Problemas sobre ecuaciones fraccionarias. Ejercicio 149.

 Ejemplo:

A tenía cierta suma de dinero.  Gastó $30 en libros y los 3/4 de lo que le quedaba después del gasto anterior en ropa. Si le quedan $30. ¿ cuánto tenía al principio? 

Datos:

Libros: x-30   ;   Ropa 3/4(x-30)   ;   le quedan $30.

x-30 -3/4(x-30) = 30

x-30 -3x/4 + 90/4 = 30,  Si el m.c.d. es 4 ->

4(x-30) -3x +90 =4(30)

4x-120-3x+90 = 120

4x-3x = 120+120-90

x = 150

Por tanto, A tenía al principio $150.

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Ejercicio 149.

Resuelve los problemas siguientes:

1) Tenía cierta suma de dinero.  Gasté $20 y presté los 2/3 de lo que me quedaba.  Si ahora tengo $10.  

¿ cuánto tenía al principio?

Datos:

Gaste:  x-20   ;    presté 2/3(x-20)   ;   ahora tengo $10

x-20 -2/3(x-20) = 10

x-20 -2x/3 +40/3 = 10,  Si el m.c.d. es 3 ->

3(x-20) -2x +40 = 3(10)

3x-60-2x+40 = 30

3x-2x = 30+60-40

x = 50

Tenía al principio $50.  

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 2) Después de gastar la mitad de lo que tenía y de prestar la mitad de lo que me quedó, tengo 21 quetzales. ¿ Cuánto tenía al principio?

Datos: 

Gasté x/2   ;   Presté  1/2(x/2)  ;  tengo Q21.  

x/2 - 1/2(x/2) = 21

x/2 - x/4 = 21 -> Si el m.c.d. es 4 ->

2x - x = 4(21)

x = 84

Tenía al principio Q84.

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3) Tengo cierta suma de dinero.  Si me pagan $7 que me deben, puedo gastar los 4/5 de mi nuevo capital y me quedaran $20.  ¿ Cuánto tengo ahora?

Datos:

x+7  ;  -4/5(x+7)  ;  me quedaran $20

x+7 -4/5(x+7) = 20

x+7 - 4x/5 - 28/5 = 20 -> Si el m.c.d. es 5 

5x +5(7) -4x -28 = 5(20)

5x +35 -4x -28 = 100

x = 100 +28 -35

x = 93

 Ahora tengo $93

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4) Gasté los 2/5 de lo que tenía y presté 5/6 de lo que me quedó.  Si aún tengo 500 bolívares, ¿ cuánto tenía al principio?

Datos:

x-2x/5  ;   -5/6(x-2x/5)   ;   500 bs tengo

x -2x/5 -5x/6 +x/3 = 500  Si el m.c.d. es 30 ->

30(x) -6(2x) -5(5x) +10(x) = 30(500)

30x -12x -25x +10x = 15000

40x-37x = 15000

3x = 15000

x = 15000/3 = 5000 

Tenía al principio 5000 bs.

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5) Los 4/5 de las aves de una granja son palomas; los 3/4 del resto gallinas y las 4 aves restantes gallos.  ¿ Cuántas aves hay en la granja?

Datos:

Aves: x   ;   Palomas:  4x/5   ;   gallinas 3/4(x -4x/5)  ;  gallos 4

x -4x/5 - 3/4(x -4x/5) -4 = 0 

x -4x/5 -3x/4 +3x/5 -4 = 0,  Si el m.c.d. es 20 ->

20x -4(4x) -5(3x) +4(3) -80 = 0

20x -16x -15x +12x -80 = 0

32x -31x = 80

x = 80

En la granja hay 80 aves.

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6)  Gasté 4/5 de lo que tenía; perdí 2/3 de lo que me quedó; se me perdieron 8 soles y me quedé sin nada. ¿ Cuánto tenía al principio?

Datos:

x-4x/5  ;  2/3(x-2x/5) -8  ;  tengo 0 Soles. ->

x -4x/5 -2/3(x-4x/5) -8 = 0

x -4x/5 -2x/3 + 8x/15 -8 = 0, Si el m.c.d. es 15 ->

15(x) -3(4x) -5(2x) +8x -15(8) = 0

15x -12x -10x +8x -120 = 0

23x-22x-120 = 0

x = 120.

Tenía al principio 120 soles.

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Problemas sobre ecuaciones fraccionarias. Ejercicio 148.

Ejemplo: 

En tres días un hombre ganó 185 Sucres.  Si cada día ganó los 3/4 de lo que ganó el día anterior, ¿ cuánto ganó en cada uno de los tres días?

Datos: 

x: lo que ganó el primer día.

3x/4: lo que ganó el segundo día.

3/4(3x/4): lo que ganó el tercer día.

→ x+3x/4+3/4(3x/4) = 185

x+3x/4+9x/16 = 185

Eliminando denominadores, el m.c.d. = 16:

16(x)+4(3x)+1(9x) = 16(185)

16x + 12x + 9x = 2960

37x = 2960

x = 2960/37

x = 80 → 

3x/4 = 3(80)/4 = 60

9x/16 =9(80)/16 = 45

Solución:  80, 60 y 45 sucres.

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Ejercicio 148.

Resolver los siguientes problemas:

1) En tres días un hombre ganó $175.  Si cada día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior, ¿ cuánto ganó cada día?

Datos:

x: 1er. día  ;   x/2: 2º día  ;  (x/2)/2= x/4 →

x + x/2 + x/4 = 175

4(x) + 2(x) +x = 4(175)

4x +2x +x = 700

7x = 700

x = 700/7 = 100 →

El primer día ganó x = $100.

El segundo día ganó x/2 =100/2 = $50.

El tercer día ganó x/4 = 100/4 = $25.

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2) El jueves perdí los 3/5 de lo que perdí el miércoles y el viernes los 5/6 de lo que perdí el jueves.  Si en los tres días perdí $252. ¿ cuánto perdí cada día?

Datos: 

x:  miércoles  ;  jueves: 3x/5  ;  viernes:  5/6(3x/5) ;  en los 3 días $252.

x + 3x/5 + 5/6(3x/5) = 252

x +3x/5 + x/2 = 252

m.c.d. = 10 →

10(x) + 2(3x) + 5(x) = 10(252)

10x +6x + 5x = 2520

21x = 2520

x = 2520/21 = 120 →

Miércoles perdí $120

Jueves perdí 3(120)/5 = $72.

Viernes perdí 120/2 = $60.

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3) B tiene 2/3 de lo que tiene A y C 3/5 de lo que tiene B.  Si entre los tres tienen 248 sucres, ¿ cuánto tiene cada uno?

Datos:

A: x   ;   B: 2x/3  ;  C: 3/5(2x/3)  ;  los tres tienen 248 sucres →

x + 2x/3 + 3/5(2x/3) = 248

x + 2x/3 + 2x/5 = 248

el m.c.d. = 15 →

15(x) + 5(2x + 3(2x) = 15(248)

15x + 10x + 6x = 3720

31x = 3720

x = 3720/31 = 120 →

A tiene 120 sucres

B tiene 2(120)/3 = 80 sucres

C tiene 2(120)/5 = 48 sucres.

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 4) La edad de B es los 3/5 de la de A y la de C los 3/8 de la de B.  Si las tres edades suman 73 años, hallar las edades respectivas.

Datos:

A: x  ;  B: 3x/5  ;  3/8(3x/5) = 9x/40  ; las tres edades = 73 →

x + 3x/5 + 3/8(3x/5) = 73

x + 3x/5 + 9x/40 = 73

m.c.d. = 40 →

40(x) + 8(3x) + 9x = 40(73)

40x + 24x +9x = 2920

73x = 2920

x = 2920/73 = 40 →

A tiene 40 años

B tiene 3(40)/5 = 24 años

C tiene 9(40)/40 = 9 años.

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5) En 4 días un hombre recorrió 120 Km. Si cada día recorrió 1/3 de lo que recorrió el día anterior, ¿ cuántos Km recorrió en cada día?

Datos:

1º día: x  ;  2º día:  x/3  ;  1/3(x/3)= x/9  ;  1/3(x/9)= x/27  ;   total 4 días 120 Km →

x + x/3 + x/9 + x/27 = 120

m.c.d. de 3, 9 y 27 es 27 →

27(x) + 9(x) + 3(x) + x = 27(120)

27x +9x +3x +x = 3240

40x = 3240

x = 3240/40 = 81 →

1º día : x = 81 Km

2º día : x/3 = 81/3 = 27 Km

3º día : x/9 = 81/9 = 9 Km

4º día : x/27 = 81/27 = 3 Km.

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6) En cuatro semanas un avión recorrió 4641 Km.  Si cada semana recorrió los 11/10 de lo que recorrió la semana anterior, ¿ cuántos Km recorrió en cada semana?

Datos:

1ª S: x  ;  2ª S: 11x/10  ;  3ª S: 11/10(11x/10)= 121x/100  ;  

4ª S: 11/10(121x/100) = 1331x/1000  ;   en cuatro semanas 4641 Km →

x + 11x/10 + 121x/100 + 1331x/1000 = 4641

El m.c.d. de 10, 100 y 1000 es 1000 →

1000(x) + 100(11x) + 10(121x) + 1331 = 1000(4641)

1000x + 1100x + 1210x + 1331x = 4641000

4641x = 4641000

x = 4641000/4641 = 1000 →

1ª semana recorrió x = 1000 Km

2ª semana recorrió 11(1000)/10 = 11000/10 = 1100 Km

3ª semana recorrió 121(1000)/100 = 1210 Km

4ª semana recorrió 1331(1000)/1000 = 1331 Km

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Problemas sobre ecuaciones fraccionarias. Ejercicio 147.

Ejemplo. 

La suma de dos números es 77, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 8.  Hallar los números.

Datos:  x = mayor  ,   77-x = menor.

Al dividir el mayor entre el menor, el cociente es 2 más el residuo 8; pero si al dividendo x le restamos el residuo, entonces la división es exacta para el cociente 2,  x-8 / 77-x = 2, y de esta manera podemos encontrar el valor de la variable x. 

->

x-8 / 77-x = 2

x-8 = 2(77-x)

x-8 = 154-2x

2x+x= 154+8

3x = 162

x = 162/3 = 54

x = 54  

77-x = 77-54 = 23 

Por lo tanto los números buscados son 54 y 23.

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Ejercicio 147.

Resolver:

1) La suma de dos números es 59, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 5.  Hallar los números.

Datos:  x ; mayor  ,   59-x =menor.   , cociente = 2  ,  residuo = 5

x-5 / 59-x = 2

x-5 = 2(59-x) 

x-5 = 118 -2x

x+2x = 118+5

3x = 123

x = 123/3 = 41

-> 59-x = 59-41 = 18

Solución: los números son 41 y 18.

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2) La suma de dos números es 436, y si el mayor divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 73.  Hallar los números.

Datos: x = mayor  ,  436-x = menor  ,  cociente =2  , residuo = 73  ->

x-73 / 436-x = 2

x-73 = 2(436-x)  

x-72 / 872 -2x

x +2x = 872+73

3x = 945

x = 945/3 = 315 

-> 436-x = 436-315 = 121

Solución: los números buscados son 315 y 121

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3) La diferencia de dos números es 44, y si el mayor divide por el menor, el cociente es 3 y el residuo 2.  Hallar los números.

Datos:  x: mayor  , x-44 : menor  ,  cociente = 3  ,  residuo = 2 ->

x-2 / x-44 = 3

x-2 = 3(x-44)

x-2 = 3x -132

x-3x = -132+2

-2x = -130

x = -130/-2 = 65

x-44 = 65-44 = 21

Solución: los números buscados son 65 y 21.

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4)  Un número excede a otro en 56. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 3 y el residuo 8.  Hallar los números.

Datos:  x: menor  ,  x+56: mayor  ,  cociente 3  ,  residuo 8.  ->

x+56-8 /x = 3

x +48  =3x

x -3x = -48

-2x = -48

x= -48/-2 = 24

x+46 = 24+56 = 80

Solución : los números son 24 y 80.

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5) Dividir 260 en dos partes tales que el duplo de la mayor dividido entre el triplo de la menor dé 2 de cociente y 40 de residuo.

Datos:  x: mayor  ,  260-x: menor  ,  cociente = 2  ,  residuo = 40.

y si el duplo de la mayor = 2x  y  el triplo de la menor = 3(260-x) ->

2x-40 / 3(260-x) = 2

2x-40 / 780 -3x = 2

2x-40 = 2(780-3x)

2x-40 = 1560 -6x

2x +6x = 1560+40 

8x = 1600

x = 1600/8 = 200

260-x = 260-200 = 60

Solución: los números son 200 y 60

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Problemas sobre ecuaciones fraccionarias. Ejercicio 146.

Ejemplo: 

Hallar tres números consecutivos tales que la suma de los 2/13 del mayor con los 2/3 del intermedio equivalga al número menor disminuido en 8.

Datos:

x =     Número menor.

x+1 = Número intermedio.

x+2 = Número mayor.

2/13(x+2) : 2/13 del número mayor.

2/3(2+1)  :  2/3 del número intermedio.

x-8 :  El menor disminuido en 8.

Entonces:

2/13(x+2) + 2/3(x+1) = x-8

m.c.m. de 13 y 3 es 39- ->

(3)2(x+2) + (13)2(x+1) = 39(x-8)

6(x+2) + 26(x+1) =  39x-312

6x+12+26x+26 = 39x-312

6x+26x-39x = -312-12-26

-7x = -350

x = 50 ->   

x+1 = 51 

x+2 = 52

Solución :  50, 51 y 52

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Ejercicio 146.

1) Hallar dos números consecutivos tales que los 4/5 del mayor equivalgan al menor disminuido en 4.

Datos:  Mayor (x+1) , menor x. ->

4/5(x+1 = x -4

4(x+1) = 5(x-4)

4x +4 = 5x -20

4x -5x = -20 -4

-x = -24

x = 24 -> x+1 = 25

Solución: menor x = 24  y mayor x+1 = 25

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2)  Hallar dos números consecutivos tales que los 7/8 del menor excedan en 17 a los 3/5 del mayor.

Datos: Menor x , mayor x+1 ->

7/8 x -17 = 3/5(x+1)

m.c.m. de 8 y 5 es 40. ->

5(7x) -40(17) = (8)(3x+3)

35x -680 = 24x+24

35x-24x = 24+680

11x = 704

x = 64 -> x+1 = 64+1=65

Solución: los números son 64 y 65.

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3) Hallar dos números consecutivos tales que el menor exceda en 81 a la diferencia entre los 3/4 del menor y los 2/5 del mayor.

Datos:  menor x  , mayor x+1 ->

x-81 = 3/4 x - 2/5 (x+1)

el m.c.m. de 4 y 5 es 20 ->

20x-20(81) = 5(3x) - 4(2)(x+1)

20x -1620 = 15x - 8x -8

20x -15x +8x = -8 +1620

13x = 1612

x = 1612/13

x = 124

-> x+1 = 125

Solución: 124 y 125

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4) Se tienen dos números consecutivos tales que la suma de 1/5 del mayor con 1/33 del menor excede en 8 a los 3/20 del mayor.  Hallar los números.

Datos: menor x  , mayor x+1

1/5(x+1) + 1/33 x -8 = 3/20 (x+1)

m.c.m de 5, 33, 20 es 660 ->

132(x+1) + 20x - 660(8) = 33(3)(x+1)

132x +132 +20x -5280 = 99x +99

132x +20x -99x = 99-132+5280

53x = 5247

x = 5247/53

x = 99 ->

x+1 = 100

Solución:  99 y 100.

_________________________________

5) La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 324. Hallar los números.

Datos:  menor x  ,  mayor x+2 -> sus cuadrados x²  y (x+2)² ->

(x+2)² - x² = 324

x² +4x+4 -x² = 324

4x = 324 -4

x= 320/4

x = 80 ->

x+2 = 82.

Solución:  80 y 82.

_________________________________

6) A tiene $1 más que B. Si B gastara $8, tendría  4$ menos que los 4/5 de lo que tiene A.  ¿Cuánto tiene cada uno?

Datos : A= x+1 , B = x ->

x-8 = 4/5 (x+1) -4

5(x) -5(8) = 4(x+1) -5(4)

5x -40 = 4x +4 -20

5x-4x = 40 +4 -20

x = 24  ->

x+1 = 25

Solución:  B = $24 y A = $25

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7) Hoy gané $1 más que ayer, y lo que he ganado en los dos días es $25 más que los 2/5 de lo que gané ayer. ¿Cuánto gane hoy y cuánto ayer?

Datos:  ayer : x  ,  hoy : x+1  ->

x + x+1 = 2/5 x +25 

5x +5x +5 = 2x + 5(25)

5x+5x -2x = 125 -5

8x = 120

x = 120/8

x = 15 -> x+1 = 16

Solución ayer $15.  , hoy $16.

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8) Hallar tres números consecutivos tales que si el menor se divide entre 20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41 la suma de los cocientes es 9.

Datos:  menor x  ,  del medio x+1  ,  mayor x+2  ->

x/20 + x+1 /27 + x+2 /41 = 9

el m.c.m. de 20, 27 y 41 es 22140 ->

1107x +820(x+1) + 540(x+2) = 9(22140)

1107x +820x +820 +540x +1080 = 199260

1107x +820x +540x = 199260 -820 -1080

2467x = 197360

x = 197360/2467

x = 80 ->

x+1= 81

x+2 = 82

Solución: 80, 81 y 82

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Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado.

 Ejemplo:

a) La suma de la tercera y la cuarta parte de un número equivale al duplo del número disminuido en 17. Hallar el número.

Datos:

x = al número

x/3= la tercera parte del número

x/4= la cuarta parte del número.

2x:= duplo del número.

Entonces: x/3 + x/4 = 2x-17

m.c.m. de 3 y 4 es 12.

(12/3)x + 12/4x = 12/1(2x)-12/1(-17)

4x+3x = 24x-12(-17)

4x+3x-24x = -204

-17x = -204

 x =-204/-17 = 12

Solución: el número buscado es 12.

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Ejercicio 145.

1) Hallar el número que disminuido en sus 3/8 equivale a su duplo disminuido en 11.

x -3x/8 = 2x-11

m.c.m.  es 8. ->

8x-3x = 8(2x) -8(11)

8x -3x = 16x -88

8x-3x-16x = -88

x = -88/-11 = 8 Solución.

_________________________________

2) Hallar el número que aumentado en sus 5/6 equivale a su triplo disminuido en 14.

x -5x/6 = 3x -14

m.c.m. es 6. ->

6(x)-5x = 6(3x)-6(14)

6x-5x = 18x-84

6x-5x-18x = -84

-17x = -84

x = -84/-17 = 12  Solución.

_________________________________

3) ¿Qué número hay que restar de 22 para que la diferencia equivalga a la mitad de 22 aumentada en los 6/5 del número que se resta?

22-x = (22/2) +6x/5

22 -x = 11 +6x/5

m.c.m. es 5

5(22) -5(x) = 5(11) +6x

110 -5x = 55+6x

-5x-6x = 55-110

-11x = -55

x = -55/-11 = 5  Solución.

_________________________________

4) ¿Cuál es el número que tiene 30 de diferencia entre sus 5/4 y sus 7/8?

5x/4 - 7x/8 = 30

m.c.m. es 8 ->

2(5x) - 7x = 8(30)

10x-7x = 240

3x = 240

x = 240/3 = 80  Solución.

__________________________________

5) El exceso de un número sobre 17 eq2uivale a la diferencia entre los 3/5 y 1/6 del número.  Hallar el número.

x-17 = 3x/5 -x/6

m.c.m. es 30. ->

30x-30(17) = 6(3x) - 5(x)

30x-510 = 18x-5x

30x+5x-18x = 510

17x = 510

x = 510/17 = 30  Solución.

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6) La suma de la quinta parte de un número con los 3/8 del número excede en 49 al doble de la diferencia entre 1/6 y 1/12 del número.  Hallar el número.

 x/5+3x/8-49 = 2(x/6-x/12)

x/5+3x/8 -49 = 2x/6-2x/12

x/5+3x/8 -49= x/3-x/6

m.c.m.es 120. ->

24(x)+15(3x)-120(49) = 40(x)-20(x)

24x+45x-40x+20x = 5880

49x = 5880

x = 5880/49 = 120  Solución.

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7) La edad de B es los 3/5 de la de A, y si ambas edades se suman, la suma excede en 4 años al doble de la edad de B.  Hallar ambas edades.

A=x , B=3x/5

x +3x/5 -4 = 2(3x/5)

x +3x/5 -4 = 6x/5

m.c.m. es 5 ->

5x +3x -5(4) = 6x

5x+3x-6x = 20

2x = 20

x = 2/20 = 10 años

Si A = x = 10 años

Si B = 3(10)/5 = 30/5 = 6 años 

Solución: A: 10 años y B: 6 años.

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8) B tiene los 7/8 de lo que tiene A.  Si A recibe $90, entonces tiene el doble de lo que tiene B ahora.  ¿Cuánto tiene cada uno?

A=x  y  B=7x/8

x +90 = 2(7x/8)

x+90 = 14x/8

x+90 = 7x/4

m.c.m. es 4. ->

4x +4(90) = 7x

4x-7x = -360

-3x = -360

x = -360/-3 = 120

A = x = $120.

B = 7x/8 = 7(120)/8 = $105.

Solución: A tiene $120 y B tiene $105.

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9) Después de vender los 3/5 de una pieza de tela quedan 40m. ¿Cuál era la longitud de la pieza?

x -3x/5 = 40

m.c.m. es 5 ->

5x -3x = 5(40)

2x = 200

x = 200/2 = 100 m.  Solución.

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10) Después de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tenía me quedan 39 bolívares. ¿Cuánto tenía?

x -x/3 -x/8 = 39

m.c.m. es 24. ->

24x -8(x) -3(x) = 24(39)

24x -8x -3x = 936

13x = 936

x = 936/13 = 72 Bolívares.   Solución.

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