Problemas resueltos por ecuaciones simultáneas. Ejercicio 194.

 Ejemplo.

6 lbs. café y 5 bls. de azúcar constaron $2.27, y 5 lbs. de café y 4 lbs. de azúcar, a los mismos precios, costaron $1.88.  Hallar el precio de una libra de café y una de azúcar.

Datos:

x= precio de 1 lb. de café en cts.   ;   y= precio de una libra de azúcar en cts.

$2.27 = 227 cts.   y   $1.88 = 188 cts.

6x +5y = 227   y  5x+4y = 188

Sustituyendo "y" en (1):

6x +5y = 227

6x +5(7) = 227

6x +35 = 227

x = 227-35 / 6 

x = 32

Solución: La libra de café costó 32 cts., y la libra de azúcar costó 7 cts.

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Ejercicio 194.

Resolver los siguientes problemas utilizando ecuaciones simultáneas.

1) 5 trajes y 3 sombreros cuestan 4180 soles, y 8 trajes y 9 sombreros 6940.  Hallar el precio de un traje y de un sombrero.

Datos: Trajes = x  ;  Sombreros = y. 

Sustituyendo "x" en (1):

5x +3y = 4180

5(800) +3y = 4180

4000 +3y = 4180

y = 4180-4000 /3

y = 60

Solución: Un traje cuesta 800 Soles y un sombrero 60 Soles.

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2) Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por $514 y más tarde, a los mismos precios, compró 8 vacas y 9 caballos por $818.  Hallar el costo de una vaca y de un caballo.

Datos:  x= vacas   ;   y=  caballos.

Sustituyendo "x" en (1):

4x +7y = 514

4(55) +7y = 514

220 +7y = 514

y = 514-200 /7

y = 42

Solución:  Una vaca cuesta $55 y un caballo cuesta $42.

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3)  En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $5.12, y 17 de niño y 15 de adulto $ 8.31.  Hallar el precio de una entrada de niño y una entrada de adulto.

x = entrada de adulto   ; y =  entrada de niño.

Sustituyendo "x" en (1)

10x +9y = 5.12

10(0.35) +9y = 5.12

3.5 +9y = 5.12

y = 5.12 -3.5 /9

y = 1.62/9

y = 0.18 $

Solución: Las entradas de adulto costaron $0.35 = 35 cts.  y las de niño $0.18 = 18 cts.

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4) Si a 5 veces el mayor de dos números se añade y 7 veces el menor, la suma es 316, y si a 9 veces el menor se resta el cuádruple del mayor, la diferencia es 83.  Hallar los números.

Datos:  x = número mayor   :   y = número menor.

Sustituyendo "y" en (1):

5x +7y = 316

5x +7(23) = 316

5x +161 = 316

x = 316-161 /5

x = 31

Solución: Los números son 31 y 23.

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5) Los 3/7 de la edad de A aumentados en los 3/8 de la edad de B suman 15 años, y los 2/3 de la edad de A disminuidos en los 3/4 de la edad de B equivalen a 2 años.  Hallar ambas edades.

Datos:  A= x    ;   B= y

Sustituyendo "x" en (1):

3/7x  +3/8y = 15

3/7(21) +3/8y = 15

9 +3/8y = 15

y = 15-9 ÷ 3/8

y = 6 ÷ 3/8

y = 16

Solución:  La edad de A es 21 años y la edad de B es 16 años.

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6)  El doble de la edad de A excede en 50 años a la edad de B, y 1/4 de la edad de B es 35 años menos que la edad de A.  Hallar ambas edades.

A = x   ;   B = y.

Sustituyendo "y" en (1):

2x -y = 50

2x -40 = 50

x = 50+40 /2

x = 90/2

x = 45

Solución:  Edad de A = 45 y edad de B= 40.

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Problemas resueltos por ecuaciones simultáneas.

 Ejemplo.  

La diferencia de dos números es 14, y 1/4 de su suma es 13.  Hallar los números.

Datos:

x = el número mayor    ;     y = el número menor

(x+y)/4 = la cuarta parte de la suma.

Formamos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

Quitamos denominadores y sumamos:

Sustituimos el valor de "x" en (1)

x -y = 14

33 -y = 14

-y = 14-33

y = 19

Solución: los números son  33 y 19.

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Ejercicio 193.

Resolver los problemas utilizando ecuaciones simultáneas.

1) La diferencia de dos números es 40 y 1/8 de su suma es 11.  Halar los números.

Datos:

x = número mayor  ;  y = número menor   ;  (x+y)/8 = octava parte de la suma.

   

Sustituyendo el valor de "x" en (1):

x -y = 40

64 -y = 40

-y =40 -64

-y = -24

y = 24

Solución: los números son:  64 y 24.

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2) La suma de dos números es 190 y 1/9 de su diferencia es 2.  Hallar los números.

Datos:  x = número mayor   ;  y = número menor ;  

x+y = suma    ;     (x-y)/9 Novena parte de diferencia.

Sustituyendo el valor de "x" en (1)

x +y = 190

104 +y = 190

y = 190-104

y =  86

Solución: los números son:  104 y 86.

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3) La suma de dos números es 1529 y su diferencia 101.  Hallar los números.

Datos:  x= número mayor   ;   y = número menor

x +y = suma   ;   x -y = diferencia.

Sustituyendo el valor de "x" en (1):

x +y = 1529

714 +y = 1529

y = 1529-815

y = 714

Solución: los números son 815 y 714. 

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4) Un cuarto de la suma de dos números es 45 y un tercio de su diferencia es 4. Hallar los números.

Datos:  x = número mayor   ;   y = número menor

(x +y)/4 = Un cuarto de la suma  ;   (x -y)/3 = un tercio de la diferencia. 

Sustituyendo el valor de "x" en (1)

(x +y)/4 = 45

(96+y)/4=45

96+y =45(4)

y = 180-96

y = 84

Solución: los números son:  96 y 84. 

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5) Los 2/3 de la suma de dos números es 74 y los 3/5 de su diferencia 9.  Hallar los números.

Datos:  x = número mayor;     y = número menor;

2(x+y) /3 = 2/3 de la suma;      3(x-y) /5 = 3/5 de la diferencia.

 

Sustituyendo "x" en (2)

3x -3y = 45

3(63) -3y = 45

189 -3y = 45

-y = 45 -189 /-3

-y = -144/3

y = 48

Solución: los números son 63 y 48.

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6) Los 3/10 de la suma de dos números exceden en 6 a 39 y los 5/6 de su diferencia son 1 menos que 26.  Hallar los números. 

Datos: x = número mayor   ;   y = número menor .

 

Sustituyendo "x" en (1)

3x +3y = 450

3(90) +3y = 450

270 +3y = 450

y = 450-270 /3

y = 180/3

y = 60

Solución: los números son:  90  y  60.

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Gráfica de ecuaciones lineales. Intersección.

 Ejemplos.

a) Hallar la intersección de 3x+4y=10 con 2x+y=0

Se tiene 3x+4y=10  ⇒   y = 10-3x /4 ; x = 10-4y /3

Si x = 0 ⇒ y =10-3(0) /4 ⇒ y =10/4 ⇒ y = 5/2 ó 2¹/₂ : (x, 2¹/₂)

Si y = 0 ⇒ x =10-4(0) /3 ⇒ x =10/3 ⇒ x = 3¹/₃    :  (3¹/₃, 0)

Se tiene 2x+y = 0   ⇒  y = -2x  ;  x = -y/2

Si x = 0 ⇒ y =-2(0) ⇒ y = 0      (0, 0)

Si x =1 ⇒ y = -2(1) ⇒ y = -2 ->    :   (1, -2)

La intersección es (-2,4)

Graficando los puntos de cada ecuación se representaría así:

b) Hallar la intersección de 2x+5y=4 con 3x+2y=-5

Se tiene 2x+5y=4 ⇒  y = 4-2x /5   ;    x = 4-5y /2

Si x=0 ⇒ y = 4-2(0) /5 ⇒ y = ⁴/₅   :  (0, ⁴/₅)

Si y=0 ⇒ y = 4-5(0) /2 ⇒ y = 4/2 y = 2    :  (2, 0)  

Se tiene 3x+2y=-5 -> y = -5-3x /2  ;  x = -5-2y /3

Si x=0 ⇒ y = -5-3(0) /2  ⇒ y = -5/2 ó -2¹/₂  :  (0, -2¹/₂)

Si y=0 ⇒ x = -5-2(0) /3 ⇒ x =-5/3 ó x = -1²/₃  :  (-1²/₃, 0)

La intersección es  (-3,2)

Graficando las ecuaciones en base a sus puntos:

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Ejercicio 175.

Hallar la intersección de:

21)  x+1=0  con y-4=0

1°) x+1=0  es x=-1 equivale a 0y+x=-1 -> 

Si y = -1  ⇒  0(-1)+x = -1 ⇒  x = -1  punto (-1,-1)

Si y = 0  ⇒  0(0)+x = -1  ⇒ x = -1   punto (-1, 0)

Si y = 1  ⇒  0(1)+x = -1  ⇒  x = -1  punto  (-1,1)

2°) y=-4 es y=4  equivale a 0x+y=4  ->

Si x = -1  ⇒ 0(-1)+y = 4 ⇒ y = 4   punto (-1, 4)

Si x = 1   ⇒ 0(1)+y = 4   ⇒ y = 4  punto   (1, 4) 

La intersección es  (-1,4)

por lo tanto su gráfica es:

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22)  3x=2y  con  x+y=5

1°) Se tiene 3x=2y -> 3x-2y= 0 

-> x = 2y/3   ;  y = -3x/-2

Si x = -1  ⇒ y = -3(-1) /-2 ⇒ y = - 3/2   punto (-1, -3/2)

Si x = 0   ⇒ y = -3(0) /-2   ⇒ y = 0/-2 ⇒ y = 0  punto (0, 0)

Si x =1  -> y = -3(1) /-2  ⇒ y = -3/-2 ⇒ y = 3/2  punto (1, 3/2)  

2°)  Se tiene x+y = 5 

⇒ x +y=5 ⇒   x = 5-y   ;    y = 5-x ->

Si x = 0 ⇒  y = 5-(0) ⇒ y = 5   Punto (0, 5)

Si y = 0 ⇒  x = 5-(0) ⇒ x = 5    Punto (5, 0)

La intersección es (2, 3)

Por lo tanto su gráfica es:

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23)  x -y = 2  con 3x +y = 18

1°) Se tiene x -y = 2 ⇒

x-y = 2 ⇒  x = 2+y    ;     -y = 2-x ⇒  y = -2+x

Si x = 0  ⇒  y = -2-(0) ⇒ y = -2   Punto (0, -2)

Si y = 0  ⇒  x = 2+(0)  ⇒  x = 2   Punto (2, 0)

2°)  Se tiene 3x+y=18 ⇒

3x+y=18  ⇒  x= 18-y /3   ;    y= 18-3x ⇒

Si x = 0  ⇒  y= 18-3(0) ⇒ y = 18   Punto (0, 18)

Si y = 0  ⇒ x = 18-(0) /3 ⇒ x = 18/3 ⇒ x= 6  Punto  (6, 0)

La intersección es (5, 3)

Su gráfica es:

__________________________________

24) 2x -y = 0 con 5x +4y = -26

Se tiene 2x-y=0 ⇒

x = y/2   ;   y = 2x

Si x = -1 ⇒  y = 2(-1) ⇒  y = -2   Punto  (-1, -2)

Si x = 0  ⇒  y = 2(0)  ⇒   y = 0    Punto (0, 0)

Si x = 1 ⇒  y = 2(1)  ⇒  y = 2b    Punto (1, 2) 

Se tiene  5x+4y=-26 ⇒

x = -26-4y /5    ;   y = -26-5x /4  ⇒

Si x=0 ⇒  y=-26 -5(0) /4 ⇒  y=-26/4 ⇒ y=- 13/2 ⇒ y=-6¹/₂  Punto (0, -6¹/₂)

Si y=0 ⇒  x=-26-4(0) /5 ⇒ x=-26/5 ⇒ x= -5¹/₅    Punto (-5¹/₅, 0)

La intersección es (-2, -4)

Su gráfica sería:

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25)  5x+6y=-9  con  4x-3y=24

Se tiene 5x+6y=-9 ⇒

x = -9 -6y /5   ;   y = -9 -5x /6 ⇒

x = 0   ⇒  y= -9-5(0) /6 ⇒ y=-9/6 ⇒ y=-3/2   Punto (0, -3/2)

y = 0  ⇒  x= -9 -6(0) /5 ⇒ x=-9/5 ⇒ x= -9/5   Punto (-9/5, 0)

Se tiene 4x-3y=24 ⇒

x = 24+3y /4    ;    y = 24-4x /-3

x=0  ⇒  y= 24-4(0) /-3 ⇒ y= 24/-3 ⇒ y=-8  Punto (0, -8)

y=0  ⇒  x= 24+3(0) /4 ⇒ x= 24/4  ⇒  x= 6   Punto (6, 0)

La intersección es (3, -4)

La gráfica sería:

___________________________________

26)  x +5 = 0  con  6x -7y = -9

Se tiene x+5 = 0  es x=-5, equivale a x +0y = -5 ⇒

Si y = -1 ⇒  x+0(-1) = -5 ⇒ x = -5   Punto (-5, -1)

Si y = 0  ⇒  x+0(0) = -5   ⇒ x = -5   Punto (-5, 0)

Si y = 1  ⇒  x+0(1) = -5   ⇒ x = -5    Punto (-5, 1)

Se tiene 6x-7y=-9 ⇒

x = -9+7y / 6    ;     y = -9 -6x /-7 ⇒

x = 0  ⇒ y = -9 -6(0) /-7 ⇒ y = -9/-7 ⇒ y= 9/7   Punto (0, 9/7)

y = 0  ⇒ x = -9+7(0) /6⇒ x=- 9/6 ⇒   Punto (-9/6, 0)

La intersección es (-5, -3)

La gráfica sería:

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27) 3x +8y = 28  con  5x -2y = -30

Se tiene 3x+8y=28 ⇒

x= 28-8y /3    ;     y= 28-3x /8 ⇒

x = 0  ⇒ y= 28-3(0) /8  ⇒  y= 28/8 ó  y= 7/2   Punto (0, 7/2)

y = 0  ⇒ x= 28-8(0) /3  ⇒  x= 28/3  ó  x= 9¹/₃  Punto (28/3, 0)

Se tiene 5x-2y=-30 ⇒

x= -30+2y /5    ;    y= -30-5x /-2 ⇒

x = 0  ⇒  y= -30-5(0) /-2  ⇒  y= -30/-2  ⇒  y= 15  Punto (0, 15)

y = 0  ⇒  x= -30+2(0) /5  ⇒  x= -30/5    ⇒  x= -6   Punto (-6. 0)

La intersección es (-4, 5)

La gráfica sería:

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28) y-4 = 0   con   7x+2y=22

Se tiene y-4=0  es y=4, que equivale a 0x+y=4 ⇒

Si x = -2  ⇒  0(-2)+y=4 ⇒  y= 4   Punto (-2, 4)

Si x =  0  ⇒  0(0)+y=4   ⇒  y= 4    Punto (0, 4)

Si x = 2   ⇒  0(2)+y=4   ⇒  y= 4    Punto (2, 4)

Se tiene 7x+2y=22  ⇒

x= 22-2y /7    ;     y= 22-7x /2 ⇒

x = 0  ⇒  y = 22-7(0) /2  ⇒  y = 22/2  ⇒  y = 11   Punto (0, 11)

y = 0  ⇒   x = 22-2(0) /7  ⇒  x = 22/7 ⇒ x = 3¹/₇   Punto (3¹/₇, 0)

La intersección es (2, 4)

La gráfica sería:

 

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Gráfica de una ecuación lineal.

Ecuaciones lineales se les llama a todas aquellas ecuaciones de primer grado con dos variables que están representadas por líneas rectas.

Las ecuaciones lineales se representan gráficamente de dos maneras:

1) Las ecuaciones con dos variables sin término independiente son aquellas en que las líneas rectas pasan por el origen.  Ej. 2x-3y=0  ⇒ -3y=-2x ⇒ 3y=2x  ⇒ y=2/3x

2) Las ecuaciones con dos variables con término independiente son aquellas en que las líneas rectas no pasan por el origen.

Ej. Sea la ecuación 4x-5y=10 ⇒ -5y=10-4x ⇒ 5y=4x-10 ⇒ y=4x-10 /5 ⇒ y=4/5x -2 

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Ejemplos.

1) Representar gráficamente la ecuación 5x-3y=0

Esta es una ecuación sin término independiente, por la que su línea recta si pasa por el origen.

5x-3y=0 ⇒ -3y=-5x ⇒ 3y=5x   ∴ y=5/3x

Dando un valor cualquiera (por ejemplo 3) a "x", para encontrar el valor de "y".

y = (5/3)(3) = 5    ⇒ x=3 , y=5    (3,5) 

El punto (3/5) es uno de los puntos de la recta y que al unirlo con el origen (0,0) determina una representación de una línea recta que pasa por el origen:

2) Representar gráficamente la ecuación 3x+4y=15

Esta es una ecuación con término independiente, por lo que su línea recta no pasa por el origen.  

Para encontrar los puntos para graficar basta con buscar los puntos de intersección en los ejes.  (0,y).(x,0)

y=15-3x /4       y    x=15-4y /3

Si x = 0  ⇒  y=15-3(0) /4  ⇒ y=15/4 ⇒ y=3 3/4 

Si y = 0 ⇒  x=15-4(0) /3⇒  x=15/3  ⇒  x=5

⇒ los puntos para graficar son ((0, 3³/₄)  y  (5, 0)

3) Representar gráficamente x-3 = 0

Si x-3 = 0 ⇒ x = 3

La ecuación quedaría así: x +0y = 3 ⇒ x = 3-0y

Si y = 0 ⇒ x=3-0(0) ⇒ x = 3     (3,0)

Si y =1  ⇒ x = 3-0(1) ⇒ x = 3   (3,1)

Si y =2  ⇒ x = 3-0(2) ⇒ x =3    (3,2)

Si y = n ⇒ x = 3-0(n) ⇒ x =3    (3,n)

Por lo tanto ( ∴ ) , para cualquier valor de "y" el valor de "x" siempre será el mismo; por lo que la representación gráfica de es una línea recta paralela al eje de las "y", (a la derecha)

Si la ecuación fuera x+2=0 ⇒ x=-2, por lo que su representación gráfica es una línea paralela al eje de las "y" (a la izquierda)

4) Representar gráficamente y -2 =0

y-2= 0,  ≈  0x-y=2 ⇒  y=2+0x

Si x = -1 ⇒ y = 2+0(-1)   ⇒  y = 2   (-1 , 2)

Si x = 0  ⇒  y = 2+0(0)  ⇒  y = 2     (0 , 2)

Si x = 1  ⇒  y = 2+0(1)  ⇒  y = 2      (1 , 2)

Por lo tanto ( ∴ ) , para cualquier valor de "x" el valor de "y" siempre será el mismo; por lo que la representación gráfica de es una línea recta paralela al eje de las "x", (arriba).

Si la ecuación fuera y+4=0 ⇒ y=-4, por lo que su representación gráfica es una línea paralela al eje de las "x", (abajo)

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Ejercicio 175.

Representa gráficamente las siguientes ecuaciones:

1) x -y = 0

x -y = 0  ⇒ x = y

Por lo tanto cualquier valor de x será igual al valor de y.

(x,y) = (-2,-2) ,  (0,0) , (2,2) 

2)  x +y = 5

x +y = 5 ⇒  x = 5-y

Si y = -1  ⇒ x = 5-(-1)  ⇒ x = 5+1 ⇒ x = 6    (6 , -1)

Si y = 0  ⇒ x = 5-(0)  ⇒ x = 5+0 ⇒ x = 5      (5 . 0)

Si y = 1  ⇒ x = 5-(1)  ⇒ x = 5-1 ⇒ x = 4        (4 , 1)

3)  x -1 = 0

x -1 = 0 ⇒ x +0y = 1

-> x = 1-0y

Si y = -1  ⇒  x = 0(-1)  ⇒ x = 0   (0 , -1)

Si y = 0  ⇒  x = 0(0)  ⇒ x = 0      (0 , 0)

Si y = 1  ⇒  x = 0(1)  ⇒ x = 0      (0 , 1)

4)  y +5 = 0

y +5 = 0 ⇒  0x +y = -5

y = -5 -0x

Si x = -1  ⇒  y = -5-0(-1)  ⇒ y = -5   (-1 , -5)

Si x = 0  ⇒ y = -5-0(0)  ⇒ y = -5       (0 , -5)

Si x =1  ⇒ y = -5-0(1)  ⇒ y = -5        (1 , -5)

7)  x -y = -4

x = -4+y

Si y = -2  ⇒  x = -4+(-2)  ⇒  x = -4-2  ⇒  x = -6   (-6 , -2)

Si y = 0  ⇒  x = -4+(0)  ⇒  x = -4-0  ⇒  x = -4      (-4 , 0)

Si y = 2  ⇒  x = -4+(2)  ⇒  x = -4+2  ⇒  x = -2      (-2 , 2)

 

10)  2x+3y=-2

x = -20 -3y / 2

Si y=-2  ⇒  x = -20-3(-2) /2  ⇒ x = -20+6 /2 ⇒ x = -14/2  ⇒ x = -7  (-7,-2)

Si y=0  ⇒  x = -20-3(0) /2  ⇒ x = -20+0 /2 ⇒ x = -20/2  ⇒ x = -10   (-10,0)

Si y=2  ⇒  x = -20-3(2) /2  ⇒ x = -20-6 /2 ⇒ x = -26/2  ⇒ x = -13    (-13,2)

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Problemas sobre ecuaciones indeterminadas.

 Ejemplo.

Un comerciante emplea Q64 en comprar lapiceros a Q3 cada uno y plumas fuentes a Q5 cada una.  ¿Cuántos lapiceros y cuántas plumas fuentes puede comprar?

Datos:

Lapiceros: x  ;  plumas fuentes: y  ;  Compra Q64.

3x + 5y = 64  ⇒  x = 64-5y /3

Si y = 2 ⇒ x = 64-5(2) /3 = 64-10 /2 = 54/3 ⇒ x = 18 

Si y = 5 ⇒ x = 64-5(5) /3 = 64-25 /2 = 39/3 ⇒ x = 13

Si y = 8 ⇒ x = 64-5(8) /3 = 64-40 /2 = 24/3 ⇒ x = 8

Si y = 11 ⇒ x = 64-5(11) /3 = 64-55 /2 = 9/3 ⇒ x = 3

Nota: los demás valores para y no dan valores enteros y/o positivos para x.   

Solución: por Q64 puede comprar:

18 lapiceros y 2 plumas fuentes,

13 lapiceros y 5 plumas fuentes,

8 lapiceros y 8 plumas fuentes, 

3 lapiceros y 11 plumas fuentes.

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Ejercicio 174.

1) ¿De cuántos modos se pueden tener $42 en billetes de $2 y de $5?

Datos:

Billetes de $2 : x  ;  billetes de $5:  y  ; Valor total $42.

2x + 5y = 42  ⇒   x = 42-5y / 2

Si y = 2 ⇒ x = 42-5(2) /2 = 42-10 /2 = 32/2 ⇒ x = 16

Si y = 4 ⇒ x = 42-5(4) /2 = 42-20 /2 = 22/2 ⇒ x = 11

Si y = 6 ⇒ x = 42-5(6) /2 = 42-30 /2 = 12/2 ⇒ x = 6

Si y = 8 ⇒ x = 42-5(8) /2 = 42-40 /2 = 2/2 ⇒ x = 1

Solución: Los modos que se pueden tener son:

1 billete de $2  y  8 billetes de $5,

6 billete de $2  y  6 billetes de $5,

11 billete de $2  y  4 billetes de $5,

16 billete de $2  y  2 billetes de $5.

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2) ¿De cuántos modos se pueden pagar $45 en monedas de $5 y de $10?

Datos:

Monedas de 5: x  ;  monedas de $10: y  ;  Total a pagar $45

5x + 10y = 45  ⇒  x = 45-10y / 5

Si y = 1 ⇒  x = 45-10(1) /5 = 45-10 /5 = 35/5  ⇒ x = 7

Si y = 2 ⇒  x = 45-10(2) /5 = 45-20 /5 = 25/5  ⇒ x = 5

Si y = 3⇒  x = 45-10(3) /5 = 45-30 /5 = 15/5  ⇒ x = 3

Si y = 4 ⇒  x = 45-10(4) /5 = 45-40 /5 = 5/5  ⇒ x = 1.

Solución: Se puede pagar de los modos siguientes:

1 moneda de $5   y  4 monedas de $10,

3 monedas de $5   y  3 monedas de $10,

5 moneda de $5   y  2 monedas de $10,

7 moneda de $5   y  1 monedas de $10.

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3) Hallar dos números tales que si uno se multiplica por 5 y el otro por 3, la suma de sus productos sea 62.

Datos:

1° número por 5: 5x  ;  2° número por 3: 3y  ;  Suma de productos 62.

5x + 3y = 62  ⇒  x = 62-3y / 5

Si y = 4 ⇒  x = 62-3(4) /5 = 62-12 /5 = 50/5  ⇒ x = 10

Si y = 9 ⇒  x = 62-3(9) /5 = 62-27 /5 = 35/5  ⇒ x = 7

Si y = 14 ⇒  x = 62-3(14) /5 = 62-42 /5 = 20/5  ⇒ x = 4

Si y = 19 ⇒  x = 62-3(19) /5 = 62-57 /5 = 5/5  ⇒ x = 1

Solución: los números son:

1 y 19  ;  4 y 14  ;  7 y 9  ;  10 y 4.

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4) Un hombre pagó 340 bs por sombreros a 8 bs cada uno y pares de zapatos a 15 bs cada uno.  ¿Cuántos sombreros y cuántos pares de zapatos compró?

Datos:

Sombreros a 8bs c/u: 8x  ;  pares de zapatos a 15bs c/u: 15y  ;  Pago total 3340 bs.

8x + 15y = 340  ⇒  x = 340-15y /8

Si y = 4   ⇒  x = 340-15(4) / 8 = 340-60 /8 = 280/8  ⇒ x = 35

Si y = 12   ⇒  x = 340-15(12) / 8 = 340-180 /8 = 160/8  ⇒ x = 20

Si y = 20   ⇒  x = 340-15(20) / 8 = 340-300 /8 = 40/8  ⇒ x = 5

Solución:  El hombre compró:

5 sombreros y 20 pares de zapatos,

20 sombreros y 12 pares de zapatos,

35 sombreros y 4 pares de zapatos.

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5) Un hombre pagó $42 por tela de lana a $1.50 el metro y de seda a $2.50 el metro. ¿Cuántos metros de lana y cuántos de seda compró?

Datos:

Tela de lana: x a $1.50: 1.5x   ;  tela de seda: y a $2.50: 2.5y  ;  Pago total $42.

1.5x + 2.5y = 42  ⇒  x = 42-2.5y / 1.5

Si y = 3   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 23

Si y = 6   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 18

Si y = 9   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 13

Si y = 12   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 8

Si y = 15   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 3

Solución: El hombre pudo comprar la tela así:

3 m de lana  y  15 m de seda,

8 m de lana  y  12 m de seda,

13 m de lana  y  19 m de seda,

18 m de lana  y  6 m de seda,

23 m de lana  y  3 m de seda.

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6) En una excursión cada niño pagaba 45 cts. y cada adulto $1.  Si el gasto total fue de $17, ¿cuántos adultos y cuantos niños iban?

Datos:

Niño: x,  pago por cada uno $0.45: 0.45x

Adulto: y,  pago por cada uno $1: 1y  ;  

Total pagado $17

0.45x + y = 17  ⇒  x = 17-y /0.45

Si y = 8  ⇒  x = 17-(8) /0.45 = 9/0.45  ⇒ x = 20

Solución: Pueden ir a la excursión:

20 niños y 8 adultos.

(Solo existe este modo que el valor de "x" y "y" sean enteros y positivos ≠0) 

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