Valor numérico de expresiones compuestas. Ejercicio 12.

 Ejemplo a)  Hallar el valor numérico de a²-5ab+3b³, cuando a = 3 y b = 4.

= (3)² -5(3)(4) +3(4)³

= 9 -60 +3(64)

= 9 -60 +192

= 141   Solución.

_______________________________________

Ejemplo b)  Valor numérico de 3a²/4 - 5ab/x + b/ax, cuando a=2,  b=1/3 y x =1/6

= 3(2)² / 4 - 5(2)(1/3) / (1/6) + (1/3) / (2)(1/6)

= 12/4 - 10/3 /1/6 + 1/3 / 1/3

= 3 - 20 + 1

= -16   Solución.

________________________________________

Ejercicio 12.

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes, 

cuando a=3,  b=4,   c=1/3,   d=1/2,   m=6,   n=1/4

1)  a²-2ab+b²

= (a-b)²

= (3 -4)²

= -1²

= 1   Solución.

________________________________________

2) c² +2cd +d²

= (c+d)²

= (1/3 +1/2)²

= (5/6)²

= 25/36   Solución.

_________________________________________

3) a/c + b/d

= 3/ 1/3 + 4/ 1/2

= 9 +8

= 17   Solución.

_________________________________________

4) c/d - m/n +2

= (1/3)/(1/2) - 6/(1/4) +2

= 2/3 - 24 +2

= 2/3 -22

= 64/3 = 21¹/₃   Solución.

_________________________________________

5)  a²/3 - b²/2+ m²/6

= (3)²/3 - (4)²/2+ (6)²/6

= 9/3 -16/2 + 36/6

= 3-8+6

= 1.   Solución.

________________________________________

6) 3/5c -1/2b +2d

= 3/5(1/3) -1/2(4) +2(1/2)

= 1/5 -2 +1

= -4/5   Solución.

________________________________________

7) ab/n + ac/d -bd/m

= (3)(4)/(1/4) + (3)(1/3)/(1/2) - (4)(1/2)/(6)

= 12/(1/4) + 1/(1/2) - 2/6

= 48 + 2 -1/3

= 50 -1/3

= 149/3 = 49 ²/₃   Solución.

________________________________________

8) √b + √n + √6m

= √(4) + √(1/4) + √(6)(6)

= 2 + 1/2 + √36

= 2 + 1/2 + 6

= 8 +1/2 = 8¹/₂   Solución.

________________________________________

9) c√3a - d√16b² + n√8d 

= (1/3)√(3)(3) - (1/2)√(16)(4)² + (1/4)√(8)(1/2)

=  (1/3)√9 - (1/2)√256 + (1/4)√4

= (1/3)(3) - (1/2)(16) + (1/4)(2)

= 1 - 8 + 1/2

= -7 +1/2 = -6¹/₂  Solución.

________________________________________

10)  m^a / d^b

m^a / d^b  = 6³ /(1/2)⁴ 

= 216 / (1/16)

= 3456   Solución.

________________________________________

11) 3c²/4 + 4n²/m

= (3)(1/3)²/4 + (4)(1/4)²/(6)

= (3)(1/9)/4 + (4)(1/16)/(6)

= (1/3)/4 + (1/4)/(6)

= 1/12 + 1/24

= 3/24 = 1/8   Solución.

_______________________________________

12) 4d²/2 + 16n²/2 -1

= (4)(1/2)²/2 + (16)(1/4)²/2 -1

= (4)(1/4)/2 + (16)(1/16)/2 -1

= 1/2 + 1/2 -1

=1 -1 = 0   Solución.

________________________________________

13) a+b/c - b+m/d

= (3)+(4)/(1/3) - (4)+(6)/(1/2)

= 7/(1/3) - 10/(1/2)

= 21 - 20 

= 1.   Solución.

________________________________________

14) b-a /n + m-b /d + 5a

= (4)-(3) /(1/4) + (6)-(4) /(1/2) + (5)(3)

= 1 /(1/4) + 2 /(1/2) + 15

= 4 +4 +15

= 23  Solución.

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15) 12c-a /2b - 16n-a /m + 1/d

= (12)(1/3)-(3) /(2)(4) - (16)(1/4)-(3) /(6) + 1/(1/2)

= 4-3 /8 - 4-3 /6 + 2

= 1/8 -1/6 +2

= 47/24 = 1²³/₂₄   Solución.

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16) √4b + √3a /3 - √6m /6

= √(4)(4) + √(3)(3) /3 - √(6)(6) /6

= √16 + √9 /3 - √36 /6

= 4 + 3/3 - 6/6

= 4+1-1

= 4   Solución.

_________________________________________

17) √b+√2d /2 - √3c+√8d  /4

= √(4)+√(2)(1/2) /2 - √(3)(1/3)+√(8)(1/2) /4

= 2+√1 /2 - √1+√4 /4

= 2+1 /2 - 1+2 /4

= 3/2 - 3/4

= 3/4   Solución.

________________________________________

18)  2√a²b² /3 + 3√2+d² /4 - a√n

= 2√(3)²(4)² /3 + 3√2+(1/2)² /4 - (3)√(1/4)

= 2√(9)(16) /3 + 3√2+(1/4) /4 - (3)(1/2)

= 2√144 /3 + 3√9/4 /4 - 3/2

= 2(12)/3 + 3(3/2) /4 - 3/2

= 24/3 + (9/2)/4 - 3/2

= 8 + 9/8 - 3/2

= 61/8 = 7⁵/₈   Solución.

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Valor numérico de expresiones simples.

Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado obtenido al sustituir las letras o variables por valores numéricos dados, luego de efectuadas las operaciones indicadas.

Valor numérico de expresiones simples. 

Ejercicio 11.

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones; cuando  

a = 1,   b = 2,   c = 3,   m = 1/2,   n = 1/3,   p = 1/4

1) 3ab.

Sustituyendo y operando:

3(1)(2) = 6   Solución.

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2) 5a²b³c

Sustituyendo y operando:

= 5(1²)(2³)(3)

=5(1)(8)(3)

= 120.   Solución.

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3)  b²mn

= (2²)(1/2)(1/3)

= (4)(1/6)

= 2/3   Solución.

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4) 24m²n³p

= 24(1/2)²(1/3)³(1/4)

= 24(1/4)(1/27)(1/4)

= 24(1/16)(1/27)

= 24(1/432)

= 1/18   Solución.

___________________________________

5) 2/3a⁴b²m³

= 2/3(1)⁴(2)²(1/2)³

= 2/3(1)(4)(1/8)

= (8/3)(1/8)

= 1/3   Solución.

___________________________________

6) 7/12(c)³(p)²(m)

= (7/12)(3)³(1/4)²(1/2)                                                                                    

= (7/12)(27)(1/16)(1/2)  

= 27(7/384)

= 63/128  Solución.

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7) m^bn^cp^a

= (1/2)²(1/3)³(1/4)¹

= (1/4)(1/27)(1/4)

= 1/432   Solución.

___________________________________

8) 5/6a^b-1m^c-2

= 5/6(1)²⁻¹(1/2)³⁻²

= 5/6(1)¹(1/2)¹

= (5/6)(1)(1/2)

= 5/12   Solución.

___________________________________

9)  √2bc²

= √2(2)(3)²

= √(2)(2)(9)

= √36

= 6  Solución.

___________________________________

10) 4m∛12bc²

= 4(1/2)∛(12)(2)(3)²

= 2∛(12)(2)(9)

= 2∛216

= (2)(6)

= 12  Solución.

___________________________________

11) mn√8a⁴b³

= (1/2)(1/3)√(8)(1)⁴(2)³

= (1/6)√(8)(1)(8)

= (1/6)√64

= (1/6)(8)

= 4/3   Solución.

___________________________________

12) 4a / 3bc

= 4(1) / (3)(2)(3)

= 4/18

= 2/9    Solución.

___________________________________

13) 5b²m² /np

= (5)(2)²(1/2)² /(1/3)(1/4)

= (5)(4)(1/4) /(1/3)(1/4)

= 5/ 1/12

= 60   Solución.

___________________________________

14)   3/4b³ / 2/3c²

= (3/4)(2)³ / (2/3)(3)²

= (3/4)(8) / (2/3)(9)

= 6/6

= 1.   Solución.

___________________________________

15)  2m / √n²

= (2)(1/2) / √(1/3)²

= 1 / √1/9

= 1/ 1/3

= 3  Solución.

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16) 24mn / 2√n²p²

= (24)(1/2)(1/3) / 2√(1/3)²(1/4)²

= (24)(1/6) / 2√(1/9)(1/16)

= 4 / 2√1/144

= 4/ (2)(1/12)

= 4/ 1/6

= 24   Solución.

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17) 3∛64b³c⁶ / 2m

= 3∛(64)(2)³(3)⁶ / (2)(1/2)

= 3∛(64)(8)(729) / 1

=  3∛373248 / 1

= 3(72)/1

= 216   Solución.

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18) 3/5√apb² / (3/2)∛125bm

= 3/5√(1)(1/4)(2)² / (3/2)∛(125)(2)(1/2)

= 3/5√(1)(1/4)(4) / (3/2)∛(125)(2)(1/2)

= 3/5√1 / (3/2)∛125

= (3/5)(1) / (3/2)(5)

= 3/5 / 15/2

= 2/25   Solución.

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Ecuaciones de grado superior al 2°, resueltas por fórmula general y/o factorización.

Son las ecuaciones que constan de tres términos: en donde el primer término es el doble en su exponente que el segundo, y el tercer término es independiente.   

, en donde a y b son los coeficientes del primer y tercer término respectivamente; c es el término independiente; n es el exponente al que está elevado la variable x, y 2n indica el doble del primer término con el siguiente. 

Las ecuaciones trinomias en las que el primer término es x⁴, y el segundo x² se llaman ecuaciones bicuadráticas.

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Ejemplo a)  Resuelve x⁶-19x³ -216 = 0

Utilizando la fórmula de la ecuación de 2° grado:

Descomponiendo el término cuadrático  x⁶ en (x³)², entonces:

Por lo tanto ( ∴ ),

Extraemos la raíz cúbica, para encontrar el valor de x:

x³ = 27  ∴ x = ∛27 ⇒  x = 3

x³ = -8  ∴ x = ∛-8 ⇒  x = -2

Igualando a cero los resultados de:

x³ = 27 ⇒  x³ -27 = 0

x³ = -8 ⇒  x³ +8 = 0

La expresión queda así:

(x³ -27)(x³ +8) = 0

Descomponiendo los factores x³ -27:

x³ -27 = (x-3)(x²+3x+9)

Igualando a cero los nuevos factores:

Si x-3 = 0 ⇒ x = 3

Si x² +3x +9= 0

 

 

∴ 

 

raíces imaginarias. 

Descomponiendo los factores x³ +8:

x³ +8 = (x+2)(x²-2x+4)

Igualando a cero los nuevos factores:

Si x+2 = 0 ⇒ x = -2

∴

  raíces imaginarias.

Entonces las raíces de x⁶-19x³ -216 = 0 son

x=3 , x=-2 ,  x= -3/2+3√3i /2  ,  x= -3/2-3√3i /2  ,  x=  1+√3i  ,  1-√3i 

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Ejemplo b)  Resolver  

Factorizando el trinomio:

Igualando a cero el primer factor:

Raíces imaginarias.

Igualando a cero el segundo factor:

Raíces reales.

Las raíces de   son:

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Ejercicio 184  

Resolver las ecuaciones:  

Utilizando la fórmula general:

Por lo tanto:

Igualando a cero:

 

Factorizando 

1°.  

    raíz

 

Por lo tanto:

  raíces

2°.  

   raíz.

Por lo tanto:

    raíces.

Las raíces de    son:

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Por fórmula general:

    Por lo tanto:

Igualando a cero y factorizando los resultados de x⁴:

1°.  Si  x⁴ = 25 ⇒ x⁴ -25 = 0 ⇒ (x²-5) (x²+5) = 0 

Entonces:

Si  x²-5 = 0 ⇒ x² = 5 ⇒ x =  ±√5   Raíces.

Si  x²+5 = 0 ⇒ x² = -5 ⇒ x =  ±√-5 ⇒  x =  ±√5i   Raíces.

2°.  Si x⁴ = 16 ⇒ x⁴ -16 = 0 ⇒ (x² -4) (x² +4) = 0

Entonces:

Si x² -4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±√4 ⇒ x = ±2   Raíces. 

Si x² +4 = 0 ⇒ x² = -4 ⇒ x = ±√-4 ⇒ x = ±√4i  ⇒ x = ±2i   Raíces.

Las raíces de   son:

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Despejando por la fórmula de 2° grado

Factorizando:

Si x⁵ =32 ⇒ x = √32 ⇒ x = 2  Raíz

Si x⁵ = 1 ⇒ x = √1 ⇒ x = 1  Raíz

Solución:  Las raíces de la ecuación original son:  x = 2  y x = 1.

 ____________________________________

Por lo tanto:

Factorizando el trinomio:

Por lo tanto;

Descomponiendo los factores:

   raíces.

   raíces.

Solución: Las raíces de la ecuación original son:

_________________________________________

Factorizando

Igualando a cero los factores:

     Raíz.

    Raíz.

Solución:  Las raíces de la ecuación son:  x = 1/3  y  x = -1.

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Factorizando:

(x-9)(x-4) = 0 

⇒

x -9 = 0  ⇒  x = 9 

x -4 = 0  ⇒ x = 4

Solución:  {x = 9  ,  x = 4}

Nota: 9 es una solución falsa  y 4 es verdadera.

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Factorizando por Fórmula de 2° grado:

Por lo tanto

⇒

Solución:  {x = 16  ,  x = 1/16}

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