Raíz de un Monomio.

.                     

Regla: 

Se extrae la raíz del coeficiente y se divide el exponente de cada letra entre el índice de la raíz.
_________________________________________

Ejemplos:

a) Hallar la raíz cuadrada de  9a²b⁴

= √9a²÷²b⁴÷²

= ± 3ab²  Solución.

b)  Hallar la raíz cúbica de  -8a³x⁶y⁹

= ³√-8a³÷³x⁶÷³y⁹÷³

= -2ax²y³  Solución.

c) Hallar la raíz cuarta de  16a⁴m⁸x⁴

= ⁴√16a⁴÷⁴m⁸÷⁴x⁴÷⁴

= ± 2am²x  Solución.

d) Hallar la raíz quinta de -243m¹⁵n¹⁰ᵡ

=  ⁵√-243m¹⁵÷⁵n¹⁰÷⁵ᵡ

= -3m³n²ᵡ  Solución

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Ejercicio 213

1) Hallar la raíz de √4a²b⁴

= √4a²÷²b⁴÷²

= ± 2ab²   Solución

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3) Hallar la raíz de   ³√27a³b⁹

= ³√27a³÷³b⁹÷³

= ± 3ab³  Solución

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4) Hallar la raíz de  ³√-8a³b⁶x¹²

= ³√-8a³÷³b⁶÷³x¹²÷³

= -2ab²x⁴   Solución

___________________________________________

7) Hallar la raíz de ⁵√x¹⁵y²⁰z²⁵

= ⁵√x¹⁵÷⁵y²⁰÷⁵z²⁵÷⁵

= ±x³y⁴z⁵  Solución

___________________________________________

8) Hallar la raíz de  ³√-64a³x⁶y¹⁸

= ³√-64a³÷³x⁶÷³y¹⁸÷³

= -4ax²y⁶  Solución

____________________________________________

16) Hallar la raíz de  √9a²/25x⁴

= √9a²÷²/25x⁴÷²

= ±3a/5x²  Solución

____________________________________________

17) Hallar la raíz de  ³√-27a³/64x¹⁵

= ³√27a³÷³/64x¹⁵÷³

= - 3a/4x⁵  Solución

_____________________________________________

19) Hallar la raíz de  ⁴√a⁸/81b⁴c¹²

= ⁴√a⁸÷⁴/81b⁴÷⁴c¹²÷⁴

= ± a²/3bc³   Solución.

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Cuadrado de un Binomio.

.                                       

Cuadrado de un Binomio.

Puede ser:

(a+b)² = a²+2ab+b²   (Cuadrado de la suma de dos cantidades)

(a-b)² =a²-2ab+b²      (Cuadrado de la diferencia de dos cantidades)

Aquí desarrollaremos algunos ejemplos y ejercicios, con el fin de aplicar las leyes de la Potenciación.
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Ejemplos:

a) Desarrollar  (3a⁶ – 5a²b⁴)²

= (3a⁶)² – 2(3a⁶)(5a²b⁴) + (5a²b⁴)²

= 3²a⁶*² – 2(3)(5)a⁶⁺²b⁴ + 5²a²*²b⁴*² =
= 9a¹² – 30a⁸b⁴ + 25a⁴b⁸           <--Solución.

Nota:

Cuando elevas una potencia a otra potencia [(3a⁶)²] se eleva el coeficiente al exponente de la potencia y se multiplican el exponente de la letra por el exponente de la potencia.

Cuando multiplicas una potencia por otra [2(3a⁶)(5a²b⁴)], se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de la letra en común y la letra que no tiene otra común, solo se copia con su exponente, en el resultado.
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b) Desarrollar  (2/3  x² + ¾ y³)²

= (2/3 x²)² + 2(2/3 x²)(3/4 y³) + (3/4y³)²

= 2²/3² x²^*²+ 2(2/3)(3/4)x²y³ + 3²/4² y³^*²

= 4/9 x⁴ + x²y³ + 9/16 y⁶  Solución.

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Ejercicio 206

1) Desarrollar  (a⁵+7b⁴)²

=  (a⁵)² + 2(a⁵)(7b⁴) + (7b⁴)²

=  a⁵*² +2(1)(7)a⁵b⁴ + 7²b⁴*²

=  a¹⁰ +14a⁵b⁴ + 49b⁸  Solución

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2) Desarrollar  (3x⁴-5xy³)²

=  (3x⁴)² – 2(3x⁴)(5xy³) + (5xy³)²

=  3²x⁴*² – (2)(3)(5)x⁴⁺¹y³ + 5²x¹^*²y³^*²

=  9x⁸– 30x⁵y³ + 25x²y⁶  Solución

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3) Desarrollar  (a²b³-a⁵)²

=  (a²b³)² – 2(a²b³)(a⁵)  + (a⁵)²

=  a²^*²b³^*² – 2a²⁺⁵b³ + a⁵*2

=  a⁴b⁶ – 2a⁷b³ + a¹⁰  Solución

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8) Desarrollar  (1/2 x+2/3 y)²

=  (1/2 x)² + 2(1/2 x)(2/3 y) + (2/3 y)²

=  (½)² x² + 2(1/2)(2/3) xy + (2/3)² y²

=  ¼ x² + 2/3 xy + 4/9 y²  Solución

_____________________________________________

9) Desarrollar   (3/4 a² -2/5 b²)²

=  (3/4 a²)² – 2(3/4 a²)(2/5 b²) + (2/5 b²)²

=  (3/4)²a²^*² – 2(3/4)(2/5)a² b² + (2/5)²b²^*²

=  9/16 a⁴ – 3/5 a²b² + 4/25 b⁴  Solución

_____________________________________________

13) Desarrollar  (x/3 + y²/4)²

=   (x/3)² + 2(x/3)(y²/4) + (y²/4)²

=   x²/3² + 2(1/3)(1/4)xy² + 1/4² y²^*²

=   x²/9 + 1/6xy² + 1/16 y⁴

=   1/9 x² + 1/6 xy² + 1/16 y⁴  Solución

_____________________________________________

14) Desarrollar  (2x/3 – 3y/5)²

=   (2x/3)² – 2(2x/3)(3y/5) + (3y/5)²

=   2²x²/3² – 2(2/3)(3/5)xy + 3²/5² y²

=   4x²/9 – 4/5 xy + 9y²/25

=   4/9 x² -4/5 xy + 9/25 y²  Solución

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Potencia de un Monomio.

.                                                  

Potencia de un Monomio.

Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia.

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Ejemplos:

a) Desarrollar  (3ab²)³

>> Elevando al exponente de la potencia ³:

= 3³a^1*3b²^*3

>> Realizando operaciones

= 27a³b⁶  Solución.

b) Desarrollar (-3a²b³)²

= -3²a²*²b³^*2   (El monomio es negativo (-3a²b³) y  la potencia es par (²)= resultado positivo)

= 9a⁴b⁶  Solución.

c) Desarrollar  (-5x³y⁴)³

= -5³x³^*3y^4*3    (El monomio es negativo (-5x³y⁴)  y la potencia es impar (³) = resultado negativo)

= -125x⁹y¹²  Solución.

d) Desarrollar  (-2x/3y²)⁴

= 2⁴x¹*⁴/3⁴y²*⁴

= 16x⁴/81y⁸  Solución.

e) Desarrollar (-2/3 a³b⁴)⁵

= (-2/3)⁵ a³*⁵b⁴*⁵

= -32/243 a¹⁵b²⁰  Solución.

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Ejercicio 205

1) Desarrollar (4a²)²

= 4²a²^*2

=16a⁴  Solución.

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2) Desarrollar (-5a)³

= -5³a¹*³

= -125a³  Solución

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3) Desarrollar  (3xy)³

=  3³x^1*3y¹^*3

=  27x³y³  Solución

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12) Desarrollar  (a²b³c)^m

=   a²*ᵐb³*ᵐc¹*ᵐ

=   a²ᵐb³ᵐc^ᵐ  Solución

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16) Desarrollar (-x/2y)²

=   – x¹*²/(2²y^1*2)

=   x²/4y²  Solución

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17) Desarrollar (- 2m/n²)³

=   – 2³m^1*3/n^2*3

=   – 8m³/n⁶  Solución

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21) Desarrollar (2m³n/3x⁴)⁵

=   2⁵m³*⁵n¹*⁵/3^⁵x⁴*⁵

=   32m¹⁵n⁵/243x²⁰  Solución

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22) Desarrollar  (- ¾ a³b²)²

=   – 3²/4² a^3*2b^2*2

=   9/16 a⁶b⁴  Solución

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Sistema de 4 ecuaciones simultáneas con 4 incógnitas.

.                  

Procedimiento:

1) Se resuelve el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, haciendo tres combinaciones de 2 ecuaciones, para eliminar cualquiera de las incógnitas, pero que esta incógnita sea la misma en las tres combinaciones.  Esto nos dará como resultado 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

2) Formamos un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y procedemos a hacer dos combinaciones de 2 ecuaciones, para eliminar cualquiera de las incógnitas, pero que  esta incógnita sea la misma.  El resultado nos dará dos ecuaciones con 2 incógnitas.

3) Formamos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y procedemos a eliminar una cualquiera de las incógnitas y encontrar el valor de la otra incógnita.

4) Sustituimos el valor de la incógnita obtenido en la otra ecuación del sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnita y encontraremos el valor de la otra incógnita.

5) Sustituimos el valor de las 2 incógnitas obtenidas en una cualquiera de las 3 ecuaciones con 3 incógnitas para encontrar el valor de una tercera incógnita.

6) Sustituimos el valor de las 3 incógnitas obtenidas en una cualquiera de las 4 ecuaciones con 4 incógnitas para encontrar el valor de la cuarta incógnita.

7) La solución general será el valor de las cuatro incógnitas obtenidas.

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Ejemplo:  Resolver el sistema

x+y+z+u = 10        (1)

2x-y+3z-4u = 9     (2)

3x+2y-z+5u = 13  (3)

x-3y+2z-4u = -3    (4)

>> Combinando ecuaciones para encontrar 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

>> Combinamos la (1) y (2)

Para eliminar la x,  Multiplicamos (1) por 2  y la (2) por -1:

2x+2y+2z+2u = 20

-2x+y -3z+4u =  -9

.      3y - z+6u = 11  (5) Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y (3)

Para eliminar la x, multiplicamos la (1) por 3 y la (3) por -1:

3x+3y+3z+3u = 30

-3x-2y+ z -5u = -13

.        y+4z-2u = 17  (6)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1)  con la (4)

Para eliminar la x, multiplicamos la (4) por -1 :

x +  y + z + u = 10

-x+3y- 2z+4u =  3

.     4y - z+5u = 13  (7)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Formamos un Sistema de 3 ecuaciones con  3 incógnitas:

3y-z+6u = 11  (5)

y+4z-2u = 17  (6)

4y-z+5u = 13   (7)

>> Combinamos la (5) y (6)

Para eliminar la z, multiplicamos la (5) por 4 :

12y-4z+24u = 44

.   y+4z - 2u = 17

13y        +22u = 61  (8)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Combinamos la (5) y (7)

Para eliminar la z, multiplicamos la (7) por -1 :

3y - z+6u =  11

-4y+z-5u = -13

.-y     + u =  -2  (9)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Formamos un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

13y+22u = 61  (8)

-  y +   u =  -2  (9)

>> Resolvemos este sistema multiplicando la (9) por 13 :

13y +22u =   61

-13y+13u = -26

.         35u = 35

u = 35/35

u = 1  <--  Solución.

>> Sustituimos el valor de u en en la (9):

-y+u = -2

-y+(1) = -2

-y+1 = -2

-y = -2-1

-y = -3

y = 3  <-- Solución

>> Sustituimos el valor de (y, u) en la ecuación de 3 incógnitas, la (5) :

3y-z+6u = 11

3(3)-z+6(1) = 11

9-z+6 = 11

15-z = 11

-z = 11-15

-z = -4

z = 4   <-- Solución

>> Por último sustituimos el valor de (y, z, u) en la ecuación de 4 incógnitas, en la  (1) :

x+y+z+u = 10

x+(3)+(4)+(1) = 10

x+8 = 10

x = 10-8

x = 2  <--  Solución

La solución General es :   (x = 2 , y = 3 , z = 4 , u = 1)

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 Ejercicio 192

1) Resolver el sistema

.  x +  y  + z +u = 4  (1)

.  x +2y +3z  -u = -1  (2)

3x +4y +2z  +u = -5  (3)

.  x +4y +3z - u = -7  (4)

>> Combinamos las ecuaciones para encontrar 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y la (2)

Eliminamos la u, únicamente sumando las ecuaciones:

x +  y +  z +u = 4

x +2y +3z - u = -1 

2x+3y+4z       = 3   (5) Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y la (3)

Eliminamos la u, multiplicando la  (3) por -1 :

.  x +  y + z +u = 4

-3x -4y -2z  -u = 5

-2x -3y -  z       = 9   (6)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y la (4)

Eliminamos la u, únicamente sumando:

x  +  y +  z +u =  4

x  +4y +3z - u = -7

2x+5y +4z      = -3   (7)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Formamos un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

2x +3y +4z =  3   (5)

-2x -3y -  z =  9   (6)

2x +5y +4z = -3  (7)

>> Combinamos la (5) y la (6)

Eliminamos la z, multiplicando la (6) por 4 :

2x + 3y+4z =  3

-8x-12y-4z = 36

-6x  -9y      = 39       (8)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Combinamos la (6) y la (7)

Eliminamos la z, multiplicando la (6) por 4 :

-8x-12y -4z = 36

2x +5y +4z =  -3

-6x -7y        = 33      (9)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Formamos un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

-6x-9y = 39   (8)

-6x-7y = 33   (9)

Eliminamos la "x", multiplicando la (9) por -1 :

-6x -9y =  39

6x +7y = -33

.     -2y =   6

y = 6/-2

y = -3  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de "y" en la (8) :

-6x-9y = 39

-6x-9(-3) = 39

-6x+27 = 39

x = 39-27 /-6

x = -2   <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de (x, y) en la ecuación de 3 incógnitas (5) :

2x+3y+4z = 3

2(-2)+3(-3)+4z = 3

-4-9+4z = 3

z = 3+13 /4

z = 4   <-- Solución

>> Sustituyendo el valor de (x, y. z) en la ecuación de 4 incógnitas (1) :

x +y +z +u = 4

(-2)+(-3)+(4)+u = 4

-2-3+4+u = 4

-1+u = 4

u = 4+1

u = 5  <--  Solución.

La Solución General es  (x = -2  ,  y = -3  ,  z = 4  ,  u = 5)

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2) resolver el sistema

x + y+ z+  u = 10  (1)

2x- y-2z+2u = 2  (2)

x -2y+3z - u = 2  (3)

x+2y-4z+2u = 1  (4)

>> Combinando (1) y la (2)

Para eliminar la "y", únicamente sumamos :

x  +y + z +  u = 10

2x -y -2z +2u =  2

3x      - z +3u = 12  (5)  Ecuación con 3 incógnitas

>> Combinando la (1) con la (3)

Eliminando la "y", multiplicamos la (1) por 2 :

2x+2y+2z+2u = 20

. x- 2y+3z -  u =  2

3x      +5z + u = 22  (6)  Ecuación con 3 incógnitas

>> Combinando la (2) y la (4)

Eliminando la "y", multiplicamos la (2) por 2 :

4x -2y-4z+4u = 4

. x+2y-4z+2u = 1

5x      -8z+6u = 5  (7)  Ecuación con 3 incógnitas

>> Se forma un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

3x -z+3u = 12  (5)

3x+5z+u = 22  (6)

5x -8z+6u = 5  (7)

>> Combinando la (5) y la (6)

Eliminar la u, multiplicando la (6) por -3 :

3x   -   z +3u =  12

-9x -15z - 3u = -66

-6x  -16z       = -54  (8)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Combinando la (5) y la (7)

Eliminar la u, multiplicando la (5) por -2 :

-6x+2z-6u = -24

5x  -8z+6u =    5

- x  -6z       = -19   (9)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Formando un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

-6x -16z = -54   (8)

-  x -  6z = -19   (9)

>> Eliminando la x, multiplicando la (9) por -6 :

- 6x -16z =  -54

+6x+36z = 114

.        20z =  60

z = 60/20

z = 3  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de z en la ecuación (8)

-6x-16z = -54

-6x-16(3) = -54

-6x-48 = -54

x = -54+48 /-6

x = -6/-6

x = 1  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor (x, z) en la ecuación con 3 incógnitas (5) :

3x -z +3u = 12

3(1) -(3) +3u = 12

3-3 +3u = 12

3u = 12

u = 12/3

u = 4  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de (x, z, u) en la ecuación con 4 incógnitas (1) :

x+y+z+u = 10

(1)+y+(3)+(4) = 10

y+8 = 10

y = 10-8

y = 2  <--  Solución

La solución General es :  (x = 1  ,  y = 2  ,  z =3  ,  u = 4)

__________________________________________

Resolución por determinantes de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

.                      

Procedimiento:

1)      Se halla el valor de la determinante del sistema (D₃),  por el método de Sarrus, que será el denominador del valor de cada una de las incógnitas (x, y, z).

2)      Se halla el valor de “x”

3)      Se halla el valor de “y”

4)      Se halla el valor de “z”

5)      Se escribe la solución del sistema, que será las soluciones de “x” ,”y”, “z”

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Ejemplo a) Resolver por determinantes el siguiente sistema:

  x        y       z     ti                   (variables x,  y,  z,  ti = término independiente)
2x    + y  - 3 z = 12

5x   - 4y +7z = 27

10x +3y  -  z = 40

 1)      Determinante del sistema (D₃)

           x    y      z
.         |2    1     -3|

.         |5    -4     7|

D₃ =  |10   3    -1| = (8-45+70)-(120+42-5) = 33-(157) = 33-15.7 = -124 

.         |2     1    -3|

.         |5    -4     7|

2)      Hallar el valor de “x”:

            ti    y      z
.         |12   1    -3|

.         |27   -4    7|     (12)(-4)(-1)+(27)(3)(-3)+(40)(1)(7) - (-3)(-4)(40)-(7)(3)(12)-(-1)(1)(27) =

x =    |40    3    -1| =  48-243+280-480-252+27 = -620

.         |12    1   -3|     Entonces  -620/-124 =  5  <– Solución

.         |27   -4    7|

 3)      Hallar el valor de “y”:

          x      ti     z
.        |2     12   -3|

.        |5     27    7|      (2)(27)(-1)+(5)(40)(-3)+(10)(12)(7) - (-3)(27)(10)-(7)(40)(2)-(-1)(12)(5) =

y =   |10   40    -1| =  -54-600+840+810-560+60 = 496

.        |2     12    -3|     Entonces  496/-124 = -4  <– Solución

.        |5     27     7|

 4)      Hallar el valor de “z”:

           x       y     ti
 .        |2      1     12|

.        |5     -4     27|     (2)(-4)(40)+(5)(3)(12)+(10)(1)(27)-(12)(-4)(10)-(27)(3)(2)-(40)(1)(5) =

z =    |10    3     40| =   -320+180+270+480-162-200 = 248

.        |2      1     12|      Entonces  248/-124 = -2  <– Solución

.        |5     -4     27|

 Solución del sistema es:   x = 5  ,  y =-4  ,  z = -2

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Ejemplo b) Resolver por determinantes el siguiente sistema:

x       y      z      ti
x   +  y +  z =   4

2x - 3y +5z = - 5

3x +4y +  z = 10

1)      Determinante del sistema (D3)

           x     y     z
.         |1    1     1|

.         |2    -3     5|    (1)(-3)(7)+(2)(4)(1)+(3)(1)(5)-(1)(-3)(3)-(5)(4)(1)-(7)(1)(2) =

D3 =  |3     4     7| = -21+8+15+9-20-14 =  –23 

.         |1     1     1|

.         |2    -3     5||

 2)      Hallar el valor de “x”:

          ti      y      z
.         |4     1     1|

.         |-5   -3    5|     (4)(-3)(7)+(-5)(4)(1)+(10)(1)(5)-(1)(-3)(10)-(5)(4)(4)-(7)(1)(-5) =

x =    |10    4     7| =  -84-20+50+30-80+35 = -69

.         |4     1     1|     Entonces  -69/-23 =  3  <– Solución

.         |-5   -3    5|

 3)      Hallar el valor de “y”:

          x     ti      z
.        |1     4      1|

.        |2    -5      5|      (1)(-5)(7)+(2)(10)(1)+(3)(4)(5)-(1)(-5)(3)-(5)(10)(1)-(7)(4)(2) =

y =   |3     10     7| =   -35+20+60+15-50-56 = -46

.        |1     4      1|     Entonces  -46/-23 = 2  <– Solución

.        |2    -5      5|

 4)      Hallar el valor de “z”:

          x      y      ti
.        |1      1      4|

.        |2     -3     -5|     (1)(-3)(10)+(2)(4)(4)+(3)(1)(-5)-(4)(-3)(3)-(-5)(4)(1)-(10)(1)(2) =

z =    |3      4     10| =  -30+32-15+36+20-20 = 23

.        |1      1       4|      Entonces  23/-23 =  -1 <– Solución

.        |2     -3     -5|

 Solución del sistema es:   x = 3  ,  y = 2  ,  z = -1

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Ejercicio 188.

1)      Resolver por determinantes:

x       y      z     ti
x   +  y +  z = 11

x   -  y  +3z = 13

2x +2y  -  z = 7

a)      Determinante del sistema (D₃):

         x    y     z
.       |1    1    1|

.       |1   -1    3|

D₃ = |2    2   -1| = 1+2+6+2-6+1 = 6

.        |1    1    1|

.       |1   -1    3|

b)      Valor de “x” :

        ti    y    z
.     |11   1    1|

.     |13  -1    3|

x = |7     2   -1| =  11+26+21+7-66+13 = 12

.     |11   1    1|  Entonces 12/6 = 2 <– Solución

.     |13  -1    3|

c)   Valor de “y”

       x    ti     z
.     |1   11    1|

.     |1   13    3|

y = |2    7    -1| = -13+7+66-26-21+11 = 24

.     |1   11    1|  Entonces  24/6 = 4 <– Solución

.     |1   13    3|

d)   Valor de “z” :

       x     y    ti
.     |1    1   11|

.     |1   -1   13|

z = |2     2    7| = -7+22+26+22-26-7 = 30

.     |1    1   11|   Entonces  30/6 = 5 <– Solución

.     |1   -1   13|

La Solución del sistema es:  x = 2 , y = 4 , z = 5

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2)  Resolver por determinantes :

x     y     z    ti 
x + y  + z = -6

2x+ y  -  z = -1

x  -2y +3z = -6

a)   Determinante del sistema (D₃) :

         x     y     z
.       |1    1    1|

.       |2    1   -1|

D₃ = |1   -2    3| = 3-4-1-1-2-6 = -11

.       |1    1    1|

.       |2    1   -1|

b)   Hallar valor de “x”:

       ti     y     z
.     |-6    1    1|

.     |-1    1   -1|

x = |-6   -2    3| = -18+2+6+6+12+3 = 11

.     |-6    1    1|  Entonces 11/-11 = -1 <– Solución

.     |-1    1   -1|

c)   Hallar valor de “y”:

       x     ti     z
.     |1    -6    1|

.     |2    -1   -1|

y = |1    -6    3| = -3-12+6+1-6+36 = 22

.     |1    -6    1|  Entonces  22/-11 = -2  <– Solución

.     |2    -1   -1|

d)   Hallar el valor de “z”:

       x      y    ti
.     |1     1   -6|

.     |2     1   -1|

z = |1    -2   -6| = -6+24-1+6-2+12 = 33

.     |1     1   -6|  Entonces  33/-11 = -3   <– Solución

.     |2     1   -1|

La Solución del sistema es:  x = -1 , y = -2 , z = -3

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3)   Resolver por determinantes:

  x     y    z    ti          
2x+3y+4z = 3

2x+6y+8z = 5

4x+9y-4z = 4

a)   Determinante del sistema (D₃):
          x     y      z

.        |2     3     4|

.        |2     6     8|

D₃ = |4     9   -4| = -48+72+96-96-144+24 = -96

.        |2     3     4|

.        |2     6     8|

b)   Hallar valor de “x”:

        ti      y     z

.       |3     3     4|

.       |5     6     8|

x =   |4     9    -4| = -72+180+96-96-216+60 = -48

.       |3     3     4|  Entonces  -48/-96 = 1/2 <– Solución

.       |5     6     8|

c)    Hallar el valor de “y”:

         x     ti     z

.       |2     3     4|

.       |2     5     8|

y =   |4     4    -4| = -40+32+96-80-64+24 = -32

.       |2     3     4|    Entonces -32/-96 = 1/3 <– Solución

.       |2     5     8|

d)    Hallar valor de “z”:

         x     y     ti

.       |2     3     3|

.       |2     6     5|

z =   |4     9     4| = 48+54+60-72-90-24 = -24

.       |2     3     3|    Entonces  -24/-96 = ¼ <– Solución

.       |2     6     5|

La Solución del sistema es:   x = 1/2 , y = 1/3 , z = ¼

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4)    Resolver por determinantes:

4x -y +z=4

2y-z+2x=2

6x+3z-2y=12

Se ordenan por x,y,z:

. x     y     z    ti 
4x –  y + z = 4

2x+2y –  z =  2

6x-2y +3z = 12

a)    Determinante del sistema (D₃):

        x       y     z
.       |4     -1    1|

.       |2      2   -1|

D₃ = |6    -2     3| = 24-4+6-12-8+6 = 12

.       |4    -1     1|

.       |2     2    -1|

b)    Hallar valor de “x”:

         ti     y      z
.       |4    -1     1|

.       |2     2    -1|

x =   |12  -2    3| = 24-4+12-24-8+6 = 6

.       |4    -1     1|    Entonces  6/12 = ½  <– Solución 

.       |2     2    -1|

c)     Hallar valor de “y”:

         x     ti       z
.       |4     4      1|

.       |2     2     -1|

y =   |6    12     3| = 24+24-24-12+48-24 = 36

.       |4     4      1|     Entonces   36/12 = 3  <– Solución

.       |2     2     -1|

d)    Hallar valor de “z”:

         x     y      ti
.       |4    -1      4|

.       |2     2      2|

z =   |6    -2    12| = 96-16-12-48+16+24 = 60

.       |4    -1      4|    Entonces  60/12 = 5  <– Solución

.       |2     2      2|

La Solución del sistema es:  x = ½ , y = 3 , z = 5

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