Combinación de los casos de operaciones con logaritmos.

Aquí se aplican las diferentes fórmulas para logaritmo de un producto, de un cociente, de una potencia y  de una raíz;  de acuerdo con la expresión aritmética dada.
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Ejemplos:

a) Hallar el valor de (3284*0.09132) /715.84
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log [(3284*0.09132)/715.84] =
= Log (3284*0.09132) + Colog 715.84
= (3.516403 + ⁻2.960566) + 3.145184
= 2.476969 + ⁻3.145184
= ⁻1.622153
> Antilog del resultado es
= 0.418941  Solución.

b) Hallar el valor de 100.39*0.03196 / 7.14*0.093
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log [(100.39*0.03196)/(7.14*0.093)]=
= (Log 100.39 + Log 0.03196) – (Log 7.14 + Log 0.093)
= (2.001690 + ⁻2.504607) – (0.853698 + ⁻2.968483)
= 0.506297 + Colog ⁻1.822181
= 0.506297 + 0.177819
= 0.684116
= Antilog 0.684116
= 4.831878    Solución.

c) Hallar por logaritmos el valor de 3^⅖ * 5^⅔
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log (3^⅖ * 5^⅔) =
= ⅖(Log 3) + ⅔(Log 5)
= ⅖(0.477121) + ⅔(0.698970)
= 0.190848 + 0.46598
= 0.656828
= Antilog 0.656828
= 4.5376  Solución. 

d) Hallar por logaritmos el valor de ³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)
> Aplicando los fórmulas correspondientes:
Log [³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)] =
= Log [(32.7*0.006)/(0.14*89.17)]/3
= [(Log 32.7 + Log 0.006) - (Log 0.14 + Log 89.17)]/3
= [(1.514548 + ⁻3.778151) + Colog (⁻1.146128 + 1.950219)]/3
= [(⁻1.292699) + Colog (1.096347)]/3
= [⁻1.292699) + ⁻2.903653]/3
= ⁻2.196352/3
= ⁻1.398784
Antilog ⁻1.398784
= 0.25048  Solución.
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Ejercicio 299.
Hallar por logaritmo el valor de las expresiones siguientes:

1) 515*78.19 /6.13
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto, y de un cociente:
Log (515*78.19 /6.13) =
= (Log 515 + Log 78.19) – (Log 6.13)
= (2.711807 + 1.893151) + Colog 0.787460
= 4.604958 + ⁻1.212540
= 3.817498
Antilog de 3.817498 = 6568.98
= 6569.    Solución.
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11) 2^⅕ * 3^½ * 5^¾
> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia y de un producto:
Log (2^⅕ * 3^½ * 5^¾) =
= ⅕(Log 2) + ½(Log 3) + ¾(Log 5)
= ⅕(0.301030) + ½(0.477121) + ¾(0.698970)
= 0.060206 + 0.238560 + 0.524227
= 0.822993
Antilog de 0.822993 =
= 6.6526   Solución.
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16) √(932.5 * 813.6 * 0.005)
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto y de una raíz:
Log  [√(932.5 * 813.6 * 0.005)]
= (Log 932.5 + Log 813.6 + Log 0.005)/2
= (2.969649 + 2.910411 + ⁻3.698970)/2
= 3.57903 /2
= 1.789515
Antilog 1.789515
= 61.591   Solución.
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20) ⁵√(56813/22117)
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente y de una raíz:
Log ⁵√(56813/22117
= (Log 56813 – Log 22117)/5
= (4.754447 + Colog 4.344726)/5
= (4.754447 + ⁻5.655274)/5
= 0.409721/5
= 0.081944
Antilog 0.081944 =
= 1.20766  Solución.
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Valor de expresiones algebraicas por medio de logaritmos.

Logaritmo de a : Log a. 

Procedimiento:

1) Aplicar la fórmula correspondiente de acuerdo a la operación aritmética que se pide resolver:

Logaritmo de un Producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 

Log (a * b) = Log a + Log b.

Logaritmo de un Cociente: es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Log a/b = Log a – Log b.

Logaritmo de una Potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. 

Log aⁿ = n(Log a).

Logaritmo de una Raíz: es igual al logaritmo de la cantidad subradical divido entre el índice de la raíz. 

Log ⁿ√a = Log a /n.

2) Aplicar en todos los casos las propiedades que corresponda según el tipo de logaritmo que se aplique.

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Ejemplos:

a) Hallar el valor de 1215 * 0.84 por logaritmos.

> Aplicando la fórmula para Log de un producto:

Log  (1215 * 0.84) =

= Log 1215 + Log 0.84

= 3.084576 + ⁻1.924279

= (3-1)+(0.084576 + 0.924279) (Se suman las características por separado y luego se suman las mantisas también separadas; pero éstas como positivas.

= 2 + 1.008855    (Finalmente se suma el total de las características y la suma de las mantisas).

= 3.008855

> Se encuentra el antilogaritmo del resultado:

Antilog  3.008855 = 1,020.60 Solución

> Realizando la operación aritméticamente:

1,215 * 0.84 = 1,020.60

b) Hallar por logaritmos el valor de 3214.8 * 0.003 * (-43.76)

> En este caso el factor -43.76 se debe tomar como positivo; pero al resultado final se le pone el signo menos.

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto:

Log (3214.8 * 0.003* 43.76) =

Log 3214.8 + Log 0.003 + Log 43.76

= 3.507154 + ⁻3.477121 + 1.641077

= (3-3+1) + (0.507154 + 0.477121 +0.641077)

= 1 + 1.625352  = 2.625352

> Encontrando el Antilog del resultado:

Antilog  2.625352 = 422.0384 = -422.0384  Solución.

> Realizando la operación aritméticamente:

3214.8 * 0.003 * -43.76 = -422.0389

c) Hallar por logaritmos el valor de 0.765/39.14

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente:

Log (0.765/39.14) =

= Log 0.765 – Log 39.14

= ⁻1.883661 – 1.592621

> Aplicamos el cologaritmo del sustraendo (1.592621) para convertir la operación en suma:

Colog 1.592621 = ⁻2.407379

> la operación quedaría así:

⁻1.883661 + ⁻2.407379 =

= (-1-2) + (0.883661 + 0.407379)

= ⁻3 + 1.29104

= ⁻2.29104

> Aplicando el Antilogaritmo del resultado:

Antilog  ⁻2.29104 = 0.019545   Solución.

> Resolviendo el cociente aritméticamente:

0.765/39.14 = 0.019545

d) Hallar por logaritmos el valor de (7.5)⁶

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia:

Log (7.5)⁶ =

6(Log 7.5) =

=6(0.875061)

= 5.250366

> Aplicando el Antilogaritmo del resultado:

Antilog  5.250366 = 177,977.868   Solución.

> Operando la potencia aritméticamente:

(7.5)⁶ = 177,978.515

Nota: Generalmente la diferencia entre el valor hallado por logaritmos y el valor aritmético se debe a que los logaritmos no son rigurosamente exactos, sino aproximados.

e) Hallar por logaritmos el valor de ⁵√3

> Aplicando la fórmula para el logaritmo de una raíz:

Log ⁵√3 =

(Log 3)/5

= 0.477121/5

= 0.095424

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 0.095424 = 1.24573  Solución.

> Resolviendo la raíz aritméticamente:

⁵√3 = 1.24573

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Ejercicio 298.

Hallar el valor de las siguientes expresiones por medio de logaritmos:

1)  532 * 0.184

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto:

Log (532*0.184)

= Log 532 + Log 0.184

= 2.725912 + ⁻1.264818

= (2-1)+(0.725912+0.264818)

= 1 + 0.99073

= 1.99073

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 1.99073 = 97.888  Solución.

> Resolviendo el producto aritméticamente:

532 * 0.184 = 97.888

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7) 8.125 ÷ 0.9324

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente:

Log (8.125 /0.9324)

= Log 8.125 – Log 0.9324 

= 0.909823 - ⁻1.969602

= 0.909823 + Colog ⁻1.969602

= 0.909823 + 0.030398

= 0.940221

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 0.940221 = 8.7141  Solución.

> Resolviendo el cociente aritméticamente:

8.125 ÷ 0.9324 = 8.7141

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12)  0.15³

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia:

Log (0.15³) =

= 3(Log 0.15)

= 3(⁻1.823909)

= ⁻3.471727

= 0.003375    Solución.

< Resolviendo la potencia aritméticamente:

(0.15)³ = 0.003375

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19 )  ⁵√63

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una raíz:

Log (⁵√63) =

= (Log 63)/5

= (1.799340)/5

= 0.359868

> El antilogaritmo del resultado es:

Antilog 0.359868 = 2.290   Solución.

> Resolviendo la raíz aritméticamente:

⁵√63 = 2.290

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Logaritmos.

Logaritmos.

Logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado.

Sistemas de Logaritmos: 

1) Logaritmos Vulgares o de Briggs: cuya base es 10. 

2) Logaritmos Naturales o de Neper, cuya base es el número indeterminado.

Propiedades Generales de los Logaritmos:

1) La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.

2) Los números negativos no tienen logaritmo, porque siendo su base positiva, todas sus potencias pares o impares, serán positivas.

3) En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1. (Log b = 1)

4) En todo sistema el logaritmo de 1 es cero. (Log 1 = 0)

5) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo, porque siempre serán mayores que 0.

6) Los números menores que 1 tiene logaritmo negativo, porque siempre serán menores que 0.

Logaritmo de un Producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores.  Log (a * b) = Log a + Log b

Logaritmo de un Cociente:  es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.  Log a/b = Loga – Log b.

Logaritmo de una Potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.  Log aⁿ = n(Log a).

Logaritmo de una Raíz: es igual al logaritmo de la cantidad subradical divido entre el índice de la raíz.  Log ⁿ√a = Log a /n.

Logaritmos Vulgares o de Briggs son aquellos cuya base es 10. Estos son los únicos números cuyos logaritmos son números enteros.

Log 1 = 0  ;  Log 10 = 1  ;  Log 100 = 2  ;  Log 1000 = 3  ; Etc.   y   Log 0.1 = ⁻1  ;  Log 0.01 = ⁻2  ;  Log 0.001= ⁻3 ; Etc.

Estructura de un logaritmo: (que  no sea de base 10)

Característica, que es la parte entera. ( 1.xxxxxx)

Mantisa, que es la parte decimal. (x.397940)

Valor de la Característica de un logaritmo. 

1) La característica del logaritmo de un número comprendido entre 1 y 10 es cero.

2) La característica del logaritmo de un número mayor que 10 es positiva y su valor absoluto es 1 menos que el número de cifras enteras del número.  125.8   -->  Característica es 2.

3) La característica del logaritmo de un número menor que 1 es negativa y su valor absoluto es 1 más que el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa decimal.   Log 0.07  -->  su característica es ⁻2.

Características negativas.

En Log de un número menor que 1 la característica es negativa, pero su mantisa siempre será positiva.  Al escribirse la característica negativa junto con su mantisa debe escribirse el 2  con una línea encima del ⁻2; y no -2.xxxxxx porque el signo a la par de la característica indicaría que la mantisa también es negativa.

Cologaritmo:

Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso.

El cologaritmo es usado para transformar la sustracción en adición, aplicando el cologaritmo al sustraendo y convertirlo en un sumando.

Regla: La característica del cologaritmo se obtiene agregando 1 a la característica dada y cambiándole luego de signo al resultado;  la mantisa se obtiene restando de 9 todas las cifras a partir del punto decimal, excepto la última cifra significativa, que se resta de 10.

Ejemplo:  Colog 3.472 = (3+1).(9-4)(9-7)(10-2) = 4.528 = ⁻4.528   (Este es el nuevo sumando)

Nota: Ver en próximas publicaciones la parte práctica de los Logaritmos.

Valor de una fracción decimal periódica.

.       0.18111…

Una fracción decimal periódica es la suma de una progresión geométrica decreciente infinita, y su valor puede hallarse por la fórmula S = a/1-r

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Procedimiento:

1) El número decimal del cual queremos obtener su valor, se descompone en una progresión geométrica decreciente infinita.

2) El primer término será una fracción equivalente a la posición que ocupe la primera cifra decimal en el número dado. ( 0.344 ≡ ³/₁₀)

3) El segundo término será una fracción equivalente a la posición que ocupe la segunda cifra decimal en el número dado. (0.344 ≡ ⁴/₁₀₀.  Y así sucesivamente hasta la última cifra que tenga el decimal dado.

4) Con las fracciones encontradas se forma una progresión geométrica decreciente infinita aplicando la respectiva fórmula para la suma.

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Ejemplos:

a) Hallar el valor de  0.333….

> Descomponiendo las cifras del decimal en fracciones:

0.333…. = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ….

> Formando un progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ³/₁₀:³/₁₀₀:³/₁₀₀₀:….

> Elementos:  a= ³/₁₀   ;  r= ³/₁₀₀ ÷ ³/₁₀ = ¹/₁₀

>Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ³/₁₀/(1 - ¹/₁₀)

S = (³/₁₀) / (⁹/₁₀)

S = ⅓      Es el valor de 0.333….

b) Hallar el valor de 0.31515

> Descomponiendo las cifras del decimal en fracciones:

0.31515….  = ³/₁₀ + ¹⁵/₁₀₀₀ + ¹⁵/₁₀₀₀₀₀ + ….

> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ³/₁₀:¹⁵/₁₀₀₀:¹⁵/₁₀₀₀₀₀: ….

> En este caso ³/₁₀ no se toma como elemento de la progresión, porque no es cifra decimal periódica; pero a partir del segundo término en adelante si son cifras decimales periódicas (¹⁵/₁₀₀₀ y ¹⁵/₁₀₀₀₀₀);  y son estas fracciones las que se toman como términos para resolver la  progresión.

> Elementos:  a= ¹⁵/₁₀₀₀  ;  r = ¹⁵/₁₀₀₀₀₀ ÷ ¹⁵/₁₀₀₀ = ¹/₁₀₀

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ¹⁵/₁₀₀₀ / (1 - ¹/₁₀₀)

S = (¹⁵/₁₀₀₀) / (⁹⁹/₁₀₀)

S = ¹/₆₆  Es la suma del ¹⁵/₁₀₀₀+¹⁵/₁₀₀₀₀₀

> Entonces sumamos el valor de las fracciones periódicas con el valor de la fracción no periódica:

 ³/₁₀ + ¹/₆₆ = ⁵²/₁₆₅   es el valor de  0.31515….

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Ejercicio 296.

Hallar por la suma al infinito, el valor de los números decimales:

1) 0.666….

> Descomponiendo las cifras decimales en fracciones:

> 6/10 + 6/100 + 6/1000 + ….

> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ⁶/₁₀: ⁶/₁₀₀: ⁶/₁₀₀₀ : ….

> Elementos:  a= ⁶/₁₀  ;  r= ⁶/₁₀₀÷⁶/₁₀ = ¹/₁₀

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ⁶/₁₀ /(1-¹/₁₀)

S = (⁶/₁₀) / (⁹/₁₀)

S = ⅔    es el valor de 0.666

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2) 0.1212 ….

> Descomponiendo las cifras decimales en fracciones:

> 12/100 + 12/10000 + ….

> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ¹²/₁₀₀ :¹²/₁₀₀₀₀: ….

> Elementos:  a= ¹²/₁₀₀  ;  r= ¹²/₁₀₀₀₀÷¹²/₁₀₀= ¹/₁₀₀

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ¹²/₁₀₀ /(1 - ¹/₁₀₀)

S = (¹²/₁₀₀) /(⁹⁹/₁₀₀)

S = ⁴/₃₃    <-- Valor del número decimal 0.1212 ….

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7)  0.18111….

> Cambiando las cifras decimales periódicas y no periódicas a fracciones:

> ¹⁸₁₀₀ + ¹/₁₀₀₀ + ¹/₁₀₀₀₀ + ¹/₁₀₀₀₀₀ ….

> Formando una progresión geométrica infinita:

Se toma para la progresión geométrica a partir de ¹/₁₀₀₀, porque ahí es

donde empieza la cifra periódica:

÷÷¹/₁₀₀₀: ¹/₁₀₀₀₀; ¹/₁₀₀₀₀₀: ….

> Elementos:  a= ¹/₁₀₀₀  ;  r= ¹/₁₀₀₀₀÷¹/₁₀₀₀= ¹/₁₀

> Aplicando la fórmula a para la suma:

S = a/1-r

S= ¹/₁₀₀₀ /(1- ¹/₁₀)

S = (¹/₁₀₀₀)/(⁹/₁₀)

S = ¹/₉₀₀

Entonces se suma la fracción no periódica más la suma de

del valor de las fracciones periódica encontrada:

 ¹⁸/₁₀₀ + ¹/₉₀₀ = ¹⁶³/₉₀₀  <-- Es el valor de la cifra decimal dada.

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Suma de una progresión geométrica decreciente infinita-

.       S = a / 1-r

Esta se da cuando el número de términos de la progresión geométrica es infinito.

Cabe mencionar que la suma de este tipo de progresión tiende a un valor límite, pero la suma de los términos, nunca llega a ser igual al límite.  Aunque cuanto mayor sea el número de términos, más se aproxima la suma al valor límite.

Esta fórmula puede utilizarse para hallar el valor de una fracción decimal periódica (0.31515), que se verá en un tema posterior a este.

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Fórmula:

S = a/1-r  (Para una progresión geométrica infinita)

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Ejemplos:

a) Hallar la suma de la progresión ÷÷4:2:1….

> Elementos:  a=4  ;  r=2÷4= ½ ;  u=∞  ; n=∞

> Aplicando la fórmula respectiva:

S = a/1-r

S = 4/(1-½)

S = 4/½

S = 8  Solución.  (Límite de la suma)

b) Hallar la suma de la progresión infinita ÷÷5:-³/₂:⁹/₂₀….

> Elementos:  a=5  ;  r=-³/₂÷5=-³/₁₀  ;  u=∞  n=∞

> Aplicando la fórmula respectiva:

S = a/1-r

S = 5/[1-(-³/₁₀)]

S = 5/(1+³/₁₀)

S = 5/(¹³/₁₀)

S = ⁵⁰/₁₃

S = 3 ¹¹/₁₃   Solución. (Límite de la suma)

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Ejercicio 295.

Hallar la suma de las progresiones infinitas:

1) ÷÷2:½:⅛….

> Elementos:  a=2  ;  r= ½÷2= ¼   u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = 2/(1-¼)

S = 2/¾

S = ⁸/₃ = 2⅔  Límite de la suma.

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2) ÷÷½:¹/₆:¹/₁₈….

> Elementos:  a= ½  ;  r=¹/₆÷ ½= ⅓  ;  u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ½/(1- ⅓)

S = ½ /⅔

S = ¾   Límite de la suma.

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3)  ÷÷-5:-2:-⅘….

> Elementos:  a = -5  ;  r=-2÷-5= ⅖  u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = -5/(1-⅖)

S = -5/⅗

S = -²⁵/₃ = -8⅓   Límite de la suma.

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