Gráfica de Ecuaciones de Segundo Grado con una sola incógnita.

Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita en x, se representan con una parábola, cuyo eje es paralelo al eje de las ordenadas.

Las abscisas de los puntos en que la curva corta al eje de las x son las raíces de la ecuación. 

Procedimiento para graficar una ecuación de segundo grado con una incógnita en x.

1) Describir la ecuación en x, en función de "y"

2) Dar valores a "x" para encontrar un valor de la función f(x).

3) Encontrar los puntos en que las abscisas cortan el eje de las "x" en puntos distintos.

4) Graficar los puntos necesarios para obtener la representación de la gráfica, que debe ser una Parábola.

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Ejemplo:

Representar y graficar la ecuación x²-5x+4 = 0

El primer miembro de esta ecuación (x²-5x+4) es una función de segundo grado de "x", f(x). Y si hacemos la función igual a "y", se escribe así : y = x²-5x+4

> Dando valores a "x" para encontrar "y" y por ende los puntos de la gráfica:

Si x = 0  ⇒   y = (0)² -5(0) +4 = 0 -0 +4 = 4    ⇒ (0, 4)

Si x = 1  ⇒   y = (1)² -5(1) +4 = 1 -5 +4 = 0    ⇒ (1 ,0)

Si x = 2  ⇒   y = (2)² -5(2) +4 = 4 -10 +4 =-2  ⇒ (2,-2)

Si x = 3  ⇒   y = (3)² -5(3) +4 = 9 -15 +4 = -2 ⇒ (3,-2) 

Si x = 4  ⇒   y = (4)² -5(4) +4 = 16 -20 +4 = 0 ⇒ (4 ,0)

La gráfica sería:

Solución:  Las raíces son 1 y 4.

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Ejercicio 274.

Resolver gráficamente las ecuaciones:

11) x² -4x +3 = 0

La función de la ecuación:  y = x² -4x +3

> Dando valores a "x" para encontrar los puntos (x,y):

Si x = 0  ⇒  (0)² -4(0) +3 = 0 -0 +3 = 3     ⇒ (0, 3)

Si x = 1  ⇒  (1)² -4(1) +3 = 1 -4 +3 = 0     ⇒ (1, 0)

Si x = 2  ⇒  (2)² -4(2) +3 = 4 -8 +3 = 3     ⇒ (2, -1)

Si x = 3  ⇒  (3)² -4(3) +3 = 9 -12 +3 = 0   ⇒ (3, 0)

Si x = 4  ⇒  (4)² -4(4) +3 = 16 -16 +3 = 3 ⇒ (4, 3)

La gráfica sería:

Solución:  Las raíces son 1 y 3

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12)  x² -6x +8 = 0

La función de la ecuación:  y = x² -6x +8

> Dando valores a "x" para encontrar los puntos (x,y):

Si x = 0  ⇒  (0)² -6(0) +8 = 0 -0 +8 = 8     ⇒ (0, 8)

Si x = 1  ⇒  (1)² -6(1) +8 = 1 -6 +8 = 3     ⇒ (1, 3)

Si x = 2  ⇒  (2)² -6(2) +8 = 4 -12 +8 = 0   ⇒ (2, 0)

Si x = 3  ⇒  (3)² -6(3) +8 = 9 -18 +8 = -1   ⇒ (3, -1)

Si x = 4  ⇒  (4)² -6(4) +8 = 16 -24 +8 = 0 ⇒ (4, 0)

La gráfica sería:

Solución: Las raíces son 2 y 4

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13) x² -2x -3 = 0

La función de la ecuación:  y = x² -2x -3

> Dando valores a "x" para encontrar los puntos (x,y):

Si x = -1 ⇒  (-1)² -2(-1) -3 = 1 +2 -3 = 0  ⇒ (-1, 0)

Si x = 0  ⇒  (0)² -2(0) -3 = 0 -0 -3 = -3     ⇒ (0, -3)

Si x = 1  ⇒  (1)² -2(1) -3 = 1 -2 -3 = -4     ⇒ (1, -4)

Si x = 2  ⇒  (2)² -2(2) -3 = 4 -4 -3 = -3     ⇒ (2, -3)

Si x = 3  ⇒  (3)² -2(3) -3 = 9 -6 -3 = 0      ⇒ (3, 0)

Si x = 4  ⇒  (4)² -2(4) -3 = 16 -8 -3 = 5    ⇒ (4, 5)

La gráfica sería:

Solución:  Las raíces son -1 y 3.

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14)  x² +4x +3 = 0

La función de la ecuación:  y = x² +4x +3

> Dando valores a "x" para encontrar los puntos (x,y):

Si x = -3 ⇒  (-3)² +4(-3) +3 = 9 -12 +3 = 0  ⇒ (-3, 0)

Si x = -2 ⇒  (-2)² +4(-2) +3 = 4 -8 +3 = -1    ⇒ (-2, -1)

Si x = -1 ⇒  (-1)² +4(-1) +3 = 1 -4 +3 = 0    ⇒ (-1, 0)

Si x = 0  ⇒  (0)² +4(0) +3 = 0 +0 +3 = 3      ⇒ (0, -3)

La gráfica sería:

Solución: Las raíces son -3 y -1

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15) x² = 6 -x

x² +x -6 = 0  (Ordenado)

La función de la ecuación:  y = x² +x -6

> Dando valores a "x" para encontrar los puntos (x,y):

Si x = -3 ⇒  (-3)² +(-3) -6 = 9 -3 -6 = 0    ⇒ (-3, 0)

Si x = -2 ⇒  (-2)² +(-2) -6 = 4 -2 -6 = -4  ⇒ (-2, -4)

Si x = -1 ⇒  (-1)² +(-1) -6 = 1 -1 -6 = -6  ⇒ (-1, -6)

Si x = 0  ⇒  (0)² +(0) -6 = 0 +0 -6 = -6    ⇒ (0, -6)

Si x = 1  ⇒  (1)² +(1) -6 = 1 +1 -6 = -4    ⇒ (1, -4)

Si x = 2  ⇒  (2)² +(2) -6 = 4 +2 -6 =0      ⇒ (2, 0)

La gráfica sería: 

Solución:  Las raíces son -3 y 2

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Problemas de Progresiones Aritméticas.

Fórmulas:

u = a+(n-1)r    Enésimo término
a = u-(n-1)r     Primer término
r = u-1 /n-1      Razón
n = u-a+r /r     Número de términos
S = (a+u)n /2   Suma de los términos
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Procedimiento:
1) Determinar el elemento principal del problema; regularmente es lo que se pide encontrar.
2) Plantear las variables del problema.
3) Aplicar la o las fórmulas que corresponda.
4) Sustituir las variables que corresponda en la determinada fórmula.
5) Operar y simplificar para llegar a la solución.
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Ejercicio 290.

Realizar lo que se pide:

1) Hallar la suma de los 20 primeros múltiplos de 7.

Elemento principal del problema: Suma de los primeros 20 múltiplos de 7.

En este problema el primer término de la progresión es 7, y el siguiente término es 14, que es el segundo múltiplo de 7, y así sucesivamente; por lo que la razón sería  r = 14-7 = 7.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 7  ,  n = 20  ,  r = 7 ,   u = ?  ,  S = ?

Se pide la Suma, pero en la fórmula de ésta se necesita el enésimo término, por lo que primero se encuentra este término.

Aplicando la fórmula del enésimo término:

u = a+(n-1)r
u = 7+(20-1)7
u = 7+(19)7
u = 7+133
u = 140

Aplicando la fórmula para la Suma de términos:

S = (a+u)n /2
S = (7+140)20 /2
S = (147)20 /2
S = 2940/2
S = 1470   Solución.
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3) Hallar la suma de los 43 primeros números terminados en 9.

Elemento principal del problema:  suma de los 43 números que terminen en 9.

Si el primer término es 9, el segundo será 19, por lo tanto la razón es  r =19-9 = 10

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 9  ,  n = 43  ,  r = 10  ,  u = ?  ,  S = ?

Aplicando la fórmula del enésimo término:
u = 9+(43-1)10
u = 9+(42)10
u = 9 + 420
u = 429

Aplicando la fórmula de la Suma:
S = (9+429)43 /2
S = 438(43) / 2
S = 18834/2
S = 9417   Solución.
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6) Compré 50 libros.  Por el primero pagué 8 cts. y por cada uno de los demás 3 cts. más que por el anterior.  Hallar el importe de la compra.

Elemento principal: Importe de la compra.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 8  ,  n = 50  ,  r = 3  ,  u = ?  ,  S = ?

Aplicando la fórmula del enésimo término:
u = 8+(50-1)3
u = 8+(49)3
u = 8 +147
u = 155

Aplicando la fórmula de la Suma:
S = (8+155)50 /2
S = (163)50 /2
S = 8150/2
S = 4075 cts.
S = $40.75    Solución.
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13) Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5. la 1ª semana, $8. la 2ª semana, $11. la 3ª semana y así sucesivamente.  Hallar el importe de la deuda.

Elemento principal del problema:  Importe de la deuda.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 5  ,  n = 32  ,  r = 8-5 = 3  ,  u = ?  ,  S = ?

Aplicando la fórmula del enésimo término:
u = 5+(32-1)3
u = 5+(31) 3
u = 5 +93
u = 98

Aplicando la fórmula de la Suma:
S = (5+98)32 /2
S = (103)32 /2
S = 3296/2
S = $1648.   Solución.
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16) ¿Cuál es el 6º término de una progresión aritmética de 11 términos si su 1er. término es -2 y el último es -52?

Elemento principal del problema; Encontrar el enésimo término (6º).

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = -2  ,  u = -52  ,  n = 11  ,  r = ?  ,  6º término = ?

Aplicando la fórmula de la Razón:
r = u-a /n-1
r = -52 -(-2) /11-1
r = -52+2 / 10
r = -50/10
r = -5

Aplicando la fórmula del Enésimo término (6º):
u = -2+(6-1)-5
u = -2 +(5)-5
u = -2 +(-25)
u = -27   Solución.
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17) En el primer año de negocios un hombre ganó $500 y en el último ganó $1900.  Si en cada año ganó $200 más que en el año anterior, ¿cuántos años tuvo el negocio?

Elemento principal del problema: cuántos años duró el negocio.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 500  ,  u = 1900  ,  r = 200  ,  n = ?

Aplicando la fórmula para el Número de años:
n = 1900 - 500 +200 /200
n = 1600/200
n = 8 años.   Solución.
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19) Las pérdidas de 5 años de una casa de comercio están en progresión aritmética.  El último año perdió 3000 Soles, y la pérdida de cada año fue de 300 Soles menos que en el año anterior. ¿Cuánto perdió el primer año?

Elemento principal del problema: cuánto perdió el primer año.

Variables para aplicar a las fórmulas:
u = 3000  ,  n = 5  ,  r = -300  ,  a = ?

a = u-(n-1)r
a = 3000 -(5-1)-300
a = 3000 -(4)-300
a = 3000 - (-1200)
a = 3000 +1200
a = 4200   Solución.
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Ecuaciones completas de 2º grado sin denominadores. Fórmula General. 2ª Parte.

.       25(x+2)² = (x-7)² -81

En esta parte hay que llevar las ecuaciones a la forma ax² ± bx ±c = 0 para resolverlas por la Fórmula General, (como se vio en los problemas del Ejercicio 265).
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Procedimiento:

1) Efectuar las operaciones de factorización necesarias.
2) Trasponer y reducir términos hasta llegar a la forma ax² ± bx ±c = 0.
3) Aplicar la Fórmula General, para encontrar la solución.
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Ejemplo:

Resolver (x+4)² = 2x(5x-1) -7(x-2)

> Efectuando operaciones:
x² +8x +16 = 10x²-2x -7x +14

> Transponiendo y reduciendo términos:
x² -10x² +8x +2x +7x +16 -14 = 0
-9x² +17x +2 = 0
9x² -17x -2 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = -(-17) ± √17² -4(9)(-2) / 2(9)
x = 17 ±√289 +72 / 18
x = 17 ±√361 / 18
x = 17±19 / 18
-->
x₁ = 17+19 / 18 = 36/18 = 2
x₂ = 17-19 / 18 = -2/18 = -1/9

Solución: x₁ = 2  ,  x₂ = -1/9
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Ejercicio 266.
Resolver las ecuaciones siguientes aplicando la fórmula general:

3) 9x+1 = 3(x²-5) -(x-3)(x+2)

9x+1 = 3x² -15 -(x² -x -6)
9x+1 = 3x² -15 -x² +x +6

-3x² +x² +9x -x +1 +15 -6 = 0
-2x² +8x +10 = 0
2x² -8x -10 = 0

x = -(-8) ±√-8² -4(2)(-10) / 2(2)
x = 8 ±√64 +80 / 4
x = 8 ±√144 / 4
x = 8 ± 12 /4
-->
x₁ = 8+12 / 4 = 20/4 = 5
x₂ = 8-12 / 4 = -4 /4 = -1

Solución : x₁ = 5  ,  x₂ = -1
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6) 3x(x-2) -(x-6) = 23(x-3)

3x² -6x -x +6 = 23x -69

3x² -6x -x -23x +6 +69
3x² -30x +75 = 0

x = -(-30) ±√-30² -4(3)(75) / 2(3)
x = 30 ±√900 -900 / 6
x = 30 ±√0 / 6
x= 30 ±0 /6
-->
x₁ = 30+0 /6 = 30/6 = 5
x₂ = 30 -0 /6 = 30/6 = 5

Solución :  x = 5
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8) (x-5)² -(x-6)² = (2x-3)² -118

x² -10x +25 -(x² -12x +36) = 4x² -12x +9 -118
x² -10x +25 -x² +12x -36 = 4x² -12x +9 -118

x² -x² -4x² -10x +12x +12x +25 -36 -9 +118 = 0
-4x² +14x +98 = 0
4x² -14x -98 = 0

x = -(-14) ±√-14² - 4(4)(-98) / 2(4)
x = 14 ±√196 + 1568 / 8
x = 14 ±√1764 / 8
x = 14 ± 42 / 8
-->
x₁ = 14+42 /8 = 56/8 = 7
x₂ = 14-42 /8 = -28/8 = -3¹/₂

Solución:  x₁ = 7  ,   x₂ = -3¹/₂
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Reducción de radicales semejantes.

.     9 ³√2 - 4 ³√2 + 2 ³√2

Radicales semejantes son aquellos de igual grado (índice) que tienen la misma cantidad subradical.

Procedimiento:
1) Se suman algebraicamente los coeficientes de los radicales.
2) El total se pone como coeficiente de la parte radical común.
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Ejemplos:

a) 3√2 + 5√2 
= (3+5)√2            <-- Sumando los coeficientes.
= 8√2   Solución.

b) 9√3 - 11√3  =  (9-11)√3  =  -2√3

c) 4√2 - 7√2 + √2  =  (4-7+1)√2  =  -2√2

d) 2/3 √7 - 3/4 √7  =  (2/3 -3/4)√7  =  -1/12 √7

e) 7 ³√2 -1/2 ³√2 + 3/4 ³√2  =  (7-1/2+3/4) ³√2  =  29/4 ³√2

f) 3a√5 - b√5 +(2b-3a)√5  =  (3a -b +2b -3a)√5  =  b√5
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Ejercicio 237.

4) √2 - 9√2 + 30√2 - 40√2

= (1-9+30-40)√2
= -18√2   Solución.
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6) 3/5√3 -√3

= (3/5-1)√3
= -2/5√3   Solución.
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8) 1/4 √3 + 5√3 - 1/8 √3

= (1/4 +5 -1/8)√3
= 41/8 √3    Solución.
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9) a√b - 3a√b + 7a√b

= (1a -3a +7a)√b
= 5a√b   Solución.
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10) 3x√y + (a-x)√y - 2x√y

= (3x +a -x -2x)√y
= a√y   Solución.
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11) (x-1)√3 + (x-3)√3 + 4√3

= (x -1 +x -3 +4)√3
= 2x√3   Solución.
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14) x ³√a² - (a-2x) ³√a² + (2a-3x) ³√a²

= (x -a +2x +2a -3x) ³√a²
= a ³√a²   Solución.
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Simplificación de radicales. Cantidad subradical fracción.

5√9n/5m³ = 3/m² √5mn

Caso I.  Simplificar radicales cuando la cantidad subradical es una fracción y el denominador es irracional.

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Procedimiento:

1) Se multiplica ambos términos de la fracción por una misma cantidad con el fin de que el denominador tenga raíz exacta.

2) Se sacan del denominador y del numerador aquellas términos cuyo exponente sea igual al índice de la raíz o sea divisible entre el índice de la raíz.

3) Se simplifica lo que está fuera y lo que está dentro del signo radical, hasta llegar a la solución. 

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Ejemplo a)  Simplificar 

Multiplicar el numerador y el denominador por una misma cantidad para que el resultado en el denominador tenga raíz exacta.



Sacamos el denominador de la cantidad subradical, y al hacer esto al denominador se le debe colocar como numerador el 1.

   <-- Esta es la Solución.


Ejemplo b)  Simplificar:  

Factorizando la cantidad subradical:



Multiplicando ambos miembros de la cantidad subradical por 2x, para poder sacar el denominador de la raíz:



Simplificando la cantidad subradical:

     <-- Solución.
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Ejercicio 232

Simplificar:



Multiplicando los términos de la fracción por 5, para que el denominador tenga raíz exacta:



Sacando el denominador de la cantidad subradical y trasladándolo al lado izquierdo del signo radical:

   <-- Solución.
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   <--  Solución.
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   <--   Solución.
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  <--  Solución.

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   <--Solución.
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   <-- Solución.
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