Miscelánea de ecuaciones enteras de primer grado.

En estos casos efectuar las operaciones indicadas, tomando en cuenta la prioridad de resolver primero lo que está entre signos de agrupación, luego las operaciones necesarias, transponer términos cuando sea necesario y por último la reducción de términos semejantes para encontrar el valor de la incógnita.

 

Ejercicio 81.

Resolver las siguientes ecuaciones:

 

1)  14x-(3x-2)-[5x+2-(x+1)]= 0

14x-3x+2-[5x+2-x-1] = 0

14x-3x+2-5x-2+x+1 = 0

 7x+1 = 0

x = - 1/7  Solución.

___________________________________

 

2) (3x-7)²-5(2x+1)(x-2) = -x2-[-(3x+1)]

9x²-42x+49-5(2x²-4x+x-2) = -x²-(-3x-1)

9x²-42x+49-10x²+20x-5x+10 = -x²+3x+1

9x²-10x²+x²-42x+20x-5x-3x+49+10-1 =0

-30x+58 = 0

x = -58/-30  -> x = 29/15  Solución.

___________________________________

 

3) 6x-(2x+1) = -{-5x+[-(-2x-1)]}

6x-2x-1 = -{-5x+[2x+1]}

6x-2x-1 = -{-5x+2x+1}

6x-2x-1 = 5x-2x-1

6x-2x-5x+2x-1+1= 0

x = 0   Solución. 

__________________________________

 

4) 2x+3(-x²-1) = -{3x²+2(x-1)-3(x+2)}

2x-3x²-3 = -{3x²+2x-2-3x-6)}

2x-3x²-3 = -3x²-2x+2+3x+6

-3x²+3x²+2x+2x-3x-3-2-6 = 0

x-11 = 0  -> x = 11  Solución.

__________________________________

 

5) x²-{3x+[x(x+1)+4(x²-1)-4x²]}= 0

x²-{3x+[x²+x+4x²-4-4x²]} = 0

x²-{3x+x²+x+4x²-4-4x²} = 0

x²-3x-x²-x-4x²+4+4x² = 0

x²-x²-4x²+4x²-3x-x+4 = 0

-4x+4 = 0

x = -4/-4  -> x = 1  Solución.

__________________________________

 

 6) 3(2x+1)(-x+3)-(2x+5)² = -[-{-3(x+5)}+10x²] 

6x+3(-x+3)-(4x²+20x+25) = -[-{-3x-15}+10x²]

-6x²+18x-3x+9-4x²-20x-25 = -[3x+15+10x²]

-6x²-4x²+18x-3x-20x+9-25 = -3x-15-10x²

-10x²-5x-16 = -3x-15-10x²

-10x²+10x²-5x+3x-16+15 = 0

 -2x-1 = 0

x = 1/-2  -> x = - 1/2  Solución.

____________________________________

Miscelánea de Cocientes Notables. Ejercicio 73.

En estos ejercicios se pide escribir el resultado por simple inspección, es decir sin efectuar las divisiones ni simplificar.  Pero en algunos incisos mostraré algún desarrollo de cálculo, para efectos de su comprensión; pero en la práctica estos cálculos se hacen mentalmente.

Ejercicio 73.

Escribir el cociente sin realizar las divisiones:

  

______________________________________

 

______________________________________

______________________________________

 

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades. Ejercicio 72.

En estos casos los exponentes del divisor son mayores que 1; por lo que los exponentes de los términos del cociente disminuyen de dos en dos, de tres en tres, y así sucesivamente. En donde la primera letra disminuye de dos en dos, de tres en 3 y así sucesivamente; y la segunda letra de los términos del cociente, aumenta de dos en dos, tres en tres y sucesivamente; a partir del 2º término.

El número de términos que tendrá el cociente, se determina dividiendo el exponente del dividendo entre el exponente del divisor..

 

Número de términos = 10 ÷ 2 = 5

________________________________

Ejercicio 72.

Hallar, por simple inspección, las siguientes expresiones:

 

Nº términos = 6÷2 = 3

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

Miscelánea de Productos Notables.

Ejercicio 68.

1) (x+2)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= x²+2(x)(2)+2² = x²+4x+4 Solución.

_________________________________

2) (x+2)(x+3)

Producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b)

= x²+(2+3)x+(2)(3) = x²+5x+6  Solución.

__________________________________

3) (x+1)(x-1)

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

= (x)(x)-(1)(1) = x²-1  Solución.

__________________________________

4) (x-1)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= x²-2(x)(1)+1² = x²-2x+1  Solución.

___________________________________

5) (n+3)(n+5)

Producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b)

=  n²+(3+5)n+(3)(5) = x²+8n+15  Solución.

____________________________________

6) (m-3)(m+3)

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

= (m)(m) - (3)(3) = m² -9  Solución.

____________________________________

7) (a+b-1)((a+b+1)

Producto de la suma por la diferencia de dos cnatidades.

= {(a+b)-1}({(a+b)+1}= (a+b)(a+b)-(1)(1) 

=(a+b)²-1= a²+2ab+b²-1  Solución.

____________________________________

8) (1+b)³

Cubo de un binomio.  (a±b)³

= 1³+3(1²)(b)+3(1)(b²)+b³ = 1+3b+3b²+b³  Solución.

____________________________________

9) (a²+4)(a²+4)

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

= (a²)(a²) - (4)(4) = (a²)² -16 = a⁴ -16  Solución.

____________________________________

10) (3ab-5x^2)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= (3ab)²-2(3ab)(5x²)+(5x²)²

= 9a²b²-30abx²+25x⁴  Solución.

_____________________________________

11) (ab+3)(3-ab)

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

= (3+ab)(3-ab) = (3)(3) - (ab)(ab)

= 3² - (ab)² = 9 - a²b²   Solución.

_____________________________________

12) (1-4ax)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= 1²-2(1)(4ax)+(4ax)²

=  1-8ax+16a²x²  Solución.

_____________________________________

13) (a²+8)(a²-7)

Producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b)

=  (a²)(a²)+(8-7)a+(8)(-7)

= (a²)²+(1a²)+(-56) = a⁴+a²-56  Solución.

_____________________________________

16) (m-8)(m+12)

Producto de dos números de la forma (x±a)(x±b)

= (m)(m)+(-8+12)m+(-8)(12)

= m²+(4m)-96 = m²+4m-96 Solución.

_____________________________________

19) (5x³+6m⁴)²

Cuadrado de la suma de dos cantidades.

= (5x³)²+2(5x³)(6m⁴)+(6m⁴)²

= 25x⁶+60x³m⁴+36m⁸  Solución.

Respuesta del libro, en otro orden, es

=  25x⁶+60m⁴x³+36m⁸ Solución.

_____________________________________

25)  (2a+x)³

Cubo de un binomio. 

= (2a)³+3(2a)²(x)+3(2a)(x)²+(x)³

= 8a³+12a²x+6ax²+x³  Solución.

_________________________________

 27) (2a³-5b⁴)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= (2a³)²-2(2a³)(5b⁴)+(5b⁴)²

= 4a⁶-20a³b⁴+25b⁸  Solución.

__________________________________

31)  (11-ab)²

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

= (11)²-2(11)(ab)+(ab)²

= 121-22ab+a²b²  Solución.

__________________________________

División de polinomios por el método de coeficientes separados.

La división de polinomios por coeficientes separados puede usarse para los siguientes casos:

Caso 1) Cuando la división contenga una sola y misma letra y estén ordenados en relación a dicha letra.

Ejemplo:

Dividir 8x⁶-16x⁵+6x⁴+24x²+18x-36 entre 4x³+3x-6 por coeficientes separados:

> Escribiendo solo los coeficientes son sus respectivos signos del polinomio divisor y del polinomios dividendo; agregando cero donde falte un término según su orden:

.                  2 -4 + 0 +6 .
4 +0 +3 -6 | 8 -16 + 6 +  0 +24 +18 -36
.                  -8 + 0 - 6 +12.              

.                      -16 +0 +12 +24

.                       16 +0 +12 - 24 

.                                  +24 + 0 +18 - 36

.                                   -24 + 0 - 18 +36

.                                               0

Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendremos, sin sus coeficientes, el primer término del cociente encontrado y para el segundo término disminuye su exponente en tres unidades, porque así es la secuencia de los polinomios, y así sucesivamente.

-> x⁶ ÷ x³ = x³
∴ 2 -4 + 0 +6 = 2x³ -4x² +0x +6 = Solución.

Caso 2) Cuando la división contenga las mismas dos letras y los polinomios estén ordenados en relación a una de las letras.

Ejemplo:
Dividir a⁵-7a⁴b+21a³b²-37a²b³+38ab⁴-24b⁵ entre a²-3ab+4b²

.             1 -4 +5 -6 .
1 -3 +4  | 1 -7 +21 -37 +38 -24
.             -1 +3 - 4
.                  -4 +17 -37
.                   4 -12 +16
.                         5 - 21 +38
.                        -5 +15 -20
.                             -  6 +18 -24
.                                6 -18 +24
.                                       0

Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendremos, sin sus coeficientes, el primer término del cociente encontrado; y para el segundo término disminuye el exponente de la 1ª letra "a" en una unidad y el exponente de la 2ª letra "b" aumenta en igual manera y así sucesivamente.

->a⁵ ÷ a²= a³

∴ 1 -4 +5 -6 = a³-4a²b+5ab²-6b³ Solución. 

NOTA: Tomar en cuenta que el exponente de la primera letra aumenta unidades según la secuencia que tienen los polinomios, o sea, en una unidad, en dos unidades, en tres unidades, o en más; de igual manera la segunda letra del término del cociente.

___________________________________

Ejercicio 58.

Dividir por coeficientes separados:

3)  a⁶+a⁵b-7a⁴b²+12a³b³-13a²b⁴+7ab⁵-b⁶ entre a²-2ab+b²

.             1+3-2+5-1                  .

1 -2 +1 | 1 +1 -7 +12 -13 +7 -1

.            -1 +2 -1

.                   3 -8 +12

.                  -3+6 -  3

.                      -2 + 9 -13

.                        2 - 4 + 2

.                              5 -11 +7

.                            -5 +10 -5

.                                 -  1 +2 -1

.                                     1 -2 +1

.                                        0

-> a⁶ ÷ a² = a⁴

 

∴ 1+3-2+5-1 = a⁴+3a³b-2a²b²+5ab³-b⁴  Solución.

__________________________________

5) x⁸-2x⁶-50x⁴+58x²-15 entre x⁴+6x²-5

.             1 -8 +3               .

1 +6 -5 | 1 - 2 -50 +58 -15

.             -1 -6 + 5

.                  -8 -45 +58

.                   8 +48 -40

.                          3 +18 -15

.                         -3 -18 +15

.                                 0

-> x⁸ ÷ x⁴ = x⁴

∴ 1 -8 +3 = x⁴ -8x² +3  Solución.

___________________________________

7) 3x¹⁵-20x¹²-70x⁶+51x⁹+46x³-20 entre 3x⁶-8x³+10

=  3x¹⁵-20x¹²+51x⁹-70x⁶+46x³-20 ÷ 3x⁶-8x³+10 (ordenado el dividendo)

.

.            1-4+3-2                  .

3-8+10 | 3-20+51-70+46-20

.            -3+ 8- 10

.               -12+41-70

.                 12-32+40

.                         9-30+46

.                       -9+24-30

.                           -  6+16-20

.                               6-16+20

.                                    0

-> 3x¹⁵ ÷ 3x⁶ = x⁹

 

∴ 1-4+3-2 = x⁹-4x⁶+3x³-2  Solución.

___________________________________

9) 2x⁷-6x⁶y-8x⁵y²-20x⁴y³-24x³y⁴-18x²y⁵-4y⁷ entre 2x²+4y²

 

.             1-3-6 -4+0-1                  .              

 2+ 0+4 | 2- 6- 8-20-24-18+0-4

.             -2- 0- 4

.                 -6-12-20 

.                  6+ 0+12

.                     -12- 8-24

.                      12+0+24

.                          - 8+  0 -18

.                             8+ 0 +16

.                                      -  2+ 0- 4

.                                         2+ 0 +4

.                                              0

-> x⁷ ÷ x² = x⁵

 

∴ 1-3-6-4+0-1 = x⁵-3x⁴y-6x³y²-4x²y³-y⁵ Solución.

_________________________________

 

 11) n¹º-6n⁸+5n⁷+13n⁶-23n⁵-8n⁴+44n³-12n²-32n+16 entre n⁶-3n⁴+5n³-8n+4

       

.                          1+0-3+0+4                                               .

1+0-3+5+0-8+4 | 1+0- 6+5+13-23 - 8+44-12 -32+16

.                           -1-0+3- 5 -  0+ 8 - 4

.                                   -3  0+13- 15-12+44-12

.                                    3+0 -  9+15+ 0 -24+12

.                                               4   0 -12+20   0  -32+16

.                                              -4   0 +12-20   0 +32 -16

.                                                                0

-> n¹º ÷ n⁶ = n⁴

 

 ∴ 1+0-3+0+4 = n⁴ -3n² +4  Solución.

________________________________

 

13) x¹⁶-4x¹⁴y²-10x¹²y⁴+21x¹ºy⁶+28x⁸y⁸-23x⁶y¹º+9x⁴y¹²+33x²y¹⁴-6y¹⁶

entre x⁶-4x⁴y²-5x²y⁴+y⁶

 

 .             1+0-5+0+3-6                          .

 1-4-5+1 | 1- 4-10+21+28-23+  9+33 - 6

 .              -1+4+ 5 - 1

.                       - 5+20+28

.                         5 -20 -25+ 5 

.                                   + 3-18+  9+33

.                                    - 3+12+15 - 3

.                                           -6+24+30 - 6

.                                             6-24 -30 +6

.                                                       0

-> x¹⁶ ÷ x⁶ = x¹º

 

 ∴ 1+0-5+0+3-6 = x¹º-5x⁶y⁴+3x²y⁸-6¹º  Solución.

_________________________________

15) 7a²ˣ⁺⁵-35a²ˣ⁺⁴+6a²ˣ⁺³-78²ˣ⁺²-5a²ˣ⁺¹-42a²ˣ-7a²ˣ⁻¹

entre aˣ+6aˣ⁺¹+7aˣ⁺³.

 

= 7a²ˣ⁺⁵-35a²ˣ⁺⁴+6a²ˣ⁺³-78²ˣ⁺²-5a²ˣ⁺¹-42a²ˣ-7a²ˣ⁻¹

÷ 7aˣ⁺³+6aˣ⁺¹+aˣ. (ordenado el divisor)

 

.               1-5+0-7                    .

7+0+6+1 | 7-35+ 6 -78- 5-42-7

.               -7 - 0 - 6 -  1

.                   -35+ 0-79

.                    35+ 0+30+5

.                              -49- 0-42

.                               49+0+42+7

.                                      0 

-> a²ˣ⁺⁵ ÷  aˣ⁺³ = aˣ⁺²

∴ 1-5+0-7 = aˣ⁺²-5aˣ⁺¹+0aˣ-7aˣ⁻¹ = aˣ⁺²-5aˣ⁺¹-7aˣ⁻¹  Solución.

________________________________

17) 6a⁵ˣ⁺³-23a⁵ˣ⁺²+12a⁵ˣ⁺¹-34a⁵ˣ+22a⁵ˣ⁻¹-15a⁵ˣ⁻²

entre  a²ˣ⁺²-a²ˣ-3a²ˣ⁺¹-5a²ˣ⁻¹

 

= -15a⁵ˣ⁻²+22a⁵ˣ⁻¹-34a⁵ˣ+12a⁵ˣ⁺¹-23a⁵ˣ⁺²+6a⁵ˣ⁺³

entre  -5a²ˣ⁻¹-a²ˣ-3a²ˣ⁺¹+a²ˣ⁺² (ordenados los polinomios)

 

 .              3 -5 +6                        .

-5-1-3+1 | -15+22-34+12-23+6

.                  15+ 3+ 9 -  3

.                        25-25+ 9 -23

.                       -25 - 5-15+ 5

.                            -30 - 6 -18+ 6

.                              30+ 6+18 - 6

.                                        0

-> -a⁵ˣ⁻² ÷ -a²ˣ⁻¹ = a³ˣ⁻¹

∴ 3 -5 +6 = 3a³ˣ⁻¹-5a³ˣ+6a³ˣ⁺¹  Solución.

________________________________