Variación directa de una función analítica.

Función Analítica.  Es cuando se conoce de modo preciso la relación analítica que relaciona a las variables, esta relación puede determinarse matemáticamente por medio de una fórmula o ecuación que permite, para cualquier valor de la variable independiente, hallar el valor correspondiente de la función.

Variación.  Es una ecuación que relaciona una variable con otra u otras variables mediante operaciones de multiplicación o división.

Existen tres tipos de variaciones: directas, inversas y conjuntas.

Variación directa. Esta se da cuando la variable A varía directamente a B o que A es directamente proporcional a B, cuando multiplicando o dividiendo una de estas variables por una cantidad, la otra variable queda multiplicada y dividida por esa misma cantidad. A esta cantidad que interviene se le denomina constante (k).  k = A/B

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Ejemplo de variación directa: 

Si un móvil que se mueve con movimiento uniforme recorre 30 km en 10 minutos, en 20 minutos recorrerá 60 Km, y en 15 minutos recorrerá 15 Km., entonces la variable espacio recorrido es directamente proporcional (o proporcional) a la variable tiempo o viceversa.

Si A es proporcional a B, entonces A es igual a B multiplicado por su constante.  A/B = k  -> A = kB.

En este ejemplo la relación entre el espacio y el tiempo es constante, como se muestra:

En 10 min. el móvil recorre 30 Km: la relación es 30/10 = 3.

En 20 min. el móvil recorre 60 Km: la relación es 60/30 = 3.

En ..5 min. el móvil recorre 15 Km: la relación es 15./.5 = 3.

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Ejercicio 166.

Hallar una de las variables cuando una de las otras variables varía en forma constante; según los siguientes planteamientos.

1) "x" es proporcional a "y".  Si x = 9 cuando y = 6,  hallar "x" cuando y = 8.

x/y = k  -> k = 9/6  -> k = 3/2  constante

Despeje de la fórmula para "x":  x/y = k -> x = ky

: 

Si x = ky  ->  x = 3/2(8)  ->  x = 24/2  --> x = 12.  Resultado.

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2) "x" es proporcional a "y".  Si y = 3 cuando x = 2, hallar "y" cuando x = 24.

x/y = k  -> k = 9/6  -> k = 3/2  constante.

Si x = ky  ->  y = x/k ->  y = 24 / 2/3 -> y = 72/2  -> y = 36  Resultado.

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9)  "x" es proporcional a "y²-1". Si x = 48 cuando y = 5, hallar x cuando y = 7.

x/y = k  -> k = 48/(5²-1) -> k = 48/24  -> k = 2  Constante.  

Si x = ky  ->  x = 2(7²-1)  ->  x = 2(48)  --> x = 96.  Resultado.

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11) El área de un cuadrado es proporcional al cuadrado de su diagonal.  Si el área es 18 m² cuando la diagonal es 6 m, hallar el área cuando la diagonal es 10 m.

Área = A  ,  Diagonal = D  ,  Constante = k  ;  Si D₁ = 6  ->  6² = 36 ; Si D₂ = 10 -> 10² = 100

A/D = k  -> k = A/D  -> k = 18/36 -> k = 1/2  Constante.  

Si A = kD  ->  A = 1/2(10²)  ->  x = 1/2(100)  ->  x = 50.  Resultado.

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14) El área de un círculo es proporcional al cuadrado del radio.  Si el área de un círculo de 14cm de radio es 616 cm2, ¿cuál será el área de un círculo de 7 cm de radio?

Área: A  ,  radio: r  ; constante : k  ;  

A/r = k  -> k = A/r  -> 616/ 14² ->  k = 616/196  -> k = 3.143  Constante.

Si A = kr  ->  A = 3.143(7²)  -> A  = 3.143(49) -> A = 154 cm²

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15)  La longitud de una circunferencia es proporcional al radio.  Si una circunferencia de 7 cm de radio tiene una longitud de 44 cm, ¿cuál es el radio de una circunferencia de 66 centímetros de longitud?

Longitud: A  ;  radio: r  :  Constante: k

L/r = k  ->  k = L/r   -> k = 44/7  Constante.

Si k = L/r  -> kr = L ->   r = L/k  ->   r = 66 / 44/7  ->   r = 462/44  ->   r = 10.5 cm.

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Cambio del sujeto de una fórmula.

El sujeto de una fórmula es la variable cuyo valor se da por medio de la fórmula. Es decir el sujeto es la variable cuyo valor se encuentra expresado en otras variables y constantes del otro lado de la igualdad.  A = bh.

Una fórmula es una ecuación formada por dos miembros y en determinados casos se puede buscar el valor de cualquiera de las variables expresadas en el otro lado de la igualdad.  A = bh --> h = A/b.

A este cambio por otra variable a despejar de una fórmula original dada, es lo que se denomina cambio de sujeto de una fórmula.

Ejemplos de aplicación.

(1) Dada la fórmula e = 1/2 at², hacer a "t" el sujeto de la fórmula.

Hay que despejar "t" de la ecuación literal dada, en donde "t" es la incógnita o sujeto.

Suprimiendo denominadores:

e = 1/2 at²   ->  2e = at²  

Despejando  t² 

t² = 2e/a

Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros:

-> √t² = √(2e /a) 

-> t = √(2e /a)   Respuesta.

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(2)  Dada la fórmula S = 2R(N-2), hacer a N el sujeto de la fórmula.

Efectuando operaciones indicadas:

-> S = 2RN +-4R

Transponiendo términos:

-> S +4R = 2RN

->  N = S-4R / 2R  Respuesta.

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(3) En la fórmula 1/f = 1/p+ 1/p´ , despejar p´.

El m,c,m, de los denominadores es pp´f

Quitando los denominadores:

1/f = 1/p+ 1/p´  -> pp´ = p´f + fp -> 

Transponiendo términos y simplificando:

-> pp´-  p´f = fp  -> p´(p - f) = fp

-> p´ = fp/p-f  Respuesta.

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(4) Despeje "a" en  v = √2ae

Elevando al cuadrado ambos miembros para cancelar el índice.

v = √2ae  -> (v)² =(√2ae)²  -> v² = 2ae

-> a = v²/2e  Respuesta.

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Ejercicio 163.

Despejar para encontrar el valor del nuevo sujeto de la fórmula.

1) En la fórmula e = vt, despejar "v"  y  "t"

Despejando "v":

e = vt  -> v = e/t  Respuesta.

Despejando "t":

e = vt  ->  t = e/v  Respuesta.

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2) En A = h(b+b´)/2, hacer a "h" el sujeto de la fórmula.

A = h(b+b´) /2  -> 2A = h(b+b´)  

-> h = 2A / b+b´  Respuesta.

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(3) En e = 1/2at², despejar a.

e = 1/2at²  ->  2e = at²

-> a = 2e/t²  Respuesta.

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4)  En A = 1/2 aln, despejar a, l y n.

Despejando "a":

A = 1/2 aln  -> 2A = aln

-> a = 2A/ln  Respuesta.

Despejando "l":

A = 1/2 aln  -> 2a = aln

->  l = 2A/an  Respuesta.

Despejando "n":

A = 1/2 aln  -> 2A = aln

->  n = 2A/al   Respuesta.

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5) En A = πr², despejar r.

A = πr² -> r² = A/π

-> r = √(A/π)   Respuesta.

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6) En a² = b²+c²-2b(x), despejar x.

a² = b²+c²-2b(x) ->  2b(x) = b²+c²-a²

-> x = b²+c²-a² /2b  Respuesta.

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7) En V = V₀+at, despejar V₀, a  y  t.

Despejando V₀ :

V = V₀ + at -> -V₀ = at - V

->  V₀ = V - at.  Respuesta.

Despejando a:

V = V₀ + at  ->  V - V₀ = at 

> a = V -V₀ /t.  Respuesta.

Despejando t.

V = V₀ + at  ->  V - V₀ = at 

-> t = V -V₀ /a.  Respuesta.

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8) En V = V₀ - at, despejar V₀, a  y  t.

Despejando V₀ :

V = V₀ - at -> -V₀ = -at - V

->  V₀ = V + at.  Respuesta.

Despejando a:

V = V₀ - at  ->  at =  V₀ -V 

-> a = V₀ -V /t Respuesta.

Despejando t.

V = V₀ - at  ->  at =  V₀ -V 

-> t = V₀ -V /a.  Respuesta.

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9) En D = P/V , despejar V  y  P-

Despejando V:

D = P/V  ->  DV = P  

->  V = P/D  Respuesta.

Despejando P:

D = P/V  ->  DV = P  

->  P = DV  Respuesta.

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10) En a² = b² + c², despejar b  y  c

Despejando b:

a² = b² + c²  -> b² = c² - a²  ->

b = ± √c² - a²  ,   o   sea,    b = √c² - a²    y    b = - √c² - a².   Respuesta.

Despejando c:

a² = b² + c²  ->  c² = b² - a² 

c = ± √b² - a²  ,   o   sea,    c = √b² - a²    y    c = -√b² - a² Respuesta.

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11) En V = at,  despejar a  y  t

Despejando "a":

V = at  ->  V/t = a ->

a = V/t  Respuesta.

Despejando t:

V = at  ->  V/a = t ->

t = V/a  Respuesta.

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12) En 1/f = 1/p´ - 1/p , despejar p´  y   p.

Despejando p´:

1/f = 1/p´ - 1/p  ->  1/f  + 1/p =  1/p´   ->  1/p´ = 1/f  + 1/p ->

pf = pp´+ p´f  ->  pf = p´(p+f)  ->

pf / p+f = p´  ->  p´ = pf /p+f   Respuesta.

Despejando p:

1/f = 1/p´ - 1/p  -> 1/f - 1/p´ = -1/p  ->  1/p = -1/f +1/p´

p´f = -pp´+pf  -> p´f = p(-p´+f) -> p´f = p(f -p´) -> p´f  / f-p´= p

->  p = p´f´/ f -p  Respuesta.

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13 En v = √e/d , despejar d  y  e.

Despejando d:

v = √e/d  -> (v)² = (√e/d)²   -> v² = e/d  

-> dv² = e  ->  d = e/v²   Respuesta.

Despejando e:

 v = √e/d  -> (v)² = (√e/d)²   -> v² = e/d  

-> v²d = e  ->  e = v²d   Respuesta.

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14)  En  e = V₀t+1/2at² . despejar V₀.

Despejando V₀:

e = V₀t+1/2at²  -> 2e = 2V₀t + at²  -> 2e - at² = 2V₀t  

-> 2e - at² /2t = V₀  ->  V₀ = 2e -at²/2t  Respuesta.

____________________________________________

15) En e = V₀t-1/2at² . despejar V₀ y a.

Despejando V₀:

e = V₀t-1/2at²  -> 2e = 2V₀t - at²  -> 2e +at² = 2V₀t  

-> 2e +at² /2t = V₀  ->  V₀ = 2e +at²/2t  Respuesta.

Despejando "a":

e = V₀t-1/2at²  ->  e+-1/2at² = V₀t  .-> 2e+at² = 2V₀t

-> at² = 2V₀t-2e  ->  a = 2V₀t-2e /t²   -> a = 2(V₀t-e) /t²  Respuesta.

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16) En V = 1/3hπr² , despejar h  y  r.

Despejando h:

V = 1/3hπr²  ->  3V = hπr²  -> 3V/πr² = h  ->  h = 3V/πr²  Respuesta,

Despejando r:

V = 1/3hπr²  ->  3V = hπr²  -> 3V/hπ = r²

-> r² =  3V/hπ  -> √r² = √(3V/hπ)  ->  r = √3V/hπ  Respuesta.

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17) En I = ctr/100 , despejar c, t  y  r.

Despejando c;

 I = ctr/100   -> 100I = ctr  ->  100I/tr = c  ->  c =  100I/tr  Respuesta.

Despejando t:

I = ctr/100   -> 100I = ctr  ->  100I/cr = t  ->  t =  100I/cr  Respuesta.

Despejando r:

I = ctr/100   -> 100I = ctr  ->  100I/ct = r  ->  r =  100I/ct  Respuesta.

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18) En E = IR ,  despejar R e I.

Despejando R:

E = IR  ->  E/I = R  ->  R = E/I  Respuesta.

Despejando I:

E = IR  ->  E/R = I  ->  I = E/R  Respuesta.

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19) En e = v²/2a,  despejar v.

 e = v²/2a  ->  2ae = v²  -> v² = 2ae

->  √v² = √2ae  -> v = √2ae  Respuesta.

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20) En u = a+(n-1)r , despejar "a", n  y  r. 

Despejando "a":

u = a+(n-1)r  ->  u-(n-1)r = a  ->  a = u-(n-1)r  Respuesta.

Despejando r:

u = a+(n-1)r  ->  u-a /n-1 = r  ->  r = u-a /n-1  Respuesta..

Despejando n:

u = a+(n-1)r  ->  u-a /r = n-1 -> u-a /r +1 = n  -> n = u-a /r +1  Respuesta..

______________________________________________

21)  En u = arⁿ⁻¹ , despejar a y r.

Despejando "a":

u = arⁿ⁻¹  ->  u/rⁿ⁻¹ = a  -> a = u/rⁿ⁻¹  Respuesta.

Despejando r:

u = arⁿ⁻¹  -> u/a = rⁿ⁻¹  -> ⁿ⁻¹√u/a =  ⁿ⁻¹√rⁿ⁻¹  -> 

-> ⁿ⁻¹√u/a = r  -->  r = ⁿ⁻¹√u/a  Respuesta.

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22) En I = Q/t , despejar Q y t.

Despejando Q:

 I = Q/t  -> It = Q  -> Q = It  Respuesta.

Despejando t:

 I = Q/t  -> It = Q  ->  t = Q/I   Respuesta

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Utilización de fórmulas en casos prácticos.

Fórmula es la expresión de una ley o de un principio general por medio de símbolos o letras.

Utilidad y ventaja de las fórmulas algebraicas:

- Expresan brevemente una ley o un principio general-

- Son fáciles de recordar.

- Su aplicación es fácil. solamente con sustituir las letras por los valores dados de un problema.

- La fórmula nos dice la relación entre las variables que en ella intervienen

.

Conversión de una fórmula dada al lenguaje vulgar.

Ejemplos:

1. Dar la regla contenida en la fórmula A = h(b+b₁ /2), en donde "A" representa el área de un trapecio; "h" su altura; "b" y "b₁" sus bases.

La regla es: El área de un trapecio es igual al producto de su altura por la semisuma de sus bases.

2. Dar la regla contenida en la fórmula v = e/t, en donde v representa la velocidad de un móvil que se mueve con movimiento uniforme y e el espacio recorrido en el tiempo t.

La regla es: La velocidad de un móvil que se mueve con movimiento uniforme es igual al espacio que ha recorrido divido ente el tiempo empleado en recorrerlo.

UTILIZACIÓN DE FÓRMULAS EN CASOS PRACTICOS.

Para este uso solamente debe sustituirse las letras de la fórmula por sus valores.

Ejemplos.  

1.  Hallar el área de un espacio, cuya altura mide 5m. y sus bases 6 y 8 m. respectivamente.

La fórmula es A = h(b+b₁ /2)

h = 5m. ,  b = 6m.  , b₁ = 8m.  ->

Sustituyendo valores en la fórmula:

A = 5(6+8 /2) = 5(14/2) = 5(7) = 35 m².  

Resultado: El área del espacio es  35 m²

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2.  Hallar el volumen de una pirámide siendo su altura 12m. y el área de la base 36 m².

Fórmula : V = 1/3 h(B)

h = 12m  ,  B = 36 m². ,  ->

Sustituyendo valores en la fórmula:

V = (1/3)(12)(36) = 4(36) = 144 m³. 

Resultado: el volumen de la pirámide es 144 m³.

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3.  Una piedra dejada caer desde la azotea de un edificio tarda 4 segundos en llegar al suelo. Hallar la altura del edificio.  La altura del edificio es el espacio que recorre la piedra.

Fórmula:  e = 1/2gt².

g vale 9.8 m.  ,  t = 4 seg. , entonces:

Sustituyendo valores en la fórmula:

e = 1/2(9.8)(4²) = (9.8/2)(16) = 78.4 m. 

Resultado; altura del edificio es 78.4 m.

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Ejercicio 162.

Encontrar lo que se te pide;

1) Hallar el área de un triángulo de 10cm. de base y 8 de altura.  A=1/2bh

Fórmula: A = 1/2 bh

b = 10cm.   ,   h = 8 cm.

A = (1/2)(10)(8) = (1/2)(80) -> = A = 40 cm².

Respuesta: El área del triángulo es de 40 cm²

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2) Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 8,   A = d²/2

Fórmula:  

d = 8  ,  A =?

A = 8²/2 =  64/2 -> A = 32 m².

Respuesta:  El área del cuadrado es 32 m².

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3)  ¿Qué distancia recorre un móvil en 15 seg. si se mueve con movimiento uniforme y lleva una velocidad de 9m. por seg.  e = vt

Fórmula: e = vt

v = 9   ,   t = 15

e = (9)(15) -> e = 135 m.

Respuesta: El móvil recorre una distancia de 135 m.

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4) ¿En qué tiempo el mismo móvil recorrerá 108 m.?

Fórmula: e = vt -> e/v = t -> t = e/v

e = 108   ,  v = 9

t = 108/9 ->  t = 12 seg

Respuesta: El móvil recorrerá 108m. en 12 seg.

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5) Hallar la hipotenusa "a" de un triángulo rectángulo siendo sus catetos  b = 4m.  y  c = 3m.

a² = b² + c².

Fórmula: a² = b² + c². -> a = √(b² + c²)

b = 4m  c = 3m,   a = ?  

a = √(b² + c²) -> a =  √(4² + 3²) -> a = √(16 + 9) -> a = a = √25 ->  a = 5m.

Respuesta:  La hipotenusa del triángulo rectángulo es 5m.

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6)  La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 m. y uno de los catetos 5m.  Hallar el otro cateto.  b² = a² -c².

c = 14m  ,  a = 5m.

b² = a² - c². -> b = √(a² - c²) -> 

b = √(5² - 13²)  -> b = √(25 - 169) -> b =√144 -> b = 12 m.

Respuesta: El otro cateto "b" mide 12m.

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7) Hallar el área de un círculo de 5m. de radio.   A = πr² , π=22/7

Fórmula: A = πr²

π=22/7 = 3.14285  , r = 5

A = πr² -> A = (3.14285)(5²)  -> a = (3.14285)(25)  -> A = 78.57 m.

Respuesta: El área del círculo es de 78.57 m².

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8) Hallar la longitud de una circunferencia de 5m. de radio.  C = 2πr

Fórmula: C = 2πr

π = 3.14285  , r = 5m.

C = 2πr = 2(3.14285)(5)  -> C = 37.42 m.

Respuest0a: La longitud de la circunferencia es de 37.42m.

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9) Hallar el volumen de un cono siendo su altura 9m. y el radio de la base 2m.  v = 1/3hπr²

Fórmula:  v = 1/3hπr²

h = 9m.  ,  r = 2m.  ,  π = 3.14285

v = (1/3)(9)(3.14285)(2)² -> v = 37.71 m²

Respuesta:  El volumen del cono es de 37.71 m²

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10) El volumen de un cuerpo es 8 cm³. y pesa 8.24 g.  Hallar su densidad.   D = P/V

Fórmula:  D= P/V

V = 8 cm³  ,  P = 8.24 g.

D = 8.24 / 8 -> D = 1.03 -> D =  1.03 cm³

Respuesta:  La densidad es de 1.03 cm³

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11) Hallar el área de un triángulo equilátero, cuyo lado mide  4m.   A = l²/4 √3

Fórmula : A = l² /4 √3

l = 4   ,  

A = l² /4 √3 -> A = 4²/4√3 -> A = 16/4 √3 -> A = 4(1.73) -> A = 6.92 m²

Respuesta: El área del triángulo es 6.92 m²

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12) Hallar la suma de los ángulos interiores de un hexágono regular. S = 180° (N-2).  (N es el número de lados del polígono).

Fórmula:  S = 180° (N-2)

N-2 = 6-2 = 4

S = 180(6-2)  -> S = 180(4) -> S = 720°  

Respuesta:  La suma de los ángulos es 720°

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Suma y resta de radicales. Con índices cúbicos.

Ejemplo a) Simplificar: 

Simplificando:

Entonces:

   Solución. 

_____________________________________

Ejemplo b) Simplificar: 

Entonces: 

  Solución.

_______________________________________

Ejercicio 239.

Simplificar: 

1) 

Entonces: 

  Solución.

____________________________________

2) 

Entonces 

   Solución.

_____________________________________

3) 

Entonces: 

   Solución.

_______________________________________

4)  

Entonces: 

  Solución.

_________________________________________

5) 

Entonces: 

  Solución.

_________________________________________

6)  

Entonces: 

  Solución.

_______________________________________

7)  

Entonces: 

  Solución.

_____________________________________

8)  

Entonces: 

  Solución.

______________________________________

9)  

Entonces: 

  Solución.

_____________________________________

10)  

Entonces: 

 Solución.

______________________________________

11)  

   ⇐

 ⇐

  ⇐

 

 ⇐

Entonces: 

   Solución.

_______________________________________

Nota: en los problemas 12)  y 13), se aplica una de las leyes de los exponentes, que dice que  ⁿ∛-a  = - ⁿ∛a  ó  - ⁿ∛-a = ⁿ∛a (siempre que n sea impar), o sea se le cambia signo al coeficiente de la raíz y coeficiente del subradical; dicho de otra manera; se multiplica el coeficiente de la raíz y el coeficiente del subradical por (-1).  El propósito de la aplicación de esta ley es dejar el subradical con signo positivo.

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12)  

Entonces: 

   Solución.

_______________________________________

13)  

Entonces: 

  Solución.

_____________________________________

14)  

Entonces: 

  Solución.

______________________________________

15)  

Entonces: 

  Solución.

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