Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros. Ejer. 28.

Ejemplo: 

Restar la suma de 5x⁴y²+6x²y⁴-5y⁶ con -3x⁶+x²y⁴-11y⁶ de

la suma de x⁶+2x²y⁴-y⁶ con -4x⁴y²+3x²y⁴+3y⁶

> Suma de 5x⁴y²+6x²y⁴-5y⁶ con -3x⁶+x²y⁴-11y⁶ (sustraendo)

.       +5x⁴y² +6x²y⁴ - 5y⁶

-3x⁶             +  x²y⁴ -11y⁶

-3x⁶ +5x⁴y² +7x²y⁴ -16y⁶  Total.

> Suma de x⁶+2x²y⁴-y⁶ con -4x⁴y²+3x²y⁴+3y⁶ (minuendo)

x⁶            +2x²y⁴   -y⁶

.   -4x⁴y² +3x²y⁴ +3y⁶

x⁶ -4x⁴y² +5x²y⁴ +2y⁶  Total.

-> restamos al total del minuendo el total del sustraendo:

. x⁶ -4x⁴y² + 5x²y⁴ + 2y⁶

3x⁶ -5x⁴y² - 7x²y⁴ +16y⁶

4x⁶ -9x⁴y² - 2x²y⁴ +18y⁶  Solución.

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Ejercicio 28.

Recuerda ordenar los polinomios de acuerdo a una letra, en orden descendente de mayor exponente.

1)  De la suma de x²+5 con 2x-6 restar la suma de x-4 con -x+6

= (x²+5) + (2x-6) - (x-4) +(-x+6)

> Suma de  x²+5 con 2x-6  (minuendo)

x²       +5

.   +2x -6

x² +2x -1 Total.

> Suma de x-4 con -x+6  (Sustraendo)

x  - 4

-x +6

.    +2  Total 

->  restamos:

x² +2x - 1

.           - 2

x² +2x - 3   Solución.

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5) De la suma de ab +bc +ac con -7bc +8ac -9 

restar la suma de 4ac-3bc+5ab con 3bc+5ac-ab.

-> Suma de ab +bc +ac con -7bc+8ac-9 (minuendo)

ab +  ac + bc

.    +8ac -7bc -9

ab +9ac -6bc -9  Total.

-> Suma de 4ac-3bc+5ab con 3bc+5ac-ab (sustraendo)

5ab+4ac-3bc

-ab+5ac+3bc

4ab+9ac   Total.

-> ab +9ac -6bc -9 - (4ab+9ac)

,  ab +9ac -6bc -9

-4ab - 9ac           .

-3ab         -6bc -9  Solución.

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7) De la suma de x⁴+x²-3; -3x+5-x³; -5x²+4x+x⁴

restar la suma de -7x³+8x²-3x+4 con x⁴-3.

-> Suma de x⁴+x²-3; -3x+5-x³; -5x²+4x+x⁴ (minuendo)

. x⁴      +  x²        -3

.     -x³        - 3x +5

. x⁴      -5x² +4x     .

2x⁴ -x³ -4x² +  x +2  Total. 

-> Suma de -7x³+8x²-3x+4 con x⁴-3. (sustraendo)

    -7x³ +8x² -3x +4

x⁴                        -3

x⁴ -7x³ +8x² -3x +1  Total.

->  Restamos:

2x⁴   -x³ -   4x² +  x +2

-x⁴ +7x³ -   8x² +3x -1

. x⁴ +6x³ -12x² +4x +1   Solución.

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10) Restar la suma de 3x²-y² con  -11xy+9y²-14 

de la suma de x²-3xy-y² con 9y²-8xy+19x²

-> Suma de 3x²-y² con  -11xy+9y²-14 (sustraendo)

3x²           -   y²

.     -11xy +9y² -14

3x² -11xy +8y² -14  Total.

-> Suma de x²-3xy-y² con 9y²-8xy+19x²  (minuendo)

.   x² -3xy -  y²

19x² -8xy +9y²

20x² -11xy +8y²  Total.

-> Restemos:

20x² - 11xy +8y²

- 3x² +11xy - 8y² +14

17x²                     +14   Solución.

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14) Restar la suma de x⁵-y⁵; -2x⁴y+5x³y²-7x²y³-3y⁵;  6xy⁴-7x³y²-8

de la suma de -x³y²+7x⁴y+11xy⁴ con -xy⁴-1.

-> Suma de x⁵-y⁵; -2x⁴y+5x³y²-7x²y³-3y⁵;  6xy⁴-7x³y²-8 (sustraendo)

x⁵                                           - y⁵

.   -2x⁴y +5x³y² -7x²y³           -3y⁵

.             -7x³y²            +6xy⁴        -8

x⁵ -2x⁴y -2x³y² -7x²y³ +6xy⁴ -4y⁵ -8  Total.

-> Suma de -x³y²+7x⁴y+11xy⁴ con -xy⁴-1  (minuendo)

7x⁴y -x³y² +11xy⁴

.                 -    xy⁴ -1

7x⁴y -x³y² +10xy⁴ -1  Total.

-> restando:

      +7x⁴y -  x³y²             +10xy⁴          -1 

-x⁵ +2x⁴y +2x³y² +7x²y³ -   6xy⁴ +4y⁵ +8

-x⁵ +9x⁴y +  x³y² +7x²y³ +  4xy⁴ +4y⁵ +7  Solución.

_______________________________________

Sumas y restas combinadas de polinomios con coeficientes enteros.

En estos casos es necesario realizar las operaciones según lo pidan en la enunciado del problema. Por ejemplo:

"de xⁿ restar la suma de de x más y"  (aquí primero se efectúa la suma, que será el sustraendo, y luego la resta) [xⁿ - (x+y)]

"de la suma de x más y, restar x" (aquí se efectúa la suma, que será el minuendo; y luego la resta) [(xⁿ+y) -x)]

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Ejemplos:

a) De a² restar la suma de 3ab-6  y   3a²-8ab+5

= a² - [(3ab -6) +(3a²-8ab +5)]

= a² - (3a² +3ab -8ab -6 +5)

= a² - (3a² -5ab -1)

= a² -3a² +5ab +1 = -2a² +5ab +1  Solución.

________________________

b) De x³-4x²y+5y³ restar la suma de -x³+5x²y-6xy²+y³ con -6x²y+9xy²-16y³

> Realizando la suma:

= -x³+5x²y-6xy²+y³ + (-6x²y+9xy²-16y³) = -x³+5x²y-6x²y-6xy²+9xy²+y³-16y³

= -x³ -x²y +3xy² -15y³ Total 

> Efectuando la resta, cambiando los signos al total de la suma, que será el sustraendo::

  x³  -4x²y            +5y³

. x³ +  x²y -3xy² +15y³

.2x³ -3x²y -3xy² +20y³   Solución.

________________________

c)  De la suma de x³ +4x²-6  y  -5x²-11x+5 restar x⁴-1

-> x³ +4x²-6  +  (-5x²-11x+5)

=  x³ +4x² -5x² -11x -6 +5 = x³ -x² -11x -1  Total 

-> la resta es:

.      x³ -x² -11x -1

-x⁴                    +1

-x⁴ +x³ -x² -11x     Solución.

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Ejercicio 27.

Realizar las operaciones que se indican en el enunciado del problema:

1) De a² restar la suma de ab+b² con a²-5b²

Suma de ab+b² + (a²-5b²) = a² +ab +b² -5b² = a² +ab -4b²  Total.

Resta de 

. a² 

- a² -ab +4b²

.     - ab +4b²  Solución.

______________________________________

3) De -7x²y  restar la suma de 4xy²-x³ con 5x²y+y³

La suma de 4xy²-x³ +(5x²y+y³) = -x³ +5x²y +4xy² +y³  Total

Resta de 

.    -7x²y

x³ - 5x²y  -4xy²  -y³

x³ -12x²y -4xy² -y³  Solución.

_______________________________________

5) de 6a restar la suma de 8a+9b-3c con -7a-9b+3c

La suma de 8a+9b-3c+(-7a-9b+3c) = 8a-7a +9b-9b -3c+3c = a Total

Resta de

6a - (a) = 6a -a = 5a  Solución.

_________________________________________

8) De x²-5ax+3a² restar la suma de 9ax-a² con 25x²-9ax+7a²

Suma = 9ax-a² +(25x²-9ax+7a²) = 25x²+9ax-9ax-a²+7a² = 25x²+6a²  Total

 Resta de

.    x² -5ax +3a²

-25x²          -6a²

-24x² -5ax  -3a²   Solución.

__________________________________________

15) De la suma de a+b con a-b restar 2a-b

Suma = a+b +(a-b) = a +a +b -b = 2a  Total.

Resta de

2a - (2a-b) = 2a-2a +b = b  Solución. 

___________________________________________

18)  De la suma de 4a² +8ab -5b² con a² +6b² -7ab  restar  4a² +ab -b²

Suma de 4a² +8ab -5b² +(a² +6b² -7ab) = 4a²+a² +8ab-7ab -5b²+6b² = 5a²+ab+b² Total

Resta de 

. 5a² +ab + b²

-4a²  - ab + b²

.   a²        +2b²  Solución.

___________________________________________

21) De la suma de n⁴-6n⁵+n² con 7n³-8n-n²-6  restar -3n⁴-n⁶-8n³+19

Suma de n⁴-6n⁵+n² +(7n³-n²-8n-6) = -6n⁵+n⁴+7n³+n²-n²-8n-6 = -6n⁵+n⁴+7n³-8n-6 Total.

Resta de

.    -6n⁵ +  n⁴ +  7n³ -8n -  6

n⁶         +3n⁴ +  8n³        -19

n⁶ -6n⁵ + 4n⁴ +15n³ -8n - 25  Solución.

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23)  Restar 5-m⁴ de la suma de -5m²+4m³-2m con -7m³+8m+4

Suma:  4m³-5m²-2m +(-7m³+8m+4) = 4m³-7m³-5m²-2m+8m+4 = -3m³-5m²+6m+4 Total

Resta:

.    -3m³-5m²+6m+4

m⁴                         -5

m⁴ -3m³-5m²+6m -1  Solución.

____________________________________________

26) Restar  a⁴-3a³+5 de la suma de 5a³+14a²-19a+8;  a⁵+9a-1  y  -a⁴+3a²-1

Suma:

.       +5a³+14a²-19a+8

a⁵                      + 9a -1

.  -a⁴         +3a²         -1

a⁵-a⁴ +5a³+17a²-10a+6 Total

Resta de:

a⁵ -  a⁴ +5a³+17a²-10a+6

.   -  a⁴ +3a³                 -5

 a⁵-2a⁴ +8a³+17a²-10a+1  Solución.

_______________________________________

29) Restar la suma de x⁵+y⁵ con 3x⁴y+21x³y²+18x²y³-y⁵ 

de x⁵+32x⁴y-26x³y²+18x²y³-2xy⁴+y⁵

Suma: 

x⁵                                     +y⁵ 

.   +3x⁴y+21x³y²+18x²y³ - y⁵ 

x⁵ +3x⁴y+21x³y²+18x²y³          Total

Resta de:

. x⁵+32x⁴y-26x³y²+18x²y³-2xy⁴+y⁵

- x⁵ -  3x⁴y-21x³y²-18x²y³              .

.       29x⁴y-47x³y²             -2xy⁴+y⁵   Solución.

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Resta de polinomios y valor numérico del resultado.

Ejercicio 26.

Efectuar las siguientes restas y hallar el valor numérico del resultado.

Siendo  a = 1  ,  b = 2  ,  c = 3  ,  x = 4  ,  y = 5  ,  m = ³/₂  ,  n = ²/₅

2)  De  a³ +b³ restar -5a²b +6ab² -2b³

a³                     + b³

.   +5a²b -6ab² +2b³

a³ +5a²b -6ab² +3b³   Solución.

Valor numérico:

= (1)³ +5(1)²(2) -6(1)(2)² +3(2)³ = 1 +10 -24 +24 = 11

______________________________________

5) De x⁴ -18x²y² +15y⁴  restar  -16x³y -6xy³ +9y⁴

x⁴             -18x²y²            +15y⁴

.   +16x³y              +6xy³ -   9y⁴

x⁴ +16x³y -18x²y² +6xy³  + 6y⁴   Solución.

VN:

= (4)⁴ +16(4)³(5) -18(4)²(5)² +6(4)(5)³  + 6(5)⁴

= 256 +5120 -7200 +3000 +3750 = 4926.

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8)  De  ²/₃ m²n +³/₄ mn² -¹/₂ n³  restar  -m³ -¹/₆ m²n -¹/₄ mn² -¹/₂ n³

.       ²/₃ m²n +³/₄ mn² -¹/₂ n³

m³ +¹/₆ m²n +¹/₄ mn² +¹/₂ n³

m³ +⁵/₆ m²n +    mn²   Solución.

VN:

= (³/₂)³ +⁵/₆ (³/₂)²(²/₅) +(³/₂)(²/₅)²

= ²⁷/₈ +³/₄ +⁶/₂₅ = ⁸⁷³/₂₀₀

________________________________________

10) Restar  15ab  de  -ab +10mn -8mx

-    ab +10mn -8mx

-15ab                      .

-16ab +10mn -8mx  Solución.

VN:

-16(1)(2) +10(³/₂)(²/₅) -8(³/₂)(4)

= -32 +6 -48 = -74

_________________________________________

12)  Restar ²/₃ x² +⁵/₆ x -³/₈   de  ¹/₆₄ x⁴

¹/₆₄ x⁴

.         -²/₃ x² -⁵/₆ x +³/₈

¹/₆₄ x⁴ -²/₃ x² -⁵/₆ x +³/₈   Solución.

VN:

¹/₆₄ (4)⁴ -²/₃ (4)² -⁵/₆ (4) +³/₈

= ¹/₆₄ (256) -²/₃ (16) -⁵/₆ (4) +³/₈

= 4 -³²/₃ -¹⁰/₃ +³/₈ = -⁷⁷/₈ = -9 ⁵/₈

_______________________________________

13) Restar ³/₄ x³ -³/₅ xy² -¹/₂₅ y³  de  x³ +³/₁₆ x²y -²/₅ xy²

.     x³ +³/₁₆ x²y -²/₅ xy²

-³/₄ x³               +³/₅ xy² +¹/₂₅ y³

 ¹/₄ x³ +³/₁₆ x²y +¹/₅ xy² +¹/₂₅ y³  Solución.

VN:

= ¹/₄ (4)³ +³/₁₆ (4)²(5) +¹/₅ (4)(5)² +¹/₂₅ (5)³

= ¹/₄ (64) +³/₁₆ (16)(5) +¹/₅ (4)(25) +¹/₂₅ (125)

= 16 +15 +20 +5 = 56 

________________________________________

14)  Restar aˣ⁻¹ -9 aˣ⁻³ +aˣ⁻²   de  ²/₅ aˣ⁻¹ +aˣ -⁵/₆ aˣ⁻³ +aˣ⁻²

aˣ +²/₅aˣ⁻¹ +aˣ⁻² - ⁵/₆aˣ⁻³    

.    -   aˣ⁻¹ - aˣ⁻² +   9aˣ⁻³ 

aˣ  -³/₅aˣ⁻¹          +⁴⁹/₆aˣ⁻³  Solución.

VN:

= (1)⁴  -³/₅(1)⁴⁻¹ +⁴⁹/₆(1)⁴⁻³

= 1 -³/₅  +⁴⁹/₆ = ²⁵⁷/₃₀ = 8 ¹⁷/₃₀

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Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios.

 Se utiliza el mismo procedimiento que para números enteros.

Ejercicio 25.

1) Restar  ⁵/₆ a²  de  ³/₈ a² -⁵/₆ a

³/₈ a² -⁵/₆ a -(⁵/₆ a²) = ³/₈ a² -⁵/₆ a -⁵/₆ a² = ³/₈ a² -⁵/₆ a² -⁵/₆ a 

= -¹¹/₂₄ a² -⁵/₆ a  Solución.

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2) Restar ¹/₂ a -³/₅ b  de  8a +6b -5

8a +6b -5 -(¹/₂ a -³/₅ b) = 8a +6b -5 -¹/₂ a +³/₅ b)

= (8a -¹/₂ a )+(6b +³/₅ b) -5 = ¹⁵/₂ a +³³/₅b -5  Solución.

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9) Restar x⁶ -⁷/₉x⁴y² +¹/₁₁x²y⁴-y⁶ +xy⁵  de  ⁷/₉x⁵y +²/₃x⁴y² -¹/₈x³y³ -x²y⁴ +xy⁵ +²/₁₃y⁶

> ordenando y cambiando el signo al sustraendo:

     +⁷/₉ x⁵y +  ²/₃ x⁴y² -¹/₈ x³y³ -       x²y⁴  +xy⁵ +²/₁₃ y⁶

-x⁶              +  ⁷/₉ x⁴y²               - ¹/₁₁ x²y⁴  -xy⁵  +     y⁶

-x⁶ +⁷/₉ x⁵y + ¹³/₉ x⁴y² -¹/₈ x³y³ - ¹²/₁₁ x²y⁴        +¹⁵/₁₃ y⁶   Solución.

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10) Restar -¹/₆ x²y +³/₄ xy² -²/₃ x³ +6   de   ⁵/₈ xy² -⁷/₉ x²y +¹/₃ x³ -⁷/₁₁y³ -²/₅

¹/₃ x³  -⁷/₉ x²y +⁵/₈ xy² -⁷/₁₁ y³  - ²/₅

²/₃ x³  +¹/₆ x²y - ³/₄ xy²             - 6 

.   x³ -¹¹/₁₈ x²y - ¹/₈ xy² -⁷/₁₁ y³ -³²/₅   Solución.

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11) Restar -²/₁₃ m⁶ +¹/₃ n⁶ -⁷/₂₀ m⁴n² +⁵/₁₄ m²n⁴ -³/₅  de  ³/₁₀ m⁴n² -³/₇ m²n⁴ +⁵/₉ n⁶

               ³/₁₀ m⁴n²  - ³/₇ m²n⁴  +⁵/₉ n⁶

²/₁₃ m⁶  + ⁷/₂₀ m⁴n² - ⁵/₁₄ m²n⁴ - ¹/₃ n⁶  +³/₅

²/₁₃ m⁶ +¹³/₂₀ m⁴n² -¹¹/₁₄ m²n⁴ +²/₉ n⁶  +³/₅  Solución.

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12) Restar -⁵/₁₁ c⁴d +³/₁₃ d⁵ -⁵/₆ c³d² +³/₄ cd⁴  

de  ³/₈ c⁵ +¹/₂ c²d³ -¹/₃ d⁵ +⁷/₁₂ c³d² +⁷/₂₂ c⁴d -35

-----

 ³/₈ c⁵ +⁷/₂₂ c⁴d + ⁷/₁₂ c³d²  +¹/₂ c²d³              -¹/₃ d⁵  -35

.           ⁵/₁₁ c⁴d +  ⁵/₆ c³d²                -³/₄ cd⁴ - ³/₁₃ d⁵      .

³/₈ c⁵ +¹⁷/₂₂ c⁴d +¹⁷/₁₂ c³d² +¹/₂ c²d³ -³/₄ cd⁴ -²²/₃₉ d⁵  -35  Solución.

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Resta de polinomios. (Ejer.23)

 La multiplicación puede efectuarse en forma horizontal o bien en forma vertical.

En forma horizontal se copia primero el minuendo, después el signo de resta y luego el sustraendo entre paréntesis, cada término con su propio signo. A continuación se copia el minuendo y seguido cada término del sustraendo pero con el signo cambiado; se reducen los términos semejantes, se ordenan si es necesario y esa será la solución.

En forma vertical se copia primero el minuendo, y luego el sustraendo abajo del minuendo; pero colocando cada término del sustraendo con su semejante del minuendo.  Se efectúa la suma de cada término con su semejante y nos dará la solución.

Ejemplos:

a) De 1 restar x²+x+5

1

-5 -x -x²

-4 -x -x²  Solución.

b) Restar 9ab³-11a³b+8a²b²-b⁴  de  a⁴-1

a⁴                                        -1

.    11a³b -8a²b² -9ab³ +b⁴     

a⁴  11a³b -8a²b² -9ab³ +b⁴ -1  Solución.

En este caso los términos del minuendo no tienen semejante abajo en el sustraendo, al sumarlos solo se copian en el resultado. Y los términos del sustraendo no tienen semejante arriba en el minuendo, al sumarlos solo se copian en el resultado.

Es importante que antes de empezar a escribir el minuendo y el sustraendo, ordenarlos por su mayor exponente en relación a determinada letra. 

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Ejercicio 23.

1) De 1 restar a-1

1- (a-1) = 1 -a +1 = 2 -a  Solución.

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2) De 0 restar a-8

0 - (a-8) = 0 -a +8 = 8 -a  Solución.

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3) De -9 restar 3a+a²-5

-9 - (a²+3a-5) = -9 -a² -3a +5 = - -a² -3a-4  Solución.

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4) De 16 restar 5xy-x²+16

16- (-x²+5xy+16) = 16 +x² -5xy -16 = x² -5xy  Solución.

______________________________

5) De 1 restar a³-a²b+ab²

1 - (a³-a²b+ab²) = 1 -a³+a²b-ab² = -a³+a²b-ab²+1  Solución.

______________________________

6) De x³ restar -x³-8x²y-6xy²

x³ -( -x³-8x²y-6xy²) = x³ +x³+8x²y+6xy² = 2x³+8x²y+6xy²  Solución.

______________________________

13) Restar -5x²y+17xy²-5 de x³+y³

x³                      +y³

.   +5x²y -17xy²        +5 

x³ +5x²y -17xy² +y³ +5  Solución.

_______________________________

14) Restar 9x³y-15xy³-8x²y² de x⁴-1

x⁴                                  -1

.   -9x³y +8x²y² +15xy³     

x⁴ -9x³y +8x²y² +15xy³ -1   Solución.

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17) Restar 9y⁵+17y⁴-y³+18y²  de  y⁶+y-41

y⁶                                  +y -41

.   -9y⁵ -17y⁴ +y³ -18y²            .

y⁶ -9y⁵ -17y⁴ +y³ -18y² +y -41  Solución.

_________________________________

18) Restar -15a⁵b+17a³b³-14ab⁵-b⁶  de  a⁶+9a⁴b2+a2b⁴

a⁶             +9a⁴b²              +a²b⁴

.   +15a⁵b             -17a³b³         +14ab⁵ +b⁶ 

a⁶ +15a⁵b +9a⁴b² -17a³b³ +a²b⁴ +14ab⁵ +b⁶  Solución.

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