Todo problema debe plantearse, desarrollarse operativamente hasta encontrar la solución. Al plantear un problema se origina una ecuación de segundo grado; al resolver la ecuación dará como resultado dos valores para la incógnita.
Estas soluciones deben comprobarse para ver si satisfacen las condiciones del problema planteado, rechazando aquellas que no cumplan dichas condiciones.
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Ejemplos.
a) A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Hallar ambas edades.
Planteo. A = x , B = x-2 , Suma de los cuadrados de las edades = 130. ⇒
Resolviendo:
x² + (x-2)² = 130
x² + x² - 4x +4 = 130
2x² -4x +4 -130= 0
2x² -4x-126 (dvidido entre 2 es igual a)
x² - 2x - 63
(x -9)(x+7) = 0 ⇒
Si x - 9 = 0 → x = 9 Solución (aceptada)
Si x +7 = 0 → x = -7 Solución (falsa)
Se rechaza la solución para x = -7 porque la edad de A no puede ser -7 años, y si se acepta x = 9.
Respuesta: A tiene 9 años y B tiene x-2 = 7 años.
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b) A compró cierto número de sacos de frijoles por $240. Si hubiera comprado 3 sacos más por el mismo dinero, cada uno le habría costado $4. menos. ¿Cuántos sacos compró y a qué precio?
Planteo:
1a. compra = 240/x ; 2a compra = 240/x +3 ⇒ (240/ x+3) +4 ⇒
240/x = (240/x+3) +4 → (m.c.m.= x(x+3)
240(x+3) = 240x +4x(x+3)
240x +720 = 240x +4x² +12x
-4x² +240x-240x -12x = -720
-4x² -12x = -720
-4x²-12 +720 = 0
4x²+12x -720 = 0
x = -15 Solución Rechazada. porque el precio no puede ser negativo.
x = 12 Solución verdadera.
Respuesta: Cada saco le costó 240/x = 240/12 = $ 20.
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c) La longitud de un terreno rectangular es doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m. y el ancho en 6 m. , el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno.
Datos: 2x = longitud , ancho = x , A = (2x) (x) = 2x² m² ,
Con aumento: 2x +40 , x +6 , A = (2x+40)(x+6) = 2x²+52x +240 m²
⇒ 2x²+52x +240 = 2(2x²)
Si el área aumentada sería igual al doble del área original:
2x²+52x +240 = 4x².
Transponiendo y reduciendo términos comunes y simplificando:
2x² - 4x² +52x +240 = 0
-2x² +52x +240 = 0
Cambiando signos y dividiendo entre 2:
x² - 26x -120 = 0
Resolviendo la ecuación:
(x-30)(x+4) = 0
Si x-30 = 0 ⇒ x = 30
Si x+4 = 0 ⇒ x = -4
Se acepta la solución x = 30.
Respuesta: ancho del terreno es 30m, longitud 2x = 2(30) = 60 m.
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Ejercicio 275.
Resuelve cada uno de los problemas que se describen.
1) La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar los números.
Datos: x , x-9 , suma cuadrados = 53
⇒ x² + (x-9)² = 53
x² + x² -18x +81 = 53
2x² -18x +81-53 = 0
2x² -18x +28 = 0
(2x)² -18(2x) +56 = 0
(x-14)(x-4) /2 = 0
(x-7)(x-2) = 0
Si x-7 = 0 x = 7 Aceptada
Si x-2 = 0 x = 2 Aceptada
Respuesta: los números son 7 y 2.
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2) Un número positivo es los 3/5 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.
Datos: x , 3/5x , producto = 2160
⇒ (x)(3/5 x) = 2160
3/5 x² = 2160
x² =2160 / 3/5
x² = 3600
x = ±√3600
x = ± 60
3/5x = 3/5(60) = 36
Respuesta: los números son 60 y 36.
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3) A tiene 3 años más que B y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de la edad B equivale a 317 años. Hallar ambas edades.
Datos: A = x, B = x-3 , x² + (x-3)² , Total cuadrado 317 años.
x² + (x-3)² = 317
x² + x² - 6x + 9 = 317
2x² - 6x + 9 -317 = 0
2x² - 6x - 308= 0
(2x)² -6(2x) -616 = 0
(2x -28)(2x +22 / 2= 0
(x-14)(x+11) = 0
Si x-14=0 ⇒ x = 14 Aceptada
Si x+11 = 0 ⇒ x = -11 Rechazado.
Respuesta: A = 14 años, B = x -3 = 14 -3 = 11
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4 ) Un número es triplo de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números.
Datos: x , 3x , x², (x-3x)² ⇒
(3)x² - (x)² = 1800
9x² - x² = 1800
8x² = 1800
x² = 1800/8
x² = 1800/5
x = ±√225
x = ± 15
Respuesta: Los números son: 15 (aceptada) y -15 (rechazada).
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5) El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a 8 veces el exceso del número sobre 2. Hallar los números.
Datos: x² - 9 , 8(x - 2) ,
x² - 9 = 8(x - 2)
x² - 9 = 8x -16
x² -8x - 9 +16 = 0
.x² -8x +7 = 0
(x -7)(x - 1) =0
Si x - 7 = 0 ⇒ x = 7 (aceptada)
Si x - 1 = 0 ⇒ x = 1 (se rechaza porque su verificación hay identidad falsa)
Respuesta: Los números son 7 y 1
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6) Hallar dos números consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al triplo del menor.
Datos: x+1, x , x²+57 , 3x.
(x+1)² = 3x +57
x² +2x +1 = 3x +57
x² +2x -3x +1 -57
x² -x -56 = 0
(x -8)(x +7) = 0
Si x +7 = ⇒ x = -7 Rechazada.
Si x - 8 =0 ⇒ x = 8
⇒ x +1 = 8 +1 = 9
Respuesta; los números son 9 y 8.
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7) La longitud de una sala excede a su ancho en 4m. Si cada dimensión se aumenta en 4m el área será doble. Hallar las dimensiones de la sala.
Datos: Longitud = x , (x +4) ; ancho = x - 4 ; (x- 4 +4) ; equivalencia 2[(x)(x-4)] ; Área = ?
(x +4) (x) = 2[(x)(x-4)]
x² +4x = 2x² - 8x
x² -2x² = 4x +8x
x² = 12x
x² / x = 12
x = 12
x - 4 = 12 -4 -> -x² +12x =0
1000/x = 1000/x+10 -5
1000(x+10) = 1000/x -5(x)(x+10)
1000x +10000 = 1000x -5x² -50x
5x² +50x -10000= 0
(5x)² -50(5x) -50000 = 0
(5x +250)(5x -200) /5 = 0
(x +50)(x -40) = 0
Si x +50 = 0 ⇒ x = -50 Rechazado.
Si x -40 = 0 ⇒ x = 40 Sacos
si 1000/x = 1000/40 = 25 Bolívares. c/u
Respuesta: 40 sacos a Bol.25 c/u.
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9) Un caballo costó 4 veces lo que sus arreos y la suma de los cuadrados del precio de los caballos y el precio de los arreos es 860,625sucres. ¿Cuán costó el caballo y cuántos los arreos?
Datos: Caballos = 4x , 16x² , arreos = x , x² ; costo total 860,625 ; suma = ?
16x² +x² = 860625
17x² = 860625
x² = 860625 / 17
x² = 50625
x = √50625
x = 225 ⇒
x = 225 costo de los arreos
4x = 4(225) = 900 costo de los caballos
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10) La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números.
Datos: x ; x-7 ; Suma = x + x -7 : Suma multiplicada por (x-7) = 184
(x+x-7)(x--7) = 184
(2x-7)(x-7) = 184
2x² -14x -7x +49 = 184
2x² -21x +49 -184 = 0
2x² -21x -135 = 0
(2x-30)/2 (2x+9)/1 = 0
(x -15)(2x+9) = 0
Si 2x +9 = 0 ⇒ x = - 9/2 Rechazado
Si x -15 = 0 ⇒ x = 15
-> x -7 = 15 -7 -> x = 8
Respuesta: los números son 15 y 7.
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11) La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto 102. Hallar las edades.
Datos: x ; x-23 ; (x)(x-23) = 102
(x)(x-23) = 102
x² -23x = 102
x² -23x -102 = 0
(x -17)(x -6) = 0
Si x -17 = 0 ⇒ x = 17
Si x -9 = 0 ⇒ x = 9
Respuesta: Los números son 17 y 9.
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12)Una persona compro cierto número de libros por $180. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le habría costado $1 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno?
Datos: 180/x ; 180/x-6 +1
180/x = 180/x-6 +1
180(x-6) = 180(x) +1(x)(x-6)
180x -1080 = 180x + x² -6x
-x² +180x -180x +6x = 1080
x² -180x +180x -6x = -1080
x² -6x +1080= 0
(x -36)(x +30) = 0
Si x +30 = 0 ⇒ x = -30 Rechazado.
Si x -36 = 0 ⇒ x = 36 ⇒
180/36 = 5
Respuesta: Compró 36 libros a $5. c/u.
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13) Una compañía de 180 hombres está dispuesta en filas. El número de soldados de cada fila es 8 más que el número que hay. ¿Cuántas filas hay y cuantos soldados en cada fila?
Datos: x+8 filas ; Total = 180 hombres
x(x+8) = 180
x² +8x = 180
x² +8x -180 = 0
(x +18)(x -10) = 0
Si x +18 = 0 ⇒ x = -18 Rechazado,
Si x -10 = 0 ⇒ x = 10 filas
⇒ x +8 = 10 +8 = 18 soldados por fila.
Respuesta: Hay 10 filas de 18 soldados c/u.
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14) Se vende un reloj en 75 soles ganando un % sobre el costo igual al número de soles que costó el reloj. Hallar el costo del reloj.
Datos: x(x/100) ; 75-x
x(x/100) = 75-x
x²/100 = 75-x
x² = 100(75 -x)
x² = 7500 -100x
x² +100x -7500 = 0
(x +150)(x -50) = 0
Si x+150 = 0 ⇒ x = -150 Rechazado
Si x -50 = 0 ⇒ x = 50.
Respuesta: el costo es $50.
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15) Entre cierto número de personas compran un auto que vale $1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas . ¿Cuántas personas compraron el auto?
Datos: Personas = x , exc. de # personas = x -194
x (x-194) = 1200
x² -194x = 1200
x² -194x -1200 = 0
(x -200)(x +6) = 0
Si x+6 = 0 ⇒ x = -6 Rechazado.
Si x -200 = 0 ⇒ x = 200
⇒ x -194 = 200 -194 -> x = 6
Respuesta: 6 personas.
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16) Compré cierto número de relojes $192. Si el precio de cada reloj es los 3/4 del número de relojes. ¿cuántos relojes compré y cuánto pagué por cada uno.
Datos; x ; 3/4 x : 182
x(3/4x) = 192
3/4x² = 192
x² = 192 / 3/4
x² = 256
x = ±√256 ⇒
x = -16 Rechazado
x = 16 ⇒
3/4x = 3/4(16) = 12
Respuesta: Compré 16 relojes y pagué $12 por cada uno.
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17) Se ha comprado cierto número de libris por $150. Si cada libro hubiera costado $1 más, se hubiera comprado 5 libros menos con los $150. ¿Cuántos libros se compraron y cuánto costó cada uno?
Datos: 150/x ; 150/x-5 -1
150/x = 150/x-5 -1
150(x-5) = 150(x) -1(x)(x-5)
150x -750 = 150x - x² +5x
x² -5x -750 = 0
x² -5x -750 = 0
(x -30)(x +25) = 0
Si x + 25 = 0 ⇒ x = -25 Rechazado
Si x = -30 ⇒ x = 30
⇒ 150/x = 150/30 ⇒ x = 5
Respuesta:: 30 libros a $5 c/u.
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