Resta de polinomios y valor numérico del resultado.

Ejercicio 26.

Efectuar las siguientes restas y hallar el valor numérico del resultado.

Siendo  a = 1  ,  b = 2  ,  c = 3  ,  x = 4  ,  y = 5  ,  m = ³/₂  ,  n = ²/₅

2)  De  a³ +b³ restar -5a²b +6ab² -2b³

a³                     + b³

.   +5a²b -6ab² +2b³

a³ +5a²b -6ab² +3b³   Solución.

Valor numérico:

= (1)³ +5(1)²(2) -6(1)(2)² +3(2)³ = 1 +10 -24 +24 = 11

______________________________________

5) De x⁴ -18x²y² +15y⁴  restar  -16x³y -6xy³ +9y⁴

x⁴             -18x²y²            +15y⁴

.   +16x³y              +6xy³ -   9y⁴

x⁴ +16x³y -18x²y² +6xy³  + 6y⁴   Solución.

VN:

= (4)⁴ +16(4)³(5) -18(4)²(5)² +6(4)(5)³  + 6(5)⁴

= 256 +5120 -7200 +3000 +3750 = 4926.

_______________________________________

8)  De  ²/₃ m²n +³/₄ mn² -¹/₂ n³  restar  -m³ -¹/₆ m²n -¹/₄ mn² -¹/₂ n³

.       ²/₃ m²n +³/₄ mn² -¹/₂ n³

m³ +¹/₆ m²n +¹/₄ mn² +¹/₂ n³

m³ +⁵/₆ m²n +    mn²   Solución.

VN:

= (³/₂)³ +⁵/₆ (³/₂)²(²/₅) +(³/₂)(²/₅)²

= ²⁷/₈ +³/₄ +⁶/₂₅ = ⁸⁷³/₂₀₀

________________________________________

10) Restar  15ab  de  -ab +10mn -8mx

-    ab +10mn -8mx

-15ab                      .

-16ab +10mn -8mx  Solución.

VN:

-16(1)(2) +10(³/₂)(²/₅) -8(³/₂)(4)

= -32 +6 -48 = -74

_________________________________________

12)  Restar ²/₃ x² +⁵/₆ x -³/₈   de  ¹/₆₄ x⁴

¹/₆₄ x⁴

.         -²/₃ x² -⁵/₆ x +³/₈

¹/₆₄ x⁴ -²/₃ x² -⁵/₆ x +³/₈   Solución.

VN:

¹/₆₄ (4)⁴ -²/₃ (4)² -⁵/₆ (4) +³/₈

= ¹/₆₄ (256) -²/₃ (16) -⁵/₆ (4) +³/₈

= 4 -³²/₃ -¹⁰/₃ +³/₈ = -⁷⁷/₈ = -9 ⁵/₈

_______________________________________

13) Restar ³/₄ x³ -³/₅ xy² -¹/₂₅ y³  de  x³ +³/₁₆ x²y -²/₅ xy²

.     x³ +³/₁₆ x²y -²/₅ xy²

-³/₄ x³               +³/₅ xy² +¹/₂₅ y³

 ¹/₄ x³ +³/₁₆ x²y +¹/₅ xy² +¹/₂₅ y³  Solución.

VN:

= ¹/₄ (4)³ +³/₁₆ (4)²(5) +¹/₅ (4)(5)² +¹/₂₅ (5)³

= ¹/₄ (64) +³/₁₆ (16)(5) +¹/₅ (4)(25) +¹/₂₅ (125)

= 16 +15 +20 +5 = 56 

________________________________________

14)  Restar aˣ⁻¹ -9 aˣ⁻³ +aˣ⁻²   de  ²/₅ aˣ⁻¹ +aˣ -⁵/₆ aˣ⁻³ +aˣ⁻²

aˣ +²/₅aˣ⁻¹ +aˣ⁻² - ⁵/₆aˣ⁻³    

.    -   aˣ⁻¹ - aˣ⁻² +   9aˣ⁻³ 

aˣ  -³/₅aˣ⁻¹          +⁴⁹/₆aˣ⁻³  Solución.

VN:

= (1)⁴  -³/₅(1)⁴⁻¹ +⁴⁹/₆(1)⁴⁻³

= 1 -³/₅  +⁴⁹/₆ = ²⁵⁷/₃₀ = 8 ¹⁷/₃₀

_________________________________________

Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios.

 Se utiliza el mismo procedimiento que para números enteros.

Ejercicio 25.

1) Restar  ⁵/₆ a²  de  ³/₈ a² -⁵/₆ a

³/₈ a² -⁵/₆ a -(⁵/₆ a²) = ³/₈ a² -⁵/₆ a -⁵/₆ a² = ³/₈ a² -⁵/₆ a² -⁵/₆ a 

= -¹¹/₂₄ a² -⁵/₆ a  Solución.

_______________________________________

2) Restar ¹/₂ a -³/₅ b  de  8a +6b -5

8a +6b -5 -(¹/₂ a -³/₅ b) = 8a +6b -5 -¹/₂ a +³/₅ b)

= (8a -¹/₂ a )+(6b +³/₅ b) -5 = ¹⁵/₂ a +³³/₅b -5  Solución.

_______________________________________

9) Restar x⁶ -⁷/₉x⁴y² +¹/₁₁x²y⁴-y⁶ +xy⁵  de  ⁷/₉x⁵y +²/₃x⁴y² -¹/₈x³y³ -x²y⁴ +xy⁵ +²/₁₃y⁶

> ordenando y cambiando el signo al sustraendo:

     +⁷/₉ x⁵y +  ²/₃ x⁴y² -¹/₈ x³y³ -       x²y⁴  +xy⁵ +²/₁₃ y⁶

-x⁶              +  ⁷/₉ x⁴y²               - ¹/₁₁ x²y⁴  -xy⁵  +     y⁶

-x⁶ +⁷/₉ x⁵y + ¹³/₉ x⁴y² -¹/₈ x³y³ - ¹²/₁₁ x²y⁴        +¹⁵/₁₃ y⁶   Solución.

________________________________________

10) Restar -¹/₆ x²y +³/₄ xy² -²/₃ x³ +6   de   ⁵/₈ xy² -⁷/₉ x²y +¹/₃ x³ -⁷/₁₁y³ -²/₅

¹/₃ x³  -⁷/₉ x²y +⁵/₈ xy² -⁷/₁₁ y³  - ²/₅

²/₃ x³  +¹/₆ x²y - ³/₄ xy²             - 6 

.   x³ -¹¹/₁₈ x²y - ¹/₈ xy² -⁷/₁₁ y³ -³²/₅   Solución.

________________________________________

11) Restar -²/₁₃ m⁶ +¹/₃ n⁶ -⁷/₂₀ m⁴n² +⁵/₁₄ m²n⁴ -³/₅  de  ³/₁₀ m⁴n² -³/₇ m²n⁴ +⁵/₉ n⁶

               ³/₁₀ m⁴n²  - ³/₇ m²n⁴  +⁵/₉ n⁶

²/₁₃ m⁶  + ⁷/₂₀ m⁴n² - ⁵/₁₄ m²n⁴ - ¹/₃ n⁶  +³/₅

²/₁₃ m⁶ +¹³/₂₀ m⁴n² -¹¹/₁₄ m²n⁴ +²/₉ n⁶  +³/₅  Solución.

________________________________________

12) Restar -⁵/₁₁ c⁴d +³/₁₃ d⁵ -⁵/₆ c³d² +³/₄ cd⁴  

de  ³/₈ c⁵ +¹/₂ c²d³ -¹/₃ d⁵ +⁷/₁₂ c³d² +⁷/₂₂ c⁴d -35

-----

 ³/₈ c⁵ +⁷/₂₂ c⁴d + ⁷/₁₂ c³d²  +¹/₂ c²d³              -¹/₃ d⁵  -35

.           ⁵/₁₁ c⁴d +  ⁵/₆ c³d²                -³/₄ cd⁴ - ³/₁₃ d⁵      .

³/₈ c⁵ +¹⁷/₂₂ c⁴d +¹⁷/₁₂ c³d² +¹/₂ c²d³ -³/₄ cd⁴ -²²/₃₉ d⁵  -35  Solución.

__________________________________________

Resta de polinomios. (Ejer.23)

 La multiplicación puede efectuarse en forma horizontal o bien en forma vertical.

En forma horizontal se copia primero el minuendo, después el signo de resta y luego el sustraendo entre paréntesis, cada término con su propio signo. A continuación se copia el minuendo y seguido cada término del sustraendo pero con el signo cambiado; se reducen los términos semejantes, se ordenan si es necesario y esa será la solución.

En forma vertical se copia primero el minuendo, y luego el sustraendo abajo del minuendo; pero colocando cada término del sustraendo con su semejante del minuendo.  Se efectúa la suma de cada término con su semejante y nos dará la solución.

Ejemplos:

a) De 1 restar x²+x+5

1

-5 -x -x²

-4 -x -x²  Solución.

b) Restar 9ab³-11a³b+8a²b²-b⁴  de  a⁴-1

a⁴                                        -1

.    11a³b -8a²b² -9ab³ +b⁴     

a⁴  11a³b -8a²b² -9ab³ +b⁴ -1  Solución.

En este caso los términos del minuendo no tienen semejante abajo en el sustraendo, al sumarlos solo se copian en el resultado. Y los términos del sustraendo no tienen semejante arriba en el minuendo, al sumarlos solo se copian en el resultado.

Es importante que antes de empezar a escribir el minuendo y el sustraendo, ordenarlos por su mayor exponente en relación a determinada letra. 

_______________________________________

Ejercicio 23.

1) De 1 restar a-1

1- (a-1) = 1 -a +1 = 2 -a  Solución.

______________________________

2) De 0 restar a-8

0 - (a-8) = 0 -a +8 = 8 -a  Solución.

______________________________

3) De -9 restar 3a+a²-5

-9 - (a²+3a-5) = -9 -a² -3a +5 = - -a² -3a-4  Solución.

______________________________

4) De 16 restar 5xy-x²+16

16- (-x²+5xy+16) = 16 +x² -5xy -16 = x² -5xy  Solución.

______________________________

5) De 1 restar a³-a²b+ab²

1 - (a³-a²b+ab²) = 1 -a³+a²b-ab² = -a³+a²b-ab²+1  Solución.

______________________________

6) De x³ restar -x³-8x²y-6xy²

x³ -( -x³-8x²y-6xy²) = x³ +x³+8x²y+6xy² = 2x³+8x²y+6xy²  Solución.

______________________________

13) Restar -5x²y+17xy²-5 de x³+y³

x³                      +y³

.   +5x²y -17xy²        +5 

x³ +5x²y -17xy² +y³ +5  Solución.

_______________________________

14) Restar 9x³y-15xy³-8x²y² de x⁴-1

x⁴                                  -1

.   -9x³y +8x²y² +15xy³     

x⁴ -9x³y +8x²y² +15xy³ -1   Solución.

________________________________

17) Restar 9y⁵+17y⁴-y³+18y²  de  y⁶+y-41

y⁶                                  +y -41

.   -9y⁵ -17y⁴ +y³ -18y²            .

y⁶ -9y⁵ -17y⁴ +y³ -18y² +y -41  Solución.

_________________________________

18) Restar -15a⁵b+17a³b³-14ab⁵-b⁶  de  a⁶+9a⁴b2+a2b⁴

a⁶             +9a⁴b²              +a²b⁴

.   +15a⁵b             -17a³b³         +14ab⁵ +b⁶ 

a⁶ +15a⁵b +9a⁴b² -17a³b³ +a²b⁴ +14ab⁵ +b⁶  Solución.

___________________________________

Resta de polinomios. (Ejer.22)

Procedimiento:

Se copian los términos del polinomio minuendo (ordenados), se escribe el signo menos y luego se copian entre paréntesis, los términos del polinomio sustraendo (ordenados).

Se escriben los términos del polinomio minuendo y luego se omite el signo menos, y se sacan los términos del sustraendo pero con el signo cambiado. 

Se reducen los términos semejantes para llegar al resultado final.

Los términos no semejantes solo se copian en el orden que les corresponda,, según la potencia a la que esté elevada la letra de orden.

_____________________________________

Ejercicio 22.

Restar:

10)  3a²+ab-6b²  de  -5b²+8ab+a² 

= -5b²+8ab+a² -(3a²+ab-6b²)

=  -5b²+8ab+a² -3a²-ab+6b²

= a²-3a²+8ab-ab-5b²+6b²

= -2a²+7ab+b²  Solución.

_____________________________________

18)  7a³b+5ab³-8a²b²+b⁴  de  5a⁴+9a³b-40ab³+6b⁴

= 5a⁴+9a³b-40ab³+6b⁴ -(7a³b+5ab³-8a²b²+b⁴)

= 5a⁴+9a³b-40ab³+6b⁴-7a³b-5ab³+8a²b²-b⁴

= 5a⁴+9a³b-7a³b+8a²b²-40ab³-5ab³+6b⁴-b⁴

= 5a⁴+2a³b+8a²b²-45ab³+5b⁴  Solución.

_____________________________________

20)  x⁵-x²y³+6xy⁴+25y⁵  de  -3xy⁴-8x³y²-19y⁵+18

= -8x³y²-3xy⁴-19y⁵+18 -(x⁵-x²y³+6xy⁴+25y⁵)

= -8x³y²-3xy⁴-19y⁵+18 -x⁵+x²y³-6xy⁴-25y⁵

= -x⁵-8x³y²+x²y³-3xy⁴-6xy⁴-19y⁵-25y⁵+18

= -x⁵-8x³y²+x²y³-9xy⁴-44y⁵+18  Solución.

______________________________________

22) 8a⁴b+a³b²-15a²b³-45ab⁴-8  de a⁵-26a³b²+8ab⁴-b⁵+6

= a⁵-26a³b²+8ab⁴-b⁵+6 - (8a⁴b+a³b²-15a²b³-45ab⁴-8)

= a⁵-26a³b²+8ab⁴-b⁵+6-8a⁴b-a³b²+15a²b³+45ab⁴+8

= a⁵-8a⁴b-26a³b²-a³b²+15a²b³+8ab⁴+45ab⁴-b⁵+6+8

= a⁵-8a⁴b-27a³b²+15a²b³+53ab⁴-b⁵+14  Solución.

_______________________________________

25) y⁷-60x⁴y³+90x³y⁴-50xy⁶-x²y⁵  de  x⁷-3x⁵y²+35x⁴y³-8x²y⁵+60

= x⁷-3x⁵y²+35x⁴y³-8x²y⁵+60 - (-60x⁴y³+90x³y⁴-x²y⁵-50xy⁶+y⁷)

= x⁷-3x⁵y²+35x⁴y³-8x²y⁵+60+60x⁴y³-90x³y⁴+x²y⁵+50xy⁶-y⁷

= x⁷-3x⁵y²+35x⁴y³+60x⁴y³-90x³y⁴-8x²y⁵+x²y⁵+50xy⁶-y⁷+60

= x⁷-3x⁵y²+95x⁴y³-90x³y⁴-7x²y⁵+50xy⁶-y⁷+60  Solución.

________________________________________

26) aˣ⁺²-5aˣ⁺¹-6aˣ  de  aˣ⁺³-8aˣ⁺¹-5

aˣ⁺³-8aˣ⁺¹-5 - (aˣ⁺²-5aˣ⁺¹-6aˣ)

= aˣ⁺³-8aˣ⁺¹-5-aˣ⁺²+5aˣ⁺¹+6aˣ

= aˣ⁺³-aˣ⁺²-8aˣ⁺¹+5aˣ⁺¹+6aˣ-5

= aˣ⁺³-aˣ⁺²-3aˣ⁺¹+6aˣ-5  Solución.

________________________________________

27) 8aⁿ⁻¹+5aⁿ⁻²+7aⁿ+aⁿ⁻³  de  -8aⁿ+16aⁿ⁻⁴+15aⁿ⁻²+aⁿ⁻³

= -8aⁿ+15aⁿ⁻²+aⁿ⁻³+16aⁿ⁻⁴ - (7aⁿ+8aⁿ⁻¹+5aⁿ⁻²+aⁿ⁻³)

= -8aⁿ+15aⁿ⁻²+aⁿ⁻³+16aⁿ⁻⁴-7aⁿ-8aⁿ⁻¹-5aⁿ⁻²-aⁿ⁻³

= -8aⁿ-7aⁿ-8aⁿ⁻¹+15aⁿ⁻²-5aⁿ⁻²+aⁿ⁻³-aⁿ⁻³+16aⁿ⁻⁴

= -15aⁿ-8aⁿ⁻¹+10aⁿ⁻²+16aⁿ⁻⁴  Solución.

________________________________________

28) 31xª⁺¹-9xª⁺²-xª⁺⁴-18xª⁻¹  de  15xª⁺³+5xª⁺²-6xª+41xª⁻¹

= 15xª⁺³+5xª⁺²-6xª+41xª⁻¹ - (-xª⁺⁴-9xª⁺²+31xª⁺¹-18xª⁻¹)

= 15xª⁺³+5xª⁺²-6xª+41xª⁻¹+xª⁺⁴+9xª⁺²-31xª⁺¹+18xª⁻¹

= xª⁺⁴+15xª⁺³+5xª⁺²+9xª⁺²-31xª⁺¹-6xª+41xª⁻¹+18xª⁻¹

= xª⁺⁴+15xª⁺³+14xª⁺²-31xª⁺¹-6xª+59xª⁻¹  Solución.,

_________________________________________

30) -mˣ⁺⁴-6mˣ⁺¹-23mˣ⁺²-mˣ⁻¹  de  -15mˣ⁺³+50mˣ⁺¹-14mˣ-6mˣ⁻¹+8mˣ⁻²

= -15mˣ⁺³+50mˣ⁺¹-14mˣ-6mˣ⁻¹+8mˣ⁻² -(-mˣ⁺⁴-23mˣ⁺²-6mˣ⁺¹-mˣ⁻¹)

= -15mˣ⁺³+50mˣ⁺¹-14mˣ-6mˣ⁻¹+8mˣ⁻²+mˣ⁺⁴+23mˣ⁺²+6mˣ⁺¹+mˣ⁻¹

= mˣ⁺⁴-15mˣ⁺³+23mˣ⁺²+50mˣ⁺¹+6mˣ⁺¹-14mˣ-6mˣ⁻¹+mˣ⁻¹+8mˣ⁻²

=  mˣ⁺⁴-15mˣ⁺³+23mˣ⁺²+56mˣ⁺¹-14mˣ-5mˣ⁻¹+8mˣ⁻²  Solución.

_________________________________________

Valor numérico de expresiones compuestas.(2).

Sabemos que valor numérico de una expresión es el resultado de sustituir las letras por valores numéricos dados y después efectuar las operaciones indicadas.

Para encontrar el valor numérico de una expresión algebraica, de una manera simple, se debe seguir los siguientes pasos:

1) Sustituir en la expresión dada los valores propuestos.

2) Efectuar las operaciones indicadas.

3) Simplificar hasta llegar al resultado numérico.

Tener en cuenta resolver primero lo que está entre signos de agrupamiento y también el orden de las operaciones.

___________________________________________

Ejemplo.

Encontrar el valor numérico de 2(2a-b)(x²+y)-(a²+b)(b-a),

Siendo a = 2 , b =3 , x = 4 , y = 1/2

> Sustituyendo los valores numéricos de cada letra en la expresión:

= 2[2(2)-3](4²+1/2)-(2²+3)(3-2)

> Operando y simplificando:

= 2(1)(33/2)-(7)(1)

= 33-7 = 26  Solución. 

___________________________________________

Ejercicio 13.

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones;

siendo a = 1 , b = 2 ,  c = 3 , d = 4 , m = 1/2 , n = 2/3 , p = 1/4 ,  x = 0

1) (a+b)c-d

= (1+2)(3) - 4

= 9 - 4 = 5  Solución.

___________________________________________

2)  (a+b)(b-a)

= (1+2)(2-1)

= (3)(1) = 3  Solución.

___________________________________________

3)   (b-m)(c-n)+4a2

= (2- 1/2)(3 -2/3) +4(1²)

= (3/2)(7/3) +4

= 7/2 +4 = 15/2 = 7 ¹/₂  Solución.

___________________________________________

7)  b²(c+d)-a²(m+n)+2x

= 2²(3+4) - 1²(1/2 +2/3) +2(0)

= 4(7) - 1(7/6) + 0

= 28 - 7/6 = 26 ⁵/₆  Solución.

___________________________________________

8) 2mx+6(b²+c²)-4d²

= 2(1/2)(0) +6(2²+3²) -4(4²)

= 0 +6(13) -4(16)

= 78 - 64 = 14  Solución.

___________________________________________

9) (8m/9n + 16p/b)a.

= [8(1/2) / 9(2/3) +16(1/4 /2)]1

= [4/6 + 16(1/8)]1

= (4/6 + 2)1

= (8/3)1 = 8/3 = 2 ²/₃  Solución.

___________________________________________

11) 4(m+p)/a ÷ a²+b²/c² 

= 4(1/2 +1/4)/1 ÷ 1²+2²/3²

= 4(3/4) /1 ÷ 1+4 /9

= 3/1 ÷ 5/9

= 5 ²/₅  Solución.

___________________________________________

14)  (√c²+d² /1 ÷ 2/√d)m.

=  (√3²+4² /1 ÷ 2/√4)1/2.

= (√9+16 / 1 ÷ 2/2)1/2

= (√25/1 ÷ 1)1/2

= (5/1)(1/2)

= 5(1/2) = 5/2 = 2 ¹/₂  Solución.

___________________________________________

16)  (a +d/b) /(d-b) (5 +2/m²) /p²)

=[ 1 +(4/2) / (4-2) ][(5 +(2 / (¹/₂)²) / (¹/₄)²]

= [(1+2) / 2][(5 +8) / ¹/₁₆]

= (3/2)(13/¹/₁₆)

= (3/2)(208)

= 312  Solución.

___________________________________________

18)  [(√a+c) /2 + (√6n) /b]  ÷ (c+d)√p

= [(√1+3) /2 + (√(6)(²/₃)) /2]  ÷ (3+4)√¹/₄

= [√(1+3) /2 + √4/2] ÷ 7(1/2)

= (√4 /2 + 2/2) ÷ 7/2

= (1+1) ÷ 7/2

= 2 ÷ 7/2 = 4/7  Solución.

___________________________________________

19)  3(c-b)√32m - 2(d-a)√16p -2/n

= 3(3-2)√32(1/2) - 2(4-1)√16(1/4) -2 / 2/3

= 3(1)√16 - 2(3)√4 - 3

= 3(4) - 6(2) -3

= 12 -12 -3 = -3  Solución.

___________________________________________

23)  (2m+3n)(4p+2c) - 4m²n²

= [2(1/2)+3(2/3)][4(1/4)+2(3)] - [(4(1/2)²)(2/3)²]

= [1+2)][1+6] - [(4(1/4)(4/9)]

= (3)(7) - (1)(4/9)

= 21 - 4/9 = 20 ⁵/₉  Solución.

___________________________________________