Teoría Coordinatoria. Permutaciones.

Teoría coordinatoria estudia la ordenación de las cosas o elementos. 

Existen distintas formas de ordenación como Coordinaciones  ⁿAₘ ,  Permutaciones Pₘ  y Pₘ₋₁ ,  y Combinaciones.  

Permutaciones.  Pₘ  o Pₘ₋₁.  Son los grupos que se pueden formar con varios elementos en el que entran todos en cada grupo, pero se diferencia un grupo de otro por el orden en que se colocan los elementos.

Las permutaciones que se pueden hacer con las letras "a" y "b" son:  ab, ba

as permutaciones que se pueden hacer con las letras "a", "b" y "c"; se obtienen formando las permutaciones de "a" y "b"  (ab, ba) y agregando la "c" adelante, en medio y después de cada una de ellas:  

abc, acb, cab, bac, bca, cba ( las mismas letras pero en diferente posición cada una de ellas)

Las permutaciones de las letras "a", "b", "c", y "d" se obtienen haciendo que en cada una de las permutaciones de "a", "b" y "c", la "d" ocupe todos los lugares.  

Para 5 o más letras se procede se repite el procedimiento sucesivo.

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Las permutaciones son un caso particular de las coordinaciones, ya que todos los elementos son parte de cada grupo.  Se denota por  Pₘ. que es igual  P! (Pe factorial)

En las permutaciones se puede establecer la condición que determinados elementos ocupen lugares fijos (n), por lo tanto, el número de permutaciones se formará con los demás elementos. (m-n) .

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Existen también las Permutaciones Circulares, que consisten en que "m" elementos se colocan alrededor de un círculo, entonces el número de permutaciones es (m-1), contado siempre en el mismo sentido a partir de un mismo elemento: el cual no se incluye en el conteo.

Ejemplo.  ¿De cuántos modos pueden sentarse 6 personas en una mesa redonda, contando en un solo sentido, a partir de una de ellas? 

P₆₋₁ = P₅ = 5!  = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 modos.

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Ejemplos:

a) ¿De cuántos modos pueden colocarse un estante 5 libros?

m = 5;    Pₘ = P! = 5! ⇒

5!  = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 Modos.

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b) ¡De cuántos modos pueden sentarse 6 personas a un mismo lado de una mesa?

m = 6;   Pₘ = P! = 6! =  ⇒

6!=(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 modos.

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c) Con 9 jugadores, ¿de cuántos modos se puede disponer una novena, si el pitcher y el catcher son siempre los mismos?

m = 9;   Pₘ = P!  

Como hay dos elementos fijos Pₘ = 9-2 = 7, por lo que quedan 7 elementos para permutar.⇒   

P!  = 7! = (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) = 5,040. modos.

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Ejercicio 204b.

2)  Con 5 jugadores, ¿De cuántos modos se puede disponer un team de basket de 5 hombres?

m = 5;  Pₘ = P! = 5!   ⇒  

5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 modos.

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7) ¿De cuántos modos pueden disponerse las letras de la palabra Ecuador, entrando todas en cada grupo?

m = 7;  Pₘ = P! = 7!   ⇒  

 7! = (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) = 5040  modos.

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9) Se tiene un libro de Aritmética, una de Álgebra, uno de Geometría, uno de Física y uno de Química. ¿De cuántos modos pueden disponerse en un estante si el de Geometría siempre está en el medio?  

Pₘ-1 (en las permutaciones circulares, donde un mismo elemento permanece en el mismo lugar)

m = 5:  Pₘ₋₁ = P₅₋₁ = 4:  P! = 4!   ⇒

4! = (1)(2)(3)(4) = 24 nodos.

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10)  ¿Cuántos números distintos de 6 cifras pueden formarse con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 ?

m = 6,  Pₘ = P! = 6!  ⇒ :  

6!  = (1)(2)(3)(4)(5)(6) = 720 números.

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11) ¿De cuántos modos pueden disponerse en una fila un sargento y 6 soldados si el sargento siempre es el primero?, ¿si el sargento no ocupa lugar fijo?

m = 7;   

a)  Pₘ-1 (si el sargento ocupa siempre el primer lugar)

Pₘ-1 = P₇₋₁ = 6:  P! = 6!

 6! = (1)(2)(3)(4)(5)(6) = 720 modos. 

b)  Pₘ  ( si el sargento no ocupa un lugar fijo)   ⇒

m = 7,  P₇ = P! = 7!  ⇒ :

 7! = (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) = 5040 modos.

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12) ¡De cuántos modos pueden sentarse un padre, su esposa y sus cuatro hijos en un banco, en una mesa redonda, contando siempre a partir del padre?

m = 6

a)  Pₘ = P6 (cuando se sientan todos, indistintamente)

⇒  Pₘ = P!  = 6!  = (1)(2)(3)(4)(5)(6) = 720 modos

b) Pₘ-1 = P₆₋₁= 5 (cuando se sientan todos a partir del padre)

⇒ Pₘ= P! = P₅ = 5! =  (1)(2)(3)(4)(5) = 120 modos

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14) ¿Cuántos números mayores que 2000 y menores de 3000, se pueden formar con los números 2,3,5, y 6?

m = 4;    Pₘ = P!= P₄ = 4!⇒

4!= (1)(2)(3)(4) = 24 números.

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16) ¿De cuántos modos puede dispone una tripulación de 5 hombres si el timonel y el stroke son siempre los mismos?rse

m = 5;   Pₘ-₂  ;   ⇒

Pₘ₋₂ = P₅₋₂ = 3;   P = 3  = 3! 

 3!  = (1)(2)(3) = 6 modos.

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21) Con 5 consonantes y 3 vocales, ¿cuántas palabras distintas de 8 letras pueden formarse?,  ¿cuántas,  si las vocales son fijas?  

m = 8 

a)  Pₘ = P! = P₈ = 8!

8! = (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) =  40,320. palabras.

b) Pₘ₋₃ =  P! = P₅ = 5! 

5!  = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 palabras.

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22)  ¿De cuántos modos se puede disponer de un team de basquet de 5 hombres con 5 jugadores si el centre es fijo?

m = 5 ;  m = 5-1= 4 ; Pₘ = 5  ; Pₘ₋₁ =4;

Pₘ₋₁ = 4 = 4! = (1)(2)(3)(4) = 24 modos.

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Teoría Coordinatoria. Coordinaciones.

Teoría coordinatoria estudia la ordenación de las cosas o elementos. 

Existen distintas formas de ordenación como Coordinaciones ⁿAₘ , Permutaciones Pₘ  y Pₘ₋₁ , y Combinaciones.  

Coordinaciones.  ⁿAₘ  Son los grupos que se pueden formar con varios elementos (letras, números, objetos, personas, etc.) relacionándolos uno a uno, dos a dos, tres a tres, etc. , de tal manera que cualquiera de los grupos del mismo número de elementos, se diferencien por lo menos de un elemento o si tienen los mismos elementos, se diferencien por el orden de colocación.  

Tipos de Coordinaciones. Son los grupos que se pueden formar con la cantidad de elementos (m) y los grupos (n) que se pueden formar con ellos.  Estos Son:  Monarias, binarias, teniarias y cuaternarias.

Monarias.  ¹A₄  Son los grupos de una letra que se pueden formar con los elementos de un grupo dado.

Ejemplo de [a, b, c, d]  ⇒ se forman: (a), (b) , (c), (d).

Binarias.   ²A₄  Son los grupos de dos elementos que se forman escribiendo a la derecha de cada letra todas las demás, una a una.

Ejemplo de [a, b, c, d]  ⇒  se forman:

( ab,   ac,   ad,  ba,  bc,  bd,  ca,  cb,  cd,  da,  db,  dc.)

Terciarias. ³A₄   Son los grupos de dos elementos que se forman escribiendo a la derecha de cada binaria, una a una, todos los elementos que no entren en ella.

Ejemplo de [a, b, c, d]  ⇒  se forman:

(abc,  abd,  acb,  acd,  adb,  adc,

bac,   bad,  bca,  bcd,  bda,  bdc.)

Cuaternarias.  ⁴A₄  Son los grupos de dos elementos que se forman escribiendo a la derecha de cada binaria, la letra que no entra en ella.

Ejemplo:  de [a, b, c, d.]  ⇒ se forma:  (a, b, c, d.).

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Ejemplos.

a) ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

n = 4,  m = 9,  Fórmula =  ⁴A₉

⁴A₉ = (9)(8) ... (9-4+1) = (9)(8)(7)(6) = 3024 formas. Respuesta.

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b) ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 7 banderas izando 3 de cada vez?

n = 3,  m = 7,   Fórmula = ³A₇

³A₇ = 7 ... (7-3+1) = (7)(6)(5) = 210 señales.  Respuesta.

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Ejercicio 204. 

1)  ¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 4, 5, 6, 7, 8, 9?

n = 3,  m = 6,   ³A₆

⇒ ³A₆ = 6 = (6) . . . (6-3+1=43) =  (6)(5)(4) = 120 números de 3 cifras.  Respuesta.

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4)  Entre la Guaira y Liverpool hay 6 barcos haciendo los viajes.  ¿De cuántos modos puede hacer el viaje de ida y de vuelta una persona si el viaje de vuelta debe hacerlo en un barco distinto al de ida?

n = 2,  m= 6,   Fórmula  ²A₆ 

⇒  ²A₆  = (6-2+1=5) = (6)(5) = 30 modos. Respuesta.                                                                                               

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5) ¿De cuántos modos pueden sentarse 3 personas en 5 sillas?

n = 3,  m = 5,    F = ³A₅ 

⇒  ³A₅  = (5) ...(5-3+1=3) = (5)(4)(3) = 60 modos de sentarse. Respuesta.

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13)  ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9 banderas, izando 3 de cada vez?

n = 3,  m = 9,   F= ³A₉

⇒  ³A₉  = (9)(8) ... (9-3+1=7) = (9)(8)(7) = 504 señales.   Respuesta.

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17)  Hay 7 hombres para formar una tripulación de 5, pero el timonel y el stroke son siempre los mismos.  ¿De cuántos modos se puede disponer la tripulación?

m = 7-2 = 5;   n = 5-2 = 3    F = ³A₅

⇒  ³A₅ = (5) . . . (5-3+1=3) = (5)(4)(3) = 60 formas.  Respuesta.

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20) ¿Cuántos números de 5 cifras que empiecen por 1 y acaben por 8 se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8?

  m = 8-2 = 6;   n = 5-2 = 3;     F = ³A₆ 

⇒ ³A₆ = (6)(5) . . . (6-3+1=5) = (6)(5)(4) = 120 números de 5 cifras.  Respuesta.

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Gráficos de algunas funciones de segundo grado.

Los gráficos de funciones o ecuaciones de segundo grado están representados por líneas curvas que forman figuras como parábolas, elipses, círculos, hipérbolas.

El procedimiento para graficar las funciones de segundo grado es:

a) Elaborar una tabla de valores de forma rectangular para "x", que inicien, por ejemplo, en -3 hasta 3, una segunda fila para los valores de "y" o sea los valores que resulten de la función dada.  (eje. 2x+3).

b) Con los valores de "x" y "y" se forman las coordenadas (x, y) que son los puntos que se necesitan para graficar.

c) Elaborar la gráfica con los puntos encontrados.

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Ejemplos.

a) Gráfico de y = x²

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x²:

.                                                          .

|  x  |  -3  |  -2  |  -1  |  0  |  1  |  2  |  3  |

|  y  |   9  |   4   |   1  |  0  |  1  |  4   |  9  |

Coordenadas o puntos: (-3, 9) . (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2. 4), (3, 9)   

Gráfica:

           

b) Gráfico de x²+y² = 16

Despejando la fórmula:

x²+y² = 16 -> y² = 16 -x²  -> y = ±√(16 -x²)

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(16 -x²):

.                                                          .

|  x  |  -4  |    -3   |    -2    |    -1   |    0   |    1    |     2    |    3   |   4   |

|  y  |   0  |  ±2.6  |  ±3.4  | ±3.8  |  ±4  |  ±3.8  |  ±3.4  | ±2.6 |   0   |

Toda ecuación de la forma x²+y² = r², por representa un círculo cuyo radio es r.  En este caso 

x²+y² = r² que es igual a x²+y² = 4² y esto es x²+y² = 16. 

Sus coordenadas principales son : (-4, 0), (0, 4), (0, -4). (4, 0)  

Gráfica:

c)  Gráfico de 9x²+25y²=225

Despejando la fórmula:

9x²+25y²=225 -> y² = 225 -9x² /25 -> y = 225/25-9x² /25  -> y = 9- 9x² /25y = ±√(9 -9x² /25)

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(9 -9x² /25):

.                                                          .

|  x  |  -5  |    -4   |    -3    |    -2   |   -1    |    0    |    1     |    2     |     3    |    4    |    5   |

|  y  |   0  |  ±1.8  |  ±2.4  | ±2.6  |  ±2.8  |  ±3   |  ±2.8  |  ±2.6  |  ±2.4  | ±1.8  |   0    |

Sus coordenadas principales son : (-5, 0), (0, 3), (0, -3). (5, 0)  

Gráfica:

d)  Gráfico de xy = 5  o  y = 5/x

Formando la tabla de valores positivos de "x" y "y", siendo la función (5/x):

.                                                          .

|  x  |    0   |   1  |    2    |    3   |    4     |    5   |   6    |   7   |   8    |  . . . |  ±∞   |

|  y  |  ±∞  |  5   |  2.5  |  1.6   |  1.25  |   1    |  0.8  |  0.7 |  0.6  |  . . .  |   0    |

Sus coordenadas principales son :

 (1, 5), (2, 2.5), (3, 1.6), (4, 1.25), (5, 1), (6, 0.8), (7, 0.7),  (8, 0.6)  

Formando la tabla de valores negativos de "x" y "y", siendo la función (5/x):

.                                                          .

|  x  |    0   |  -1  |  -2   |   -3   |    -4     | -5 |  -6   |   -7  |  -8   |  . . .  | ± -∞ |

|  y  |  ±∞  |  -5  | -2.5 | -1.6  |  -1.25 | -1 | -0.8 | -0.7 | -0.6 |  . . .  |   0    |

Sus coordenadas principales son : 

(-1, -5), (-2, -2.5), (-3, -1.6). (-4, -1.25), (-5, -1), (-6, -0.8), (-7, -0.7),  (-8, -0.6)  

Gráfica:

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Ejercicio 170.

Hallar el gráfico de:

1)  y = 2x²

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función 2x²:

.                                                          .

|  x  |  -3  |  -2  |  -1  |  0  |  1  |  2  |  3  |

|  y  |  18  |   8  |   2  |  0  |  2  |  8    18 |

Coordenadas o puntos: (-3, 18) . (-2, 18), (-1, 2), (0, 0), (1, 2), (2. 8), (3, 18)   

Gráfica:

2) y = x²/2 

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x²/2:

.                                                          .

|  x  |  -3  |  -2  |  -1  |  0  |  1   |  2  |   3  |

|  y  | 9/2 |   2   | 1/2 |  0  | 1/2 |  2  | 9/2 |

Coordenadas o puntos: (-3, 9/2) . (-2, 2), (-1, 1/2), (0, 0), (1, 1/2), (2. 2), (3, 9/2)

Gráfica:

3) x² +  y² = 25

Despejando la fórmula:

x² + y² = 25 -> y² = 25 -x²  -> y = ±√(25 -x²)

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(25 -x²):

.                                                          .

|  x  |  -5  |  -4   |  -3   |    -2   |   -1   |    0   |    1   |    2    |    3   |   4   |    5   |

|  y  |   0   |  ±3  |  ±4  | ±4.6  | ±4.9 |   ±5  | ±4.9 | ±4.6  |  ±4  |  ±3  |    0   |

Toda ecuación de la forma x²+y² = r², representa un círculo cuyo radio es r.  En este caso 

x²+y² = r² que es igual a x²+y² = 5² y esto es x²+y² = 25. 

Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son números reales: 

(-5, 0), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 4.6), (-1, 4.9), (0, 5), (1, 4.9), (2, 4.6), (3, 4), (4, 3), (5, 0) ,

(-4, -3), (-3, -4), (-2, -4.6), (-1, -4.9), (0, -5), (1, -4.9), (2, -4.6), (3, -4), (4, -3) 

Gráfica:

4) 9x²+16y² = 144

Despejando la fórmula:

9x² + 16y² = 144  -> 16y² = 144 -9x²  -> y² = (144 -9x²)/16  -> y = ±√(144 -9x²)/16

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(144 -9x²)/16:

.                                                          .

|  x  |  0   |  -3  |  -4  |  3   |   0  |  3  |  4  |   3  |   0  |

|  y  | -12 |  -8  |   0   | -8  |  12 |  8  |  0  | -8   | -12 |

Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son:

(0, -12), (-3, -8), (-4, 0),  (3, 8-), (0, 12), (3, 8), (4, 0), (3, -8), 

Gráfica: 

5) y = x²  +1

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x² +1:

.                                                          .

|  x  |  -3  |  -2  |  -1  |  0  |  1  |   2  |   3  |

|  y  |  10  |   5  |   2  |  1  |  2  |  5   |  10  |

Coordenadas o puntos: (-3, 10), (-2, 5), (-1, 2), (0, 1), (1, 2), (2. 5), (3, 10)   

Gráfica:

6) y -x² = 2

y -x² = 2  ->  y = x² +2

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x² +2:

.                                                          .

|  x  |  -3  |  -2  |  -1  |  0  |  1  |   2  |   3  |

|  y  |  11  |   6  |   3  |  2  |  3  |   6  |  11  |

Coordenadas o puntos: (-3, 11), (-2, 6), (-1, 3), (0, 2), (1, 3), (2. 6), (3, 11)   

Gráfica:

7) xy = 4

xy = 4  ->  y = y = 4/x

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función 4/x:

.                                                          .

|  x  |   -6   |   -5   |  -4  |  -3   |  -2  |  -1  |  1  |  2  |   3  |  4  |  5   |   6  |

|  y  |  -2/3 | -4/5  |  -1  | -4/3 |  -2  |  -4  |  4  |  2  | 4/3 |  1  | 4/5 | 2/3 |    

Coordenadas o puntos: 

(-6, -2/3), (-5, -4/5), (-4, -1), (-3, 4/3), (-2, -2), (-1, -4), 

(1, 4), (2, 2), (3, 4/3), (4, 1), (5, 4/5), (6, 2/3).    

Gráfica:

8)  x² +y² = 36

Despejando la fórmula:

x² + y² = 36 -> y² = 36 -x²  -> y = ±√(36 -x²)

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(36 -x²):

.                                                          .

|  x  |   6  |   -5  |   -4   |   -3   |   -2   |   -1   |    0   |    1   |    2   |    3    |   4    |    5    |  6  |

|  y  |   0  | ±3.3 | ±4.5 | ±5.2 | ±5.7 | ±5.9 |   ±6  | ±5.9 | ±5.7 | ±5.2 | ±4.5 | ±3.3  |  0  |

Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son números reales: 

(6, 0), (-5, 3.3), (-4, 4.5), (-3, 5.2), (-2, 5.7), (-1, 5.9), (0, 6), (1, 5.9), (2, 5.7), (3, 5.2), (4, 4.5), (5, 3.3), (6,0), y  

(-5, -3,3), (-4, -4.5), (-3, -5.2), (-2, -5.7), (-1, -5.9), (0, -6), (1, -5.9), (2, -5.7), (3, -5.2), (4, -4.5), (5, -3.3)

Gráfica:

9) y = x² +2x

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x² +2x:

.                                                          .

|  x  | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |

|  y  |  8 |  3  |  0 | -1 | 0 | 3 | 8 |

Coordenadas o puntos: 

(-4, 8), (-3, 3), (-2, 0), (-1, -1), (0, 0), (1, 3), (2. 8)

Gráfica:

10) 36x²  +25y²  = 900

Despejando la fórmula:

36x² + 25y² = 900  -> 25y² = 900 -36x²  -> y² = (900 -36x²)/25 -> y = ±√(900 -36x²)/25

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(900 -36x²)/25

.                                                          .

|  x  | -5  |    -4    |    -3    |   -2   |   -1    |    0    |    1     |    2    |     3    |    4    |  5  |

|  y  |  0  | ±0.72  | ±0.96 | ±1.1 | ±1.17 | ±1.2 | ±1.17 | ±1.1 | ±0.96 | ±0.72 |  0  |

Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son:

(-5, 0), (-4, 0.72), (-3, 0.96), (-2, 1.1 ), (-1, 1.17), (0, 1.2), (1, 1.17), (2, 1.1), (3, 0.96), (4, 0.72), (5,0).

(-5, 0), (-4, -0.72), (-3, -0.96), (-2, -1.1 ), (-1, -1.17), (0,-1.2), (1, -1.17), (2, -1.1), (3, -0.96), (4, -0.72), (5, 0).

Gráfica: 

11) x² + y² = 49

Despejando la fórmula:

x² + y² = 49 -> y² = 49 -x²  -> y = ±√(49 -x²)

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(49 -x²):

.                                                          .

|  x  | -7 |   -6   |   -5  |   -4    |  0   |     4    |    5    |    6   |  7   |

|  y  |  0 | ±3.6 | ±4.9 | ±5.74 | ±7 | ±5.74 | ±4.9 | ±3.6 |  0   | 

Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son números reales: 

(-7,0), (-6, 3.6), (-5, 4.9), (-4, 5.74), (0, 7), (4, 5.74), (5, 4.9), (6, 3.6), (7,0)

y

(-7,0), (-6, -3.6), (-5, -4.9), (-4, -5.74), (0, -7), (-4, -5.74), (5, -4.9), (6, -3.6), (7,0)

Gráfica:

12) y = x² -3x

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x²-3x

.                                                          .

|  x  |  -2 | -1 | 0 |  1 |  2  | 3 | 4 |  5  |

|  y  | 10 |  4  | 0 | -2 | -2 | 0 | 4 | 10 |

Coordenadas o puntos: 

(-2,10), (-1, 4), (0,0), (1, -2), (2, -2), (3, 0), (4. 4), (5,10).

Gráfica:

13) xy = 6

xy = 4  ->  y = 6/x

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función 6/x:

.                                             _            .

|  x  | -6 |   -5   |  -4   | -3  |  -2  | -1 |  1  |  2  |  3  |  4   |  5   |  6  |

|  y  |  -1 | -1.2 | -3/2 | -2  |  -3  | -6 |  6  |  3  |  2  | 1.5 | 1.2 |  1  | 

Coordenadas o puntos: 

(-6, -1), (-5, -1.2), (-4, -1.5), (-3, -2), (-2, -3), (-1, -6)

(1, 6), (2, 3), (3, 2), (4, 1.5), (5, 1.2), (6, 1).    

Gráfica:

14)  y = x + x²/2

Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x + x²/2:

.                                                          .

|  x  |  -5   | -4  |  -3  |  -2  |   -1  |  0  |   1  |  2  |  3   |

|  y  |  7.5  | 4   | 1.5 |   0   | -0.5 |  0  | 1.5 |  4  | 7.5 |

Coordenadas o puntos: 

(-5, 7.5), (-4, 4), (-3, 1.5), (-2, 0), (-1, -0.5), 

(0,0), (1, 1.5), (2, 4), (3, 7.5).    

Gráfica:

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Determinar la fórmula que corresponde a funciones cuya ley de dependencia es sencilla.

Las funciones son expresables por fórmulas o ecuaciones cuando se conoce la relación matemática que liga a la variable dependiente o función con las variables independientes.

En estos casos hay una ecuación que es la expresión analítica de la función y que la define.  

Ejemplos:  y = 2x+1,  y = 2x²,  y = x³+2x-1  , son funciones expresadas por ecuaciones o fórmula.

2x+1 es una expresión de primer grado;  2x² , de segundo grado y x³+2x-1, de tercer grado.

Las expresiones anteriores son funciones de la variable "x" porque a cada valor de "x" corresponde un valor determinado de la función.

Veamos:

Si  2x+1 ->

Para x = 0,  y = 2(0) +1   -> y = 1

Para x = 1,  y = 2(1) +1   -> y = 3

Para x = 2,  y = 2(2) +1   -> y = 5

Para x = -1,  y = 2(-1) +1 -> y = -1

Para x = -2,  y = 2(-2) +1  -> y = -3  . . . 

Por tanto "x" es la variable independiente y "y" es la variable dependiente.

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Ejemplos prácticos:

a) El costo de una pieza de tela es proporcional al número de metros.  Determinar la fórmula de la función costo, sabiendo que una pieza de 10 metros cuesta $30.   Designando por "x" la variable independiente número de metros y por "y" la función costo, tendremos, por ser "y" proporcional a "x":  que  y = kx. (1)

Hallar la constante "k", sustituyendo en y = kx. el valor de x  y  y:

y = kx  -> 30 = k(10)  -> k = 30/10  ->  k = 3

Sustituimos el valor de la constante 3 en y = kx. (1)  , para tener expresada la función costo con la ecuación y = 3x.

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b) El área de una cuadrado es proporcional al cuadrado de su diagonal.  Hallar la fórmula del área de un cuadrado en función de la diagonal, sabiendo que el área de un cuadrado cuya diagonal mide 8m es 32m².

Designando por A el área y por D la diagonal, tenemos  A = kD²

Hallando k:

A= kD²  ->  32 = k(8)² ->  32 = k(64)  ->  k = 32/64  ->  k = 1/2

Sustituyendo el valor de la constante en la fórmula;

A= kD²  ->  A = 1/2D²  

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c) La altura de una pirámide es proporcional al volumen si el área de la base es constante y es inversamente proporcional al área de la base si el volumen es constante.  

Determinar la fórmula de la altura de una pirámide en función del volumen y el área de la base, sabiendo que una pirámide cuya altura es 15m y el área de su base 16m² tiene un volumen de 80 m3.

Designando la altura por "h", el volumen por V y el área de la base por B, se tiene que h = kV/B             

Encontrando el valor de la constante:

Si h = kV/B , sustituyendo los valores de "h", "V" y "B"

15 = k80/16  -> 15(16) = k80  -> 240/80 = k  -> k = 3

Entonces la fórmula de una pirámide en función del volumen y el área de su base es: h = 3V / B.

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Ejercicio 167.

Escribir o expresar la fórmula o ecuación correspondiente a lo planteado en cada uno de los siguientes incisos.

1) Si A es proporcional a B y A = 10 cuando B = 5, escribir la fórmula que las relaciona.

A = kB,  -> 10 = k(5)  -> k = 10/5  -> k = 2  Constante.

Por tanto;  La fórmula es  A = 2B    

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2)  El espacio recorrido por un móvil (mov. uniforme) es proporcional al producto de la velocidad por el tiempo.  Escriba la fórmula que expresa el espacio "e" en función de la velocidad "v" y el tiempo "t#. Siendo k = 1.

e = vt , y si k = 1  -> 

la fórmula sería  e = 1vt  -> e = vt.  (Cuando la contante es uno).

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3)  El área de un rombo es proporcional al producto de sus diagonales.   Escribir la fórmula del área A de un rombo en función de sus diagonales D y D₁ sabiendo que cuando D = 8 y D₁ = 6 el área es 24 cm2.

Encontrando la constante k en  A = DD₁  -> 

A = kDD₁  -> 24 = k(8)(6)  -> 24 = k48   ->  k = 24/48  ->  k = 1/2

-> la fórmula sería A = 1/2 DD₁.

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4)  Sabiendo que A es proporcional a B e inversamente proporcional a C, escribir la fórmula de A en función de B y C. (siendo k = 3)

Si A = B  y A = 1/C   y   k = 3  

->  la fórmula sería A = 3B/C  

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5 ) La longitud C de una circunferencia es proporcional al radio "r".  Una circunferencia de 21 cm de radio tiene una longitud de 132cm.  Hallar la fórmula que exprese la longitud de la circunferencia en función del radio.

C = r, -> C = kr  ->  132 = k21  -> k = 132/21  ->  k = 44/7

->  la fórmula sería  C = 44/7 r  y   C ≡ 2(3.142)r  ->  C = 2πr

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6) Es espacio recorrido por un cuerpo que cae desde cierta altura es proporcional al cuadrado del tiempo que emplea en caer.  Escribir la fórmula del espacio "e" en función del tiempo "t" sabiendo que un cuerpo que cae desde una altura de 19.6m emplea en su caída 2 segundos.

Hallar la constante "k". Si e = t²  ->  e = kt²,

-> e = kt²  -> 19.6 = k(2)²  -> k = 19.6 /4  ->  k = 4.9

La fórmula sería  e = kt² ->  e = 4/9 t²

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7)  La fuerza centrífuga F es proporcional al producto de la masa "m" por el cuadrado de la velocidad "v" de un cuerpo si el radio "r" del círculo que describe es constante y es inversamente proporcional al radio si la masa y la velocidad son constantes.  Expresa esta relación por medio de una fórmula.

F = mv²  y  f = 1/r  ->  F = mv² /r

La fórmula sería F = k mv²/r

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8)  Escribir la fórmula de una función y sabiendo que para cada valor de la variable independiente x corresponde un valor de la función que es el duplo del valor de x aumentado en 3.

Variable dependiente = y  ;  valor de la variable independiente x de la función = 2x+3

-> la fórmula sería  y = 2x+3.

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9) El lado de un cuadrado inscrito en un círculo es proporcional al radio del círculo.  Expresa la fórmula del lado del cuadrado inscrito en función del radio.  (siendo k = √2)

Como la constante en este caso siempre será √2 ,

entonces la fórmula sería  l = r√2

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10) Escribir la fórmula de una función y sabiendo que para cada valor de la variable independiente "x" corresponde un valor de la función que es igual a la mitad del cuadrado del valor de "x", más 2.

vi = y  , función x²/2 +2  ->

La fórmula sería  y = x²/2 +2  

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11) Escribir la ecuación de una función y sabiendo que para cada valor de "x" corresponde un valor "y" que es igual a la diferencia entre 5 y el duplo de "x", divida esta diferencia entre 3.

Valor dependiente : y   , función  5-2x /3

-> La ecuación o fórmula es  y = 5-2x /3.

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12) La fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de las masas de los cuerpos "m" y "m₁" si la distancia es constante y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia si las masas no varían.  Expresar esta relación por medio de una fórmula.

Proporcional  F = kmm₁  ,  constante en la distancia,

inversamente proporcional : F = 1/d²  ;  constante en las masas.

-> L fórmula sería  F = kmm₁ /d²

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13) La altura de un triángulo es proporcional al área del triángulo si la base es constante.  Escribir la fórmula de la altura de un triángulo en función del área y de su base, sabiendo que cuando la base es 4cm y la altura 10 cm el área del triángulo es 20 cm2.

Si A = bh  ->  A = kbh

Hallando el valor de la constante:

20 = k(4)(10)  ->  20 = k(40)  ->  k = 20/40  ->  k = 1/2

-> Si A = kbh  -> A = 1/2 bh  -> 2A = bh  -> 2A/b = h  

La fórmula sería  h = 2A/b

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14)  La energía cinética de un cuerpo W es proporcional al producto de la masa "m" por el cuadrado de la velocidad "v".  Expresar la fórmula de la energía cinética .  (k = 1/2)

W = mv² ->  

La fórmula es W = kmv²

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15) El área de la base de una pirámide es proporcional al volumen si la altura es constante.  Escribir la fórmula del área de la base B de una pirámide en función del volumen V y de la altura "h" sabiendo que cuando h = 12 y B = 100, V = 400.

B = V/h

-> B = kV/h -> 100 = k400/12 ->  1200 = k(400)  -> k = 1200/400  ->  k = 3

-> La fórmula es B = 3V /h

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16) "x" es inversamente proporcional a "y", si x = 2 cuando y = 5.  Hallar la fórmula de "x" en función de "y".

x = 1/y ->  x = k/y, por tanto,  2 = k/5  -> 2(5) = k  -> k = 10

La fórmula sería  x = 10/y

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17) "x" es inversamente proporcional al cuadrado de "y".  Si x = 3 cuando y = 2, hallar la fórmula de "x" en función de "y".

x = 1/y² -> x = k/y², por tanto, 3 = k/2²  -> 3 = k /4 -> k = 4(3)  -> k = 12

La fórmula es  x = 12/y².

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18) A es proporcional a B e inversamente proporcional a C.  Cuando B = 24 y C = 4, A = 3.  Hallar la fórmula que exprese A en función de B y C.

A = B  ;   A = 1/C  ->  A = B/C

-> A = kB/C ->  3 = k 24/4  ->  3 = k6  -> k = 3/6  -> k = 1/2

-> La fórmula es A = 1/2 B/C   -> A = B/2C.

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Variación Conjunta de una función analítica.

Variación conjunta.  Es cuando una cantidad es proporcional a otras varias, es proporcional a su producto. Siempre que la variación de las cantidades sea constante.   A = kBC

Variación directa e inversa a la vez.

Esto es cuando A es proporcional a B e inversamente proporcional a C.   Cuando A es proporcional a la relación B/C esto se denota como A = kB/C

Ejemplo de Variación conjunta.

El área de un triángulo es proporcional a la altura, si la base es constante, y es proporcional a la base si la altura es constante, luego si la base y la altura varían, el área es proporcional al producto de la base por la altura.  Siendo A el área, b la base y h la altura, tenemos que A = kBC  y la constante k = 1/2 , entonces A = 1/2 bh.

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Ejercicio 166.

3)  A es proporcional a B y a C.  Si A = 30 cuando B = 2 y C =5, hallar A cuando B = 7 , C = 4.

A = kBC ->

30 = k(2)(5)  ->  30 = 10k  ->  k = 30/10  ->  k = 3.  Constante.

A = kBC  ->  A = 3(7)(4)  ->  A = 84  Respuesta.

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4) "x" es proporcional a "y" y a "z".  Si x = 4 cuando y = 3 y z = 6, hallar "y" cuando x = 10, z = 9.

A = kBC -> x = kyz

4 = k(3)(6)  ->  4 = k(18)  ->  k = 4/18  -> k = 2/9  Constante.

y = x/kz  ->  y = 10 / 2/9(9)  ->  y = 10 / 2  ->  y = 5  Respuesta.

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7)  A es proporcional a B e inversamente proporcional a C.  Si A = 8 cuando B = 12, C = 3, hallar A cuando B = 7, C = 14.

A = kB/C  ->  8 = k(12) /3  -> 3(8) = 12k  -> 24/12 = k ->  k =  2  Constante.

A = kB/C  -> A = 2(7) /14  ->  A = 14/14  -> A = 1  Respuesta.

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8) "x" es proporcional a "y" e inversamente proporcional a "z". Si x = 3 cuando y = 4, z = 8, hallar "z" cuando y = 7, x = 10.

x = ky/z  ->  3 = k(4) /8  ->  3(8) = 4k  -> 24 = 4k ->  k = 24/4  -> k = 6  Constante.

z = ky/x  ->  z = 6(7)/10  -> z = 42/10  ->  z = 21/10  ->  z = 4¹/₅   Respuesta.

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12) El área lateral de una pirámide regular es proporcional a su apotema y al perímetro de la base.  Si el área es 480m² cuando el apotema es 12m y el perímetro de la base es 80., hallar el área cuando el apotema es 6m y el perímetro de la base 40m.

Area = A  ,  apotema = a  ,  perímetro = p  , constante = k

A = kap  ->  480 = k(12)(80)  -> 480 = 960k  -> k = 480/960  -> k = 1/2  Constante

A = kap  ->  A = 1/2(6)(40)  -> A = 120m²  Respuesta.

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13)  El volumen de una pirámide es proporcional a su altura y al área de su base. Si el volumen de una pirámide, cuya altura es 8m y el área de su base es 36m², es 96 m³, ¿cuál será el volumen de una pirámide cuya altura es 12m y el área de su base es 64m²? 

volumen = v  ,  altura = a  ,  área = A  ,  constante = k

A = kBC  -> v = kaA  _> 96 = k(8)(36)  -> .96 = k(288)  -> k = 96/288  ->  k = 1/3 constante.

a >= kBC n--> v = kaA  ->  v = 1/3(12)(64)  -> v = 256 m³.  Respuesta. 

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