ˣ⁺³

entre  -5a²ˣ⁻¹-a²ˣ-3a²ˣ⁺¹+a²ˣ⁺² (ordenados los polinomios)

 

 .              3 -5 +6                        .

-5-1-3+1 | -15+22-34+12-23+6

.                  15+ 3+ 9 -  3

.                        25-25+ 9 -23

.                       -25 - 5-15+ 5

.                            -30 - 6 -18+ 6

.                              30+ 6+18 - 6

.                                        0

-> -a⁵ˣ⁻² ÷ -a²ˣ⁻¹ = a³ˣ⁻¹

∴ 3 -5 +6 = 3a³ˣ⁻¹-5a³ˣ+6a³ˣ⁺¹  Solución.

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División de dos polinomios y su prueba.

Para comprobar si el cociente de una divisón de dos polinomios es correcto, basta con multiplicar dicho cociente por el divisor y el resultado deberá ser igual al dividendo.

En ocasiones para efectuar la prueba o comprobación, se puede multiplicar el divisor por el cociente, para hacer más sencilla la multiplicación.

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Ejemplos:

 

a) Dividir 2x³ -2 -4x entre 2 +2x.

 

> Primero ordenar tanto el divisor como el dividendo:

2x³ -4x -2  ÷ 2x +2

 

Resolviendo la división:

 

.            x² -x-1

2x+2  | 2x³          -4x -2

.          -2x³ -2x²

.                  -2x² - 4x

.                    2x² +2x

.                           -2x -2

.                            2x +2

.                                0

Comprobación:

x² -x -1

2x+2               .

2x³ - 2x² -2x

.     +2x² -2x -2

2x³         -4x -2 ->  = 2x³ -4x -2

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b) Dividir  x¹²+x⁶y⁶-x⁸y⁴-x²y¹º entre x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶

 

> Ordenando los polinomios:

 

 x¹²-x⁸y⁴+x⁶y⁶-x²y¹º  ÷ x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶

 

> Efectuando la división: 

.                             x⁴ -x²y² +y⁴                                     .

x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶ | x¹²           -x⁸y⁴ + x⁶y⁶           - x²y¹º

.                            -x¹² -x¹ºy² +x⁸y⁴ + x⁶y⁶

.                                   -x¹ºy²          +2x⁶y⁶       

 .                                   x¹ºy² +x⁸y⁴ -   x⁶y⁶ - x⁴y⁸ 

.                                               x⁸y⁴ +  x⁶y⁶ - x⁴y⁸ - x²y¹º

.                                              -x⁸y⁴  -  x⁶y⁶ +x⁴y⁸ +x²y¹º

.                                                                 0 

Comprobación:

 

x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶

x⁴ -x²y² +y⁴         .
x¹² +x¹ºy²- x⁸y⁴-x⁶y⁶

.     -x¹ºy²- x⁸y⁴+x⁶y⁶+x⁴y⁸

.              +x⁸y⁴+x⁶y⁶- x⁴y⁸ -x²y¹º

x¹²           - x⁸y⁴+x⁶y⁶          -x²y¹º

-> = x¹² - x⁸y⁴ +x⁶y⁶ -x²y¹º

Nota: En este caso se aplicó la propiedad conmutativa de la multiplicación.(Se multiplicó el divisor por el cociente). Como recordarás el cambio de orden de los factores no altera el producto.

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Ejercicio 55.

Dividir los siguientes polinomios y comprobar el cociente:

 

2) x⁵+12x²-5x entre x²-2x+5

 

 .              x³+2x²-x                 

x²-2x+5 | x⁵              +12x²-5x

.             -x⁵+2x⁴ -5x³

.                    2x⁴ -5x³+12x² 

.                   -2x⁴+4x³ -10x²

.                           - x³ + 2x² -5x

.                              x³ - 2x²+5x

.                                      0

Comprobación.

x³+2x²-x

x²-2x+5

x⁵+2x⁴-  x³

.   -2x⁴-4x³+  2x²

.           5x³+10x²-5x

x⁵              +12x²-5x = x⁵+12x²-5x  Solución.

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5) x⁶+6x³-2x⁵-7x²-4x+6 entre x⁴-3x²+2

 

.               x²-2x+3                             .

x⁴-3x²+2 | x⁶- 2x⁵       +6x³ -7x² -4x+6

.               -x⁶       +3x⁴        -2x²

.                   - 2x⁵+3x⁴+6x³ -9x²      +6

.                     2x⁵        - 6x³       +4x

.                             3x⁴        -9x²      +6

.                            -3x⁴       +9x²      - 6

.                                           0

Comprobación:

x²-2x+3

x⁴-3x²+2

x⁶-2x⁵+3x⁴

.         - 3x⁴+6x³-9x²

.                          2x²-4x+6

x⁶-2x⁵        +6x³-7x² -4x+6 = x⁶-2x⁵+6x³-7x²-4x+6  Solución.

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8) 3x³y-5xy³+3y⁴-x⁴  entre x²-2xy+y²

= -x⁴+3x³y-5xy³+3y⁴ ÷ x²-2xy+y²  (ordenado el dividendo)

 

 .                 -x²+xy+3y²                     .

 x²-2xy+y² | -x⁴+3x³y         -5xy³+3y⁴

.                    x⁴- 2x³y+  x²y²

.                            x³y+  x²y²-5xy³

.                           -x³y+2x²y²-  xy³

.                                    3x²y²-6xy³+3y⁴       

.                                   -3x²y²-6xy³+3y⁴

.                                                 0

Comprobación:

 -x²+xy+3y²

 x²-2xy+y²

-x⁴+  x³y+3x²y²

.      2x³y- 2x²y² - 6xy³

.             -   x²y² + xy³+3y⁴

-x⁴+3x³y            -5xy³+3y⁴ = -x⁴+3x³y-5xy³+3y⁴  Solución.

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13) 5a³x²-3x⁵-11ax⁴+3a⁴x-2a⁵  entre  3x³-a³+2ax²

=  -2a⁵+3a⁴x+5a³x²-11ax⁴-3x⁵ ÷ -a³+2ax²+3x³ (ordenados)

.                      2a²-3ax-x²                                      .

-a³+2ax²+3x³ | -2a⁵+3a⁴x+5a³x²          -11ax⁴ -3x⁵

.                        2a⁵          -4a³x² -6a²x³

.                                3a⁴x+ a³x² -6a²x³

.                               -3a⁴x         +6a²x³ +9ax⁴

.                                           a³x²           - 2ax⁴                              

.                                          -a³x²           +2ax⁴+3x⁵

.                                                            0

Comprobación:

2a²-3ax-x²

-a³+2ax²+3x³

-2a⁵+3a⁴x+ a³x²

.                4a³x²- 6a²x³- 2ax⁴

.                        +6a²x³- 9ax⁴ -3x⁵

-2a⁵+3a⁴x+5a³x²         -11ax⁴ -3x⁵

 

-> = -2a⁵+3a⁴x+5a³x²-11ax⁴-3x⁵  Solución.

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16) m⁶-m⁵+5m³-6m+9  entre  m⁴+3-m²+m³

= m⁶-m⁵+5m³-6m+9  ÷  m⁴+m³-m²+3 (ordenado el divisor)

 

.                       m²-2m+3                                 .

 m⁴+m³-m²+3 | m⁶-  m⁵       +5m³         +6m+9

 .                     -m⁶-  m⁵+ m⁴         - 3m²

 .                          - 2m⁵+ m⁴+5m³- 3m²

.                           +2m⁵+2m⁴-2m³         - 6m 

.                                     3m⁴+3m³- 3m²     

.                                    -3m⁴- 3m³+3m²       - 9

 .                                                    0

Comprobación:

m²-2m+3

m⁴+m³-m²+3

m⁶-2m⁵+3m⁴

.   + m⁵ -2m⁴+3m³

.            -  m⁴+2m³- 3m²

.                             +3m²-6m+9

m⁶-  m⁵         +5m³         -6m+9

 

= m⁶-m⁵+5m³-6m+9  Solución.

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19) 4y³-2y⁵+y⁶-y⁴-4y+2  entre  y⁴+2-2y²

=  y⁶-2y⁵-y⁴+4y³-4y+2 ÷ y⁴-2y²+2

 

.               y²-2y+1                                .

y⁴-2y²+2 | y⁶ - 2y⁵ -   y⁴+4y³       -4y+2

.               -y⁶         +2y⁴        -2y²

.                    - 2y⁵ +  y⁴+4y³-2y²

.                    +2y⁵         -4y³        +4y

.                                 y⁴       -2y²        +2

.                                -y⁴      +2y²        - 2

.                                              0

Comprobación:

y²-2y+1

y⁴-2y²+2

y⁶-2y⁵+ y⁴

.         -2y⁴+4y³- 2y²

.                       +2y²-4y+2

y⁶-2y⁵ - y⁴+4y³        -4y+2

 

= y⁶-2y⁵-y⁴+4y³-4y+2  Solución.

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22) 24x⁵-52x⁴y+38x³y²-33x²y³-26xy⁴+4y⁵ entre 8x³-12x²y-6xy²+y³

 

.                               3x²-2xy+4y²                                          .

8x³-12x²y-6xy²+y³ | 24x⁵-52x⁴y+38x³y²-33x²y³ -26xy⁴+4y⁵

.                              -24x⁵+36x⁴y+18x³y²-  3x²y³

.                                       - 16x⁴y+56x³y²-36x²y³

.                                         16x⁴y- 24x³y²-12x²y³ + 2xy⁴

.                                                  +32x³y² -48x²y³- 24xy⁴

.                                                   -32x³y²+48x²y³+24xy⁴-4y⁵

.                                                                          0 

Comprobación:

3x²-2xy+4y²

8x³-12x²y-6xy²+y³

24x⁵-16x⁴y+32x³y²

.      -36x⁴y+24x³y²- 48x²y³

.                 - 18x³y²+12x²y³-24xy⁴

.                              +  3x²y³-  2xy⁴+4y⁵

24x⁵-52x⁴y+38x³y² -33x²y³- 26xy⁴+4y⁵  Solución.

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28)  x¹¹-5x⁹y²+8x⁷y⁴-6x⁵y⁶-5x³y⁸+3xy¹⁰ entre x⁵-2x³y²+3xy⁴

 

 .                        x⁶-3x⁴y²-x²y⁴+y⁶                               .

x⁵-2x³y²+3xy⁴ | x¹¹- 5x⁹y²+8x⁷y⁴ -6x⁵y⁶ -5x³y⁸+3xy¹⁰

-                       -x¹¹+2x⁹y²- 3x⁷y⁴

.                              -3x⁹y²+5x⁷y⁴

.                             +3x⁹y²- 6x⁷y⁴+9x⁵y⁶

.                                        -   x⁷y⁴+3x⁵y⁶   

.                                        +  x⁷y⁴- 2x⁵y⁶+3x³y⁸

.                                                   +  x⁵y⁶- 2x³y⁸

.                                                    -  x⁵y⁶+2x³y⁸- 3xy¹⁰

.                                                                      0

 Comprobación:

x⁶-3x⁴y²-x²y⁴+y⁶

x⁵-2x³y²+3xy⁴  .

x¹¹- 3x⁹y²-  x⁷y⁴+  x⁵y⁶ 

.   - 2x⁹y²+6x⁷y⁴+2x⁵y⁶-2x³y⁸ 

.              +3x⁷y⁴- 9x⁵y⁶-3x³y⁸+3xy¹⁰

x¹¹- 5x⁹y²+8x⁷y⁴- 6x⁵y⁶-5x³y⁸+3xy¹⁰  Solución.

___________________________________

 

 33) a⁵+b⁵ entre a+b

 

.       a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴         .

a+b | a⁵                               +b⁵

.      -a⁵ -a⁴b

.            -a⁴b

.             a⁴b+a³b²

.                  +a³b²

.                   -a³b²-a²b³ 

.                           -a²b³

.                          +a²b³+ab⁴

.                                   +ab⁴ 

.                                    -ab⁴-b⁵

.                                         0

Comprobación.

a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴

a + b 

a⁵- a⁴b+a³b²- a²b³+ab⁴

.  +a⁴b- a³b²+a²b³- ab⁴+b⁵

a⁵                                +b⁵

 

-> = a⁵ +b⁵  Solución.

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 38) x³+y³+3x²y+3xy²-1 entre x²+2xy+y²+x+y+1

= x³+3x²y+3xy²+y³-1 ÷ x²+2xy+y²+x+y+1

 

 .                               x+y-1                                                .

 x²+2xy+y²+x+y+1 | x³+3x²y           +3xy²               +y³ -1

 .                              -x³- 2x²y-x²-xy-    xy² -x

.                                        x²y-x²-  xy+2xy²-x

.                                       -x²y    -  xy- 2xy²     -y -y² - y³

.                                             -x²-2xy          -x - y - y²

.                                              x²+2xy         +x +y +y²     +1  

.                                                                     0

Comprobación:

x²+2xy+y²+x+y+1

x +y -1

x³+2x²y+ xy² +x²+ xy+x

.      x²y+2xy²      + xy    +y+y²+y³

.                      -x²-2xy -x- y -y²      -1

x³+3x²y+2xy²                           +y³ -1

 

-> =  x³+3x²y+2xy²+y³ -1  Solución.

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División de un polinomio entre un monomio con coeficientes fraccionarios.

Ejemplo: 

 

 

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Ejercicio 53.

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