Primer término y razón de una Progresión Geométrica.

Procedimiento:

1) Se encuentran los elementos para aplicar la fórmula.

2) Se aplica la fórmula respectiva para encontrar el resultado.

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Fórmulas:  

Primer término:   a = u/rⁿ⁻¹

Razón:  r = ⁿ⁻¹√(u/a)

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Ejemplos:

a) El 6° término de una progresión geométrica es ¹/₁₆ y la razón es ½.  Hallar el primer término.

> Elementos:  u = ¹/₁₆  ;  n = 6  ;  r = ½

> Aplicando la fórmula:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ¹/₁₆ /(½)⁶⁻¹

a = ¹/₁₆ /(½)⁵

a = (¹/₁₆)/(¹/₃₂)

a = 2  Solución.

b) El 1° término de una progresión geométrica es 3 y el 6° término  -729.  Hallar la razón:

> Elementos:  a = 3  ;  u = -729  ;  n = 6

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(-729/3)

r = ⁵√(-729/3)

r = ⁵√(-243)

r = -3   Solución.

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Ejercicio 292.

1) La razón de una progresión geométrica es ½ y el 7° término 1/64.  Hallar el primer término.

> Elementos:  u = 1/64  ;  n = 7  ;  r = ½

> Aplicando la fórmula para “a”:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ¹/₆₄ /(½)⁷⁻¹

a = ¹/₆₄ /(½)⁶

a = ¹/₆₄ / ¹/₆₄

a = 1   Solución.

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3) El 5° término de una progresión geométrica es ¹⁶/₁₂₅ y el 6° término ³²/₆₂₅.  Hallar el 1° término.

> Elementos:  u = ³²/₆₂₅  ;  n = 6  ;  r=(³²/₆₂₅)÷(¹⁶/₁₂₅)=⅖

> Aplicando la fórmula:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ³²/₆₂₅ /(⅖)⁶⁻¹

a = ³²/₆₂₅ /(⅖)⁵

a = (³²/₆₂₅)/(³²/₃₁₂₅)

a = 5   Solución.

_____________________________________________

5) Hallar la razón de ÷÷ ⅓……..:243  de 7 términos.

> Elementos:  a = ⅓  :  u = 243  ;  n = 7

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁷⁻¹√(243/⅓)

r = ⁶√729

r = 3  Solución.

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7) Hallar la razón de ÷÷ ⁷²⁹/₂:……….:³/₂  de 6 términos.

> Elementos:  a = ⁷²⁹/₂  ;  u = ³/₂  ;  n = 6

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(³/₂)/(⁷²⁹/₂)

r = ⁵√(¹/₂₄₃)

r = ⅓  Solución.

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Término enésimo de una Progresión Geométrica.

.     7° término de ÷÷ 3:2:4/3… .

Procedimiento:

1) Se encuentran los elementos para aplicar la fórmula

2) Se aplica la fórmula para encontrar el resultado.

Nota:  Para la Progresión Geométrica usaré como símbolo de la misma: ÷÷  

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Fórmula: u = arⁿ⁻¹

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Ejemplos:

a) Hallar el 5° término de ÷÷2:6:18….

> Elementos:  a = 2  ;  n = 5  : r = 6÷2 = 3

> Aplicando la fórmula:

u = arⁿ⁻¹

u = 2(3)⁵⁻¹

u = 2(3)⁴

u = 2(81)

u = 162    Solución.

b) Hallar el 8° término de ÷÷6:4….

> Elementos:  a = 6  ;  n = 8  ;  r = 4÷6 = 2/3

> Aplicando la fórmula:

u = 6(2/3)⁸⁻¹

u = 6(2/3)⁷

u = 6(128/2187)

u = 256/729   Solución.

c) Hallar el 7° término de ÷÷2/3:-1/2:3/8 ….

>  Elementos:  a = 2/3   n = 7  r = -1/2÷2/3 = -3/4

> Aplicando la fórmula:

u = 2/3(-3/4)⁷⁻¹

u = 2/3(-3/4)⁶

u = (2/3)(729/4096)

u = 243/2048    Solución.

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Ejercicio 291.

1) Hallar el 7° término de ÷÷3:6:12 ….

> Elementos:  a = 3  ;  n = 7  ;  r = 6÷3= 2

> Aplicando la fórmula:

u = 3(2)⁷⁻¹

u = 3(2)⁶

u = 3(64)

u = 192  Solución.

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3) Hallar el 9° término de ÷÷8:4:2 ….

> Elementos:  a = 8  ;  n = 9  ;  r =4÷8= ½

> Aplicando la fórmula:

u = 8(½)⁹⁻¹

u = 8(½)⁸

u = 8(1/256)

u = 1/32   Solución.

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6) Hallar el 6° término de ÷÷½:⅕ ….

> Elementos:  a = ½  ;  n = 6  ;  r = ⅕÷½= ⅖

> Aplicando la fórmula:

u = ½(⅖)⁶⁻¹

u = ½(⅖)⁵

u = ½(32/3125)

u = 16/3125   Solución.

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8) Hallar el 6° término de  ÷÷-3:6:-12….

> Elementos:  a = -3  ;  n = 6   ;  r=6÷-3= -2

> Aplicando la fórmula:

u = -3(-2)⁶⁻¹

u = -3(-2)⁵

u = -3(-32)

u = 96   Solución.

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11) Hallar el 8° término de ÷÷16:-4:1….

> Elementos:  a = 16  ;  n = 8  ;  r=-4÷16= -¼

> Aplicando la fórmula:

u = 16(-¼)⁸⁻¹

u = 16(-¼)⁷

u = 16(-1/16384)

u = -1/1024  Solución.

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Interpolación en una progresión aritmética.

. ÷3. ? . ? . ? . 11  |? Medios Aritméticos.

Procedimiento:

1) Se halla la razón por medio de la fórmula, tomando en cuenta que “n” será igual a los medios aritméticos que se piden más los extremos (primero y último términos) que son dados.

2) La razón que resulta se suma al primer término para obtener el segundo; luego la razón se suma al segundo término para obtener el tercero, y así sucesivamente, hasta completar la cantidad de medio aritméticos que se piden.

3) Se interpolan los medios aritméticos entre los extremos dados para formar la progresión aritmética.

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Ejemplos:

a) Interpolar 4 medios aritméticos entre 1 y 3.

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 1  ;   u = 3   ;  n = 2+4 = 6

> Aplicando la fórmula para la razón:

r = u-a /n-1

r = 3-1 /6-1

r = ²̷₅

> Calculando los medios aritméticos:

1 + ²̷₅ = 1²̷₅       2° término

1²̷₅ + ²̷₅ = 1⁴̷₅    3° término

1⁴̷₅ + ²̷₅ = 2¹̷₅    4° término

2¹̷₅ + ²̷₅ = 2³̷₅    5° término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷1. 1²̷₅. 1⁴̷₅. 2¹̷₅. 2³̷₅. 3    Solución.

b) Interpolar 5 medios aritméticos entre -2 y 5¼

> Encontrando la razón:

Elementos: a = -2  ;  u = 5¼ ; n = (2+5) = 7

r = u-a /n-1

r = 5¼ -(-2) /7-1

r = 5¼+2 /6

r = 7¼/6

r = 29/24

> Calculando los medios aritméticos:

-2 + ²⁹̷₂₄ = -¹⁹̷₂₄      Segundo término

-¹⁹̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ¹⁰̷₂₄   Tercer término

¹⁰̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ³⁹̷₂₄    Cuarto término

³⁹̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ⁶⁸̷₂₄    Quinto término

⁶⁸̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ⁹⁷̷₂₄    Sexto término

> Simplificando e interpolando los medios aritméticos:

÷-2. -¹⁹̷₂₄. ¹⁰̷₂₄. ³⁹̷₂₄. ⁶⁸̷₂₄. ⁹⁷̷₂₄. 5¼

÷-2. -¹⁹̷₂₄. ⁵̷₁₂. 1⁵̷₈. 2⁵̷₆. 4¹̷₂₄. 5¼    Solución.

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Ejercicio 289.

Interpolar:

1)  3 medios aritméticos entre 3 y 11

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 3  ;  u = 11  ;  n = 5

r = u-a /n-1

r = 11-3 /5-1

r = 8/4

r = 2

> Calculando los medios aritméticos:

3+2 = 5   Segundo término

5+2 = 7   tercer término

7+2 = 9   cuarto término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷3. 5. 7. 9. 11   Solución.

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2) 7 medios aritméticos entre 19 y -5

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 19   ;  u = -5   ;  n = 9

r = u-a /n-1

r = -5-(19) /9-1

r = -5-19 / 8

r = -24/8

r = -3

> Calculando los medios aritméticos:

19-3 = 16   segundo término

16-3 = 13   tercer término

13-3 = 10   cuarto término

10-3 = 7     quinto término

7-3 = 4       sexto término

4-3 = 1       séptimo término

1-3 = -2      octavo término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷19. 16. 13. 10. 7. 4. 1. -2. -5    Solución.

____________________________________________

3) 5 medios aritméticos entre -13 y -73

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = -13   ;   u = -73   ; n = 7

r = u-a /n-1

r = -73-(-13) /7-1

r = -73+13 /6

r = -60/6

r = -10

> Calculando los medios aritméticos:

-13-10 = -23

-23-10 = -33

-33-10 = -43

-43-10 = -53

-53-10 = -63

> Interpolando los medios aritméticos:

÷-13. -23. -33. -43. -53. -63. -73    Solución

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4)  4 medios aritméticos entre -32 y 53

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = -32  ;  u = 53  ;  n = 6

r = 53-(-32) /6-1

r = 53+32 /5

r = 85/5

r = 17

> Calculando los medios aritméticos:

-32+17 = -15

-15+17 = 2

2+17 = 19

19+17 = 36

> Interpolando los medios aritméticos:

÷-32. -15. 2. 19. 36. 53   Solución.

____________________________________________

11)  5 medios aritméticos entre 2/3 y -1/8

> Encontrando la razón:

Elementos:  a= 2/3  ;  u = -1/8  ;  n = 7

r =  -1/8 -(2/3) / 7-1

r = -1/8 -2/3 / 6

r = -19/24 /6

r = -19/144

> Calculando los medios aritméticos:

2/3 -19/144 = 77/144

77/144 -19/144 = 29/72

29/72 -19/144 = 13/48

13/48 -19/144 = 5/36

5/36 -19/144 = 1/144

> Interpolando los medios aritméticos:

÷2/3 . 77/144 . 29/72 . 13/48 . 5/36 . 1/144 . -1/8   Solución

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Suma de los términos de una progresión aritmética.

.        Suma: S = (a+u)n /2

Procedimiento:

1) Se realizan las operaciones que sean necesarias para simplificar las cantidades de los términos.

2) Se encuentran los elementos que falten para aplicar la fórmula de la suma.

3) Se aplica la fórmula de la Suma.

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Fórmula:   S = (a+u)n /2

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Ejemplos:

a) Hallar la suma de los 12 primeros términos de ÷7.13.19… .

> Hallando los elementos para aplicar la fórmula de la suma:

a = 7   ;    n = 12    ;  r = 6

> Como el valor del último término (u), no se sabe,

se procede a encontrarlo por medio de su fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 7+(12-1)(13-7)

u = 7+(11)(6)

u = 7+66 = 73

> Teniendo el valor de todos los elementos que intervienen en la fórmula

se procede a aplicarla:

S = (a+u)n /2

S=  (7+73)(12) /2

S = (80)(12) /2

S = 960/2

S = 480    Solución.

b) Hallar la suma de los 13 primeros términos de ÷5/6.1/12… .

> Hallando los elementos para la fórmula de la suma:

a = 5/6   ;    n = 13    ;  r = -9/12 

> Como el valor del último término “u”, no se sabe,

se procede a encontrarlo por medio de su fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 5/6+(13-1)(1/12 – 5/6)

u = 5/6+(12)(– 3/4)

u = 5/6+(-9) = 5/6 -9 =

u = -49/6

> Teniendo todos los elementos que intervienen en

la fórmula de la suma, se procede a aplicarla:

S = (a+u)n /2

S = [5/6 +(-49/6)](13)/2

S = [5/6 -49/6)](13) /2

S = (-22/3)(13)/2

S = -286/3  /2

S = -143/3 = -47 ²/₃   Solución.

___________________________________________________

Ejercicio 288.

1) Hallar la suma de los 8 primeros términos de ÷15.19.23….

> Hallando los elementos de la fórmula de la suma:

a = 15   ;  n = 8   ;  r = 4

> Hallando antes el valor del último término:

u = a+(n-1)r

u = 15+(8-1)(19-15)

u = 15+(7)(4)

u = 43

> Aplicando la fórmula de la suma:

S = (a+u)n /2

S = (15+43)(8) /2

S = (58)(8) /2

S = 464/2 = 232   Solución.

____________________________________________________

4) Hallar la suma de los 80 primeros términos de ÷-10.-6.-2….

> Hallando los elementos para la suma:

a = -10   ;   n = 80   ;   r = 4

> Encontrando el valor “u”:

u = a+(n-1)r

u = -10+(80-1)(-6 –(-10))

u = -10+(79)(-6+10)

u = -10+(79)(4)

u = -10 +316

u = 306

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (-10+306)80 /2

S = (296)80 /2

S = 23680/2 = 11840  Solución.

___________________________________________________

8) Hallar la suma de los 14 primeros términos de ÷3/10. 2/5. 1/2….

> Convirtiendo las fracciones a un mismo denominador:

÷3/10. 4/10. 5/10

> Encontrando los elementos para la fórmula de suma:

a = 3/10   ;  n = 14  ;   r = 1/10

> Encontrando el valor del “u”

u = 3/10+(14-1)(4/10-3/10)

u = 3/10+(13)(1/10)

u = 3/10+13/10 = 16/10

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (3/10+16/10)(14)/2

S = (19/10)(14)/2

S = (133/5)/2 = 133/10 = 13³̷₁₀   Solución

____________________________________________

11) Hallar los primeros 11 términos de ÷2¹̷₃. 3²̷₁₅….

> Convirtiendo las fracciones a un mismo denominador:

÷35/15. 47/15….

> Encontrando los elementos para la suma:

a = 35/15  ;  n =11   ;  r = 12/15

> Encontrando el valor de “u”:

u = 35/15+(11-1)(47/15 – 35/15)

u = 35/15+(10)(12/15)

u = 35/15+120/15

u = 155/15 = 31/3

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (35/15+155/15)(11)/2

S = (190/15)(11) /2

S = 418/3 /2 = 69²̷₃   Solución

Primer término, razón y número de términos de una progresión aritmética.

Primer término:  a = u-(n-1)r 

Razón: r = u-a / n-1

Número de términos: n = u-a+r /r 

Procedimiento:

Se encuentra el primer término, la razón y el número de términos por medio de su respectiva fórmula.

1) Se efectúan las operaciones necesarias para simplificar los números de la progresión, si fuera necesario.

2) Se hallan los elementos que intervienen en la fórmula.

3) Se aplica la fórmula respectiva.

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Fórmulas:

a = u-(n-1)r     <-- Primer término

r = u-a / n-1   <-- Razón

n = u-a+r /r    <-- Número de términos

_____________________________________________ 

Ejemplos:

a) Hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que el 11° término es 10 y la razón ½.

> Hallando los elementos:

u = 10  ;  r = ½  ;  n = 11

> Utilizando la fórmula para “a”:

a = u-(n-1)r

a = 10-(11-1)(1/2)

a = 10-(10)(1/2)

a = 10-(5)

a = 5   Solución.

b) Hallar la razón de una progresión aritmética cuyo primer término es –¾ y el 8° término es 3¹̷₈:

> Convirtiendo –¾ en octavos  = -⁶̷₈

.  convirtiendo 3¹̷₈ en octavos = ²⁵̷₈

> Hallando los elementos:

a = -⁶̷₈  ;  u = ²⁵̷₈  ;   n = 8

> Utilizando la fórmula para “r”:

r = u-a/n-1

r = ²⁵̷₈-(-⁶̷₈) /8-1

r = (²⁵̷₈+⁶̷₈) /7

r = ³¹̷₈ /7

r = ³¹̷₅₆  Solución.

c) ¿Cuántos términos tiene la progresión  ÷2.1²̷₃……….-4¹̷₃?

> Convirtiendo los elementos a fracciones impropias:

2 = ⁶̷₃

1²̷₃ = ⁵̷₃

-4¹̷₃ = -¹³̷₃

> Hallando los elementos:

u = -¹³/₃

a = ⁶̷₃

r = ⁵̷₃-⁶̷₃ = -¹̷₃

> Utilizando la fórmula:

n = u-a+r /r

n = -¹³/₃-(⁶̷₃)+(-¹̷₃)/-¹̷₃

n = (-¹³/₃-⁶̷₃-¹̷₃)/-¹̷₃

n = -²⁰̷₃ / -¹̷₃

n = 20  Solución.

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Ejercicio 287.

1) El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la razón es ²̷₇.  Hallar el 1° término.

> Hallando los elementos:

u = 20    ;   n = 15   ;   r = ²̷₇

> Utilizando la fórmula:

a = u-(n-1)r

a = 20 -(15-1)(²̷₇)

a = 20 -(14)(²̷₇)

a = 20 -(4)

a = 16   Solución.

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2) El 32° término de una progresión aritmética es -18 y la razón es 3.  Hallar el 1° término.

> Hallando los elementos:

u = -18   ;   n = 32  ;   r = 3

> Utilizando  la fórmula:

a = u-(n-1)r

a = -18-(32-1)(3)

a = -18-(31)(3)

a = -18-(93)

a = -111    Solución.

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5) Hallar la razón de ÷3………8   donde 8 es el 6° término:

> Hallando los elementos:

a = 3   ;  u = 8   ;  n = 6

> Utilizando la fórmula:

r = u-a /n-1

r = 8-(3) /6-1

r = 8-3 /5

r = 5/5

r = 1   Solución.

_________________________________________________

6) Hallar la razón de ÷-1………-4  donde -4 es el 10° término:

> Hallando los elementos:

u = -4    ;    a = -1      ;   n = 10

> Utilizando la fórmula:

r = u-a /n-1

r = -4-(-1) / 10-1

r = -4+1) / 9

r = -3 / 9

r = - ¹̷₃   Solución.

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11) ¿Cuántos términos tiene la progresión  ÷5.5¹̷₃ . ....18?

> Hallando los elementos:

u = 18   ;  a = 5   ;  r =  5¹̷₃- 5 = ¹̷₃

> Utilizando la fórmula:

n = u-a+r /r

n = 18-(5)+( ¹̷₃) /¹̷₃

n = 18-5+¹̷₃ /¹̷₃

n = ⁴⁰̷₃ /¹̷₃

n = 40   Solución.

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