Ecuaciones inderterminadas, cuando se busca la Solución General.

 Otros ejemplos de ecuaciones indeterminadas cuando se condicionan los valores para la variable. Para encontrar la solución general.

a) Resolver 5x +7y = 128, para valores enteros y positivos ≠ 0.

Despejando x por tener el menor coeficiente:

x = 128 -7y / 5

Descomponemos 128  y  7y en dos sumandos cada uno, de los cuales uno sea el mayor múltiplo de 5 que contenga cada uno, y simplificamos:

x = 125+3 -5y -2y / 5

x = 125/5 -5y/5 + 3/5 -2y/5

x = 25 -y + 3-2y/5

Ahora se convierte (3-2y)/5 en una expresión entera:

Se multiplica el numerador 3-2y por un número tal que al dividir el coeficiente de "y" nos dé un residuo de 1y; en este caso multiplicamos por 3 el numerador:

3(3-2y)/5 = (9-6y)/5 

descomponemos los coeficientes 9  y  6y en dos sumandos cada uno, de tal manera que uno de cada sumando sea múltiplo de 5:

(5+4-5y-y)/5 = 5/5 -5y/5 +(4-y)/5 = 1-y + (4-y) /5

Si ya tenemos los valores enteros 1 y -y, necesitamos convertir a entero (4-y) /5; para ello nombramos esta fracción como "m" y despejamos:

4-y/5 = m

4-y = 5m

-y = 5m-4

-> y = 4-5m (1° resultado)

Sustituyendo el valor de "y" en la ecuación original:

5x+7y=128

5x+7(4-5m) = 128

5x +28 -35m = 128

5x = 128 -28 -35m

x = 100-35m / 5

x = 25 -7m  (2° resultado)

Con los resultados (1) y (2) tenemos:

 "m" es entero.

Damos valores a la "m" para obtener valores para "x" y "y".

Si algún valor de las variables da negativo, se desecha la solución.

Probando valores positivos para "m":

Si m = 0  -> 

x = 20+7m -> x = 20 +7(0) -> x = 20

y = 4-5m -> y = 4-5(0) -> y = 4        Solución (20 , 4)

Si m = 1   ->

x = 20+7m -> x = 20 +7(1) -> x = 27

y = 4-5m -> y = 4 -5(1) -> y = -1   ( se desecha m = 1, porque la "y" da negativa) 

Nota: Todos los valores para "m" mayores que 1 también serán negativos. 

Probando con valores negativos para "m":

Si m = -1 ->   

x = 20 +7m -> x = 20 +7(-1) -> x = 13

y = 4-5m -> y = 4 -5(-1) -> y = 9     Solución (13 , 9)

Si m = -2 ->

x = 20 +7m -> x = 20 +7(-2) -> x = 6

y = 4-5m -> y = 4 -5(-2) -> y = 14     Solución (6 , 14)

Si m = -3 ->

x = 20 +7m -> x = 20 +7(-3) -> x = -1

y = 4 -5m -> y = 4 -5(-3) -> y = 9          Se desecha porque el valor de x es negativo.   

La solución general para la ecuación 5x+7y=128 son [x=20, y=4,  ;  x=13, y=9  :  x=6, y=14]

b) Resolver 7x -12y = 17 para valores enteros y positivos.

Despejando x:

x = 17+12y / 7

Descomponiendo 17+12y /7

x = 14 +3 +7y +5y / 7

x = 14/7 +7y/7 +(3+5y) /7

Simplificando:

x = 2 +y + (3+5y)/7

x -2 -y = (3+5y)/7

Resolvemos (3+5y)/7 para convertirlo en entero:

Multiplicando el numerador por 3 para que el producto de 3(5y) sea divisible entre 7 y tenga un residuo de 1y:

3(3+5y) /7

(9 +15y) /7 -> 7/7 +14y/7 + 2/7 +1y/7 

-> 1 +2y + (y+2)/7

Para que la expresión y+2/7 sea entera la sustituimos por "m" y despejamos la nueva expresión:

y+2/7 = m

despejamos la "y"

y+2 = 7m

∴ y =7m-2  (resultado para y)

Sustituimos el valor de "y" en la ecuación 7x-12y=17 dada para encontrar un valor para "x":

-> 7x-12(7m-2)=17

7x -84m +24 = 17

7x = 84m +17-24

x = (84m -7) /7

x = 12m -1   (resultado para x)

Las soluciones parciales son: 

Buscamos solución general para "x" y "y" dando valores a "m":

Si m = -1 ->

x=12(-1)-1 -> x=-12-1 -> x = -13

y=7(-1)-2 -> y = -9  Se  (desechan estas soluciones.)

Si m = 0 ->

x=12(0)-1 -> x= -1

y=7(0)-2 -> y = -2     (se desechan estas soluciones)

Si m = 1 ->

x=12(1)-1 ->  x = 11

y=7(1)-2 -> y = 5        Solución (11 , 5)

Si m = 2 ->

x=12(2)-1 ->  x = 23

y=7(2)-2 -> y = 12       Solución (23 , 12)

Si m = 3 ->

x=12(3)-1 ->  x = 35

y=7(3)-2 -> y = 19        Solución (35 , 19)

Si m = 4 ->

x=12(4)-1 -> x = 47

y=7(4)-2 -> y = 26         Solución (47 , 26)

y así sucesivamente a valores positivos para "m".

La solución general es:

 [x=12m-1, y=7m-2  ;   x=11 , y=5  ;  x=23, y=12  ;  x=35, y=19  ;  x=47, y=26]

__________________________________

Ejercicio 173.

Hallar la solución general y los tres menores pares de valores enteros y positivos ≠ 0. 

19)  3x -4y = 5

x = 5 +4y /3

x = 3 +2 +3y +y /3

x = 3/3 +3y/3 + 2+y/3

⇒ 2+y/3 = m

2+y = 3m

∴ y = 3m -2    (resultado para la y)

⇒ Sustituyendo en 3x -4y = 5

3x -4(3m-2) = 5

3x -12m +8 = 5

x = 12m +5-8 /3

x = 12m -3 /3

x = 4m -1    (resultado para la x)

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m= 1 ⇒

En x = 4m-1  ⇒ x= 4(1) -1  ⇒ x= 3

En y =3m-2  ⇒ y = 3(1)-2  ⇒ y = 1

Si m = 2 ⇒

En x = 4m -1  ⇒ x = 4(2) -1  ⇒ x = 7

En y = 3m-2  ⇒ y = 3(2) -2  ⇒ y = 4

Si m = 3 ⇒

En x = 4m-1  ⇒ x= 4(3) -1  ⇒ x= 11

En y =3m-2  ⇒ y = 3(3)-2  ⇒ y = 7

Solución: 4m-1,  3m-2.  ;  x=3, y=1  ;   x=7, y=4  ;  x=11, y=7

____________________________

20) 5x -8y = 1

x = 1 +8y /5

x = 1 +5y +3y /5

x = 1/5 +5y/5 +3y/5

x = y + (1+3y)/5

⇒1+3y/5 = 2(1+3y)/5  ⇒ 2+6y /5  ⇒ 2 +5y +y /5   

⇒5y/5 +2+y/5  ⇒ y  + 2+y /5

2+y / 5 = m 

∴ y = 5m-2   Resultado para y

 Sustituyendo "y" en 5x-8y = 1

5x -8(5m-2) = 1

5x -40m +16 = 1

x = 40m +1-16 / 5

x = 8m -3   Resultado para x.

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 8m-3 ⇒ x = 8(1)-3 ⇒ x = 5

y = 5m-2 ⇒  5(1)-2  ⇒  y = 3

Si m = 2 ⇒

x = 8m-3  ⇒  x = 8(2)-3  ⇒  x = 13

y = 5m-2  ⇒  y = 5(2)-2  ⇒  y = 8

Si m = 3 ⇒

x = 8m-3  ⇒  x = 8(3)-3  ⇒  x = 21

y = 5m-2  ⇒  y = 5(3)-2  ⇒  y = 13

Solución:  8m-3, 5m-2  ;  x=5, y=3  ;  x=13, y=8  ;  x=21, y=13.

________________________________

22)  11x-12y = 0

x = 12y/11

⇒ x =11y+y /11 ⇒  x = 11y/11+y/11  ⇒ x = y + y/11

⇒ y/11 = m

∴ y = 11m    resultado para y

Sustituyendo "y" en 11x-12y = 0

11x -12(11m) = 0 

11x -132m = 0

x = 132m/11 

x = 12m    resultado para x

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 12m  ⇒  x = 12(1)  ⇒  x = 12

y = 11m  ⇒  y = 11(1)  ⇒  y = 11

Si m = 2 ⇒

x = 12m  ⇒  x = 12(2)  ⇒  x = 24

y = 11m  ⇒  y = 12(2)  ⇒  y = 22

Si m = 3 ⇒

x = 12m  ⇒  x = 12(3)  ⇒  x = 36

y = 11m  ⇒  y = 11(3)  ⇒  y = 33

Solución:  12m, 11m  ;  x=12, y=11  ;  x=24, y=22  ;  x=36, y=33.

____________________________

23)  14x -17y = 32

x = 32+17y /14

x = 28 +4 +14y +3y /14  ⇒  x = 28/14 +14y/14 + 4+3y/14

⇒ 2 +y + 4+3y /14

⇒ 4+3y /14 = 5(4+3y )/14 = 20 +15y /14

= 14 +6 +14y +y /14 = 14/14 + 14y/14 +6/14 +y/14

= 1 +y + 6+y /14

⇒ 6+y/14 = m 

∴ y = 14m-6   resultado para y

Sustituyendo "y" en 14x-17y = 32

14x -17(14m-6) = 32

14x -238m +102 =32

14x = 238m +32-102

x = 238m -70 /14

x = 17m -5   resultado para x

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 17m-5  ⇒  x = 17(1)-5  ⇒  x = 12

y = 14m-6  ⇒  y = 14(1)-6  ⇒  y = 8

Si m = 2 ⇒

x = 17m-5  ⇒  x = 17(2)-5  ⇒  x = 29

y = 14m-6  ⇒  y = 14(2)-6  ⇒  y = 22

Si m = 3 ⇒

x = 17m-5  ⇒  x = 17(3)-5  ⇒  x = 46

y = 14m-6  ⇒  y = 14(3)-6  ⇒  y = 36

Solución: x=17m-5, y=14m-6  ;  x=12, y=8  ;  x=29, y=22  ;  x=46, y=36.  

____________________________

24)  7x -11y = 83

x = 83 +11y / 7

x = 77 + 6 +7y +4y /7

x = 77/7 +7y/7 +6/7+ 4y/7

x = 11 +y + 6+4y /7

⇒ 6+4y /7 = 2(6+4y) /7 = 12 +8y /7 = 7+5 +7y +y /5

= 7/7 +7y/7 + 5/7 +y/5 = 1 +y + 5+y/7

⇒ 5+y/ 7 = m

∴  y = 7m -5   resultado para y

Sustituyendo "y" en 7x-11y=83

7x -11(7m-5) = 83

7x -77m +55 = 83

7x = 77m +83 -55

x = 77m +28 / 7

x = 11m +4   resultado para x.

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 11m+4  ⇒  x = 11(1) +4  ⇒  x = 15

y = 7m-5  ⇒  y = 7(1) -5  ⇒  y = 2

Si m = 2 ⇒

x = 11m+4  ⇒  x = 11(2) +4  ⇒  x = 26

y = 7m-5  ⇒  y = 7(2) -5  ⇒  y = 9

Si m = 3 ⇒

x = 11m+4  ⇒  x = 11(3) +4  ⇒  x = 37

y = 7m-5  ⇒  y = 7(3) -5  ⇒  y = 16

Solución: 11m+4, 7m-5  ;  x=15, y=2  ;  x=26, y=9  ;  x=37, y=16.

______________________________

Ecuaciones Indeterminadas.

Son todas las ecuaciones de 1er. grado con dos incógnitas; cuyas soluciones de las variables satisfacen la ecuación. Estas son ilimitadas.

Por ejemplo, sin condicionantes:  sea la ecuación  2x+3y=12

Despejamos en función de la variable "y":

3y = 12 -2x

y = 12-2x / 3

Sustituyendo el valor de "x" en la función  y = 12-2x / 3

Si x = 0 -> y =  12-2(0) /3 -> y = 12/3 -> y = 4     [(Solución (0, 4)]

Si x = 1 -> y = 12-2(1) /3 -> y = 10/3 -> y = 3¹/³  [Solución (1, 3¹/³)] 

Si x = 2 -> y = 12-2(2) /3 -> y = 8/3 -> y = 2²/³    [Solución (2, 2²/³)]

Si x = 3 -> y = 12 -2(3) / 3 -> y = 6/3 -> y = 2      [Solución (3, 2) ]

y así sucesivamente.

Todos los pares de soluciones deben satisfacer a la ecuación.

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a hora bien, si a las ecuaciones indeterninadas les fijamos condicionantes, como por ejemplo que sean enteras y positivas, el número de soluciones será:

Limitado; cuando en la ecuación original el término que contiene la "x" está conectado con el término que contiene la "y" por medio del signo +.

Ilimitado, cuando en la ecuación original el término que contiene la "x" está conectado con el término que contiene la y por medio del signo - .

Veamos un ejemplo de una ecuación indeterminada cuando está sujeta a una o varias condiciones:

1) Resolver  x + y = 4, para valores enteros y positivos ≠ 0, para la "x".

Despejamos "y":

y = 4 -x

En estos casos los valores para "x" no pueden ser iguales o mayores que el valor positivo constante (4)

Si x = 3 -> y = 4-(3) -> y = 1   Solución (3, 1)

Si x = 2 -> y = 4-(2) -> y = 2   Solución (2, 2)

Si x = 1 -> y = 4-(1) -> y = 3   Solución (1,  3)

________________________________________

Ejercicio 173.

Hallar las soluciones enteras y positivas, diferentes de cero:

1) x +y = 5

⇒ y = 5 -x

Si x = 1 ⇒

y = 5 - (1)

y = 4     Solución (1, 4)

Si x = 2 ⇒

y = 5 - (2)

y = 3     Solución (2, 3)

Si x = 3 ⇒

y = 5 - (3)

y = 2     Solución (3, 2)

Si x = 4 ⇒

y = 5 - (4) 

y = 1     Solución (4 , 1) 

____________________________

2) 2x +3y = 37

⇒ x = 37 - 3y /2

Si y = 1 ⇒

x = 37 - 3(1) / 2

x = 37 - 3 / 2

x = 34/2 = 17     Solución (17, 1)

Si y = 3 ⇒

x = 37  -3(3) / 2

x = 14                Solución (14, 3)

Si y = 5 ⇒

x = 37 - 3(5) /2

x = 11                 Solución (11, 5)

Si y = 7 ⇒

x = 37 - 3(7) /2

x = 8                    Solución (8, 7)

Si y = 9 ⇒

x = 37 - 3(9) /2

x = 5                    Solución (5, 9)

Si y = 11 ⇒

x = 37 - 3(11) /2

x = 2                   Solución (2, 11)

___________________________

3)  3x+5y = 43

x = 43 -5y /3

Si y = 2 ⇒

x = 43 -5(2) / 3

x = 11                 Solución (11, 2)

Si y = 5 ⇒

x = 43 -5(5) /3 

x = 6                   Solución (6, 5)

Si y = 8 ⇒

x = 43 -5(8) /3

x = 1                    Solución (1, 8)

___________________________

4)  x +3y = 9

x = 9 -3y

Si y = 1 ⇒

x = 9 -3(1)

x = 6              Solución (6, 1)

Si y = 2 ⇒

x = 9 -3(2)

x = 3               Solución (3, 2)

____________________________

5)  7x +8y = 115

x = 115 -8y /7

Si  y = 3 ⇒

x = 115 -8(3) /7

x = 13                 Solución (13, 3)

Si y = 10 ⇒

x = 115 -8(10) /7

x = 5                    Solución (5, 10)

_____________________________

6) 15x +7y = 136

y = 136 -15x /7

Si x = 3  ⇒

y = 136 -15(3) / 7

y = 136 -45 / 7

y = 13                    Solución (3, 13)

_____________________________

7)  x +5y = 24

x = 24 -5y

Si y = 1 ⇒

x = 24 -5(1)

x = 19             Solución (19, 1)

Si y = 2 ⇒

x = 24 -5(2)

x = 14             Solución (14, 2)

Si y = 3 ⇒

x = 24 -5(3)

x = 9                Solución (9, 3)

Si y = 4 ⇒

x = 24 -5(4)

x = 4                Solución (4, 4 )

_____________________________

8)  9x +11y = 203

x = 203 -11y / 9

Si y = 7 ⇒

x = 203 -11(7) /9

x = 14                    Solución (14, 7)

Si y = 16 ⇒

x = 203 -11(16) /9

x = 3                       Solución (3, 16)

_____________________________

9)  5x +2y = 73

y = 73 -5x /2

Si x = 1 ⇒

y = 73-5(1) / 2

y = 34                  Solución (1, 34)

Si x = 3 ⇒

y = 73 -5(3) /2

y = 29                  Solución (3, 29)

Si x = 5 ⇒

y = 73 -5(5) / 2

y = 24                   Solución (5, 24)

Si x = 7  ⇒

y = 73 -5(7) /2

y = 19                    Solución (7, 19)

Si x = 9 ⇒

y = 73 -5(9) /2

y = 14                    Solución (9, 14)

Si x = 11 ⇒

y = 73 -5(11) /2

y = 9                      Solución (11, 9)

Si x = 13 ⇒

y = 73 -5(13) /2

y = 4                      Solución (13, 4)

____________________________

10) 8x +13y = 162

x = 162 -13y /8

Si y = 2 ⇒

x = 162 -13(2) /8

x = 17                     Solución (17, 2) 

Si y = 10 ⇒

x = 162 -13(10) /8

x = 4                       Solución (4, 10)

_____________________________

11)  7x +5y = 104

y = 104 -7x / 5

Si x = 2 ⇒

y = 104 -7(2) / 5

y = 18                   Solución (2, 18)

Si x = 7 ⇒

y = 104 -7(7) / 5

y = 11                    Solución (7, 11)

Si x = 12 ⇒

y = 104 -7(12) /5

y = 4                      Solución (12, 4)

____________________________

12)  10x +y = 32

y = 32 -10x 

Si x = 1 ⇒

y = 32 -10(1)

y = 22                 Solución (1, 22)

Si x = 2 ⇒

y = 32- 10(2) 

y = 12                 Solución (2, 12)

Si x = 3 ⇒

y = 32 -10(3)

y = 2                   Solución (3, 2)

____________________________

Problemas sobre ecuaciones fraccionarias. Ejercicio 149.

 Ejemplo:

A tenía cierta suma de dinero.  Gastó $30 en libros y los 3/4 de lo que le quedaba después del gasto anterior en ropa. Si le quedan $30. ¿ cuánto tenía al principio? 

Datos:

Libros: x-30   ;   Ropa 3/4(x-30)   ;   le quedan $30.

x-30 -3/4(x-30) = 30

x-30 -3x/4 + 90/4 = 30,  Si el m.c.d. es 4 ->

4(x-30) -3x +90 =4(30)

4x-120-3x+90 = 120

4x-3x = 120+120-90

x = 150

Por tanto, A tenía al principio $150.

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Ejercicio 149.

Resuelve los problemas siguientes:

1) Tenía cierta suma de dinero.  Gasté $20 y presté los 2/3 de lo que me quedaba.  Si ahora tengo $10.  

¿ cuánto tenía al principio?

Datos:

Gaste:  x-20   ;    presté 2/3(x-20)   ;   ahora tengo $10

x-20 -2/3(x-20) = 10

x-20 -2x/3 +40/3 = 10,  Si el m.c.d. es 3 ->

3(x-20) -2x +40 = 3(10)

3x-60-2x+40 = 30

3x-2x = 30+60-40

x = 50

Tenía al principio $50.  

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 2) Después de gastar la mitad de lo que tenía y de prestar la mitad de lo que me quedó, tengo 21 quetzales. ¿ Cuánto tenía al principio?

Datos: 

Gasté x/2   ;   Presté  1/2(x/2)  ;  tengo Q21.  

x/2 - 1/2(x/2) = 21

x/2 - x/4 = 21 -> Si el m.c.d. es 4 ->

2x - x = 4(21)

x = 84

Tenía al principio Q84.

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3) Tengo cierta suma de dinero.  Si me pagan $7 que me deben, puedo gastar los 4/5 de mi nuevo capital y me quedaran $20.  ¿ Cuánto tengo ahora?

Datos:

x+7  ;  -4/5(x+7)  ;  me quedaran $20

x+7 -4/5(x+7) = 20

x+7 - 4x/5 - 28/5 = 20 -> Si el m.c.d. es 5 

5x +5(7) -4x -28 = 5(20)

5x +35 -4x -28 = 100

x = 100 +28 -35

x = 93

 Ahora tengo $93

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4) Gasté los 2/5 de lo que tenía y presté 5/6 de lo que me quedó.  Si aún tengo 500 bolívares, ¿ cuánto tenía al principio?

Datos:

x-2x/5  ;   -5/6(x-2x/5)   ;   500 bs tengo

x -2x/5 -5x/6 +x/3 = 500  Si el m.c.d. es 30 ->

30(x) -6(2x) -5(5x) +10(x) = 30(500)

30x -12x -25x +10x = 15000

40x-37x = 15000

3x = 15000

x = 15000/3 = 5000 

Tenía al principio 5000 bs.

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5) Los 4/5 de las aves de una granja son palomas; los 3/4 del resto gallinas y las 4 aves restantes gallos.  ¿ Cuántas aves hay en la granja?

Datos:

Aves: x   ;   Palomas:  4x/5   ;   gallinas 3/4(x -4x/5)  ;  gallos 4

x -4x/5 - 3/4(x -4x/5) -4 = 0 

x -4x/5 -3x/4 +3x/5 -4 = 0,  Si el m.c.d. es 20 ->

20x -4(4x) -5(3x) +4(3) -80 = 0

20x -16x -15x +12x -80 = 0

32x -31x = 80

x = 80

En la granja hay 80 aves.

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6)  Gasté 4/5 de lo que tenía; perdí 2/3 de lo que me quedó; se me perdieron 8 soles y me quedé sin nada. ¿ Cuánto tenía al principio?

Datos:

x-4x/5  ;  2/3(x-2x/5) -8  ;  tengo 0 Soles. ->

x -4x/5 -2/3(x-4x/5) -8 = 0

x -4x/5 -2x/3 + 8x/15 -8 = 0, Si el m.c.d. es 15 ->

15(x) -3(4x) -5(2x) +8x -15(8) = 0

15x -12x -10x +8x -120 = 0

23x-22x-120 = 0

x = 120.

Tenía al principio 120 soles.

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Problemas sobre ecuaciones fraccionarias. Ejercicio 148.

Ejemplo: 

En tres días un hombre ganó 185 Sucres.  Si cada día ganó los 3/4 de lo que ganó el día anterior, ¿ cuánto ganó en cada uno de los tres días?

Datos: 

x: lo que ganó el primer día.

3x/4: lo que ganó el segundo día.

3/4(3x/4): lo que ganó el tercer día.

→ x+3x/4+3/4(3x/4) = 185

x+3x/4+9x/16 = 185

Eliminando denominadores, el m.c.d. = 16:

16(x)+4(3x)+1(9x) = 16(185)

16x + 12x + 9x = 2960

37x = 2960

x = 2960/37

x = 80 → 

3x/4 = 3(80)/4 = 60

9x/16 =9(80)/16 = 45

Solución:  80, 60 y 45 sucres.

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Ejercicio 148.

Resolver los siguientes problemas:

1) En tres días un hombre ganó $175.  Si cada día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior, ¿ cuánto ganó cada día?

Datos:

x: 1er. día  ;   x/2: 2º día  ;  (x/2)/2= x/4 →

x + x/2 + x/4 = 175

4(x) + 2(x) +x = 4(175)

4x +2x +x = 700

7x = 700

x = 700/7 = 100 →

El primer día ganó x = $100.

El segundo día ganó x/2 =100/2 = $50.

El tercer día ganó x/4 = 100/4 = $25.

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2) El jueves perdí los 3/5 de lo que perdí el miércoles y el viernes los 5/6 de lo que perdí el jueves.  Si en los tres días perdí $252. ¿ cuánto perdí cada día?

Datos: 

x:  miércoles  ;  jueves: 3x/5  ;  viernes:  5/6(3x/5) ;  en los 3 días $252.

x + 3x/5 + 5/6(3x/5) = 252

x +3x/5 + x/2 = 252

m.c.d. = 10 →

10(x) + 2(3x) + 5(x) = 10(252)

10x +6x + 5x = 2520

21x = 2520

x = 2520/21 = 120 →

Miércoles perdí $120

Jueves perdí 3(120)/5 = $72.

Viernes perdí 120/2 = $60.

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3) B tiene 2/3 de lo que tiene A y C 3/5 de lo que tiene B.  Si entre los tres tienen 248 sucres, ¿ cuánto tiene cada uno?

Datos:

A: x   ;   B: 2x/3  ;  C: 3/5(2x/3)  ;  los tres tienen 248 sucres →

x + 2x/3 + 3/5(2x/3) = 248

x + 2x/3 + 2x/5 = 248

el m.c.d. = 15 →

15(x) + 5(2x + 3(2x) = 15(248)

15x + 10x + 6x = 3720

31x = 3720

x = 3720/31 = 120 →

A tiene 120 sucres

B tiene 2(120)/3 = 80 sucres

C tiene 2(120)/5 = 48 sucres.

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 4) La edad de B es los 3/5 de la de A y la de C los 3/8 de la de B.  Si las tres edades suman 73 años, hallar las edades respectivas.

Datos:

A: x  ;  B: 3x/5  ;  3/8(3x/5) = 9x/40  ; las tres edades = 73 →

x + 3x/5 + 3/8(3x/5) = 73

x + 3x/5 + 9x/40 = 73

m.c.d. = 40 →

40(x) + 8(3x) + 9x = 40(73)

40x + 24x +9x = 2920

73x = 2920

x = 2920/73 = 40 →

A tiene 40 años

B tiene 3(40)/5 = 24 años

C tiene 9(40)/40 = 9 años.

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5) En 4 días un hombre recorrió 120 Km. Si cada día recorrió 1/3 de lo que recorrió el día anterior, ¿ cuántos Km recorrió en cada día?

Datos:

1º día: x  ;  2º día:  x/3  ;  1/3(x/3)= x/9  ;  1/3(x/9)= x/27  ;   total 4 días 120 Km →

x + x/3 + x/9 + x/27 = 120

m.c.d. de 3, 9 y 27 es 27 →

27(x) + 9(x) + 3(x) + x = 27(120)

27x +9x +3x +x = 3240

40x = 3240

x = 3240/40 = 81 →

1º día : x = 81 Km

2º día : x/3 = 81/3 = 27 Km

3º día : x/9 = 81/9 = 9 Km

4º día : x/27 = 81/27 = 3 Km.

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6) En cuatro semanas un avión recorrió 4641 Km.  Si cada semana recorrió los 11/10 de lo que recorrió la semana anterior, ¿ cuántos Km recorrió en cada semana?

Datos:

1ª S: x  ;  2ª S: 11x/10  ;  3ª S: 11/10(11x/10)= 121x/100  ;  

4ª S: 11/10(121x/100) = 1331x/1000  ;   en cuatro semanas 4641 Km →

x + 11x/10 + 121x/100 + 1331x/1000 = 4641

El m.c.d. de 10, 100 y 1000 es 1000 →

1000(x) + 100(11x) + 10(121x) + 1331 = 1000(4641)

1000x + 1100x + 1210x + 1331x = 4641000

4641x = 4641000

x = 4641000/4641 = 1000 →

1ª semana recorrió x = 1000 Km

2ª semana recorrió 11(1000)/10 = 11000/10 = 1100 Km

3ª semana recorrió 121(1000)/100 = 1210 Km

4ª semana recorrió 1331(1000)/1000 = 1331 Km

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Problemas sobre ecuaciones fraccionarias. Ejercicio 147.

Ejemplo. 

La suma de dos números es 77, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 8.  Hallar los números.

Datos:  x = mayor  ,   77-x = menor.

Al dividir el mayor entre el menor, el cociente es 2 más el residuo 8; pero si al dividendo x le restamos el residuo, entonces la división es exacta para el cociente 2,  x-8 / 77-x = 2, y de esta manera podemos encontrar el valor de la variable x. 

->

x-8 / 77-x = 2

x-8 = 2(77-x)

x-8 = 154-2x

2x+x= 154+8

3x = 162

x = 162/3 = 54

x = 54  

77-x = 77-54 = 23 

Por lo tanto los números buscados son 54 y 23.

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Ejercicio 147.

Resolver:

1) La suma de dos números es 59, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 5.  Hallar los números.

Datos:  x ; mayor  ,   59-x =menor.   , cociente = 2  ,  residuo = 5

x-5 / 59-x = 2

x-5 = 2(59-x) 

x-5 = 118 -2x

x+2x = 118+5

3x = 123

x = 123/3 = 41

-> 59-x = 59-41 = 18

Solución: los números son 41 y 18.

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2) La suma de dos números es 436, y si el mayor divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 73.  Hallar los números.

Datos: x = mayor  ,  436-x = menor  ,  cociente =2  , residuo = 73  ->

x-73 / 436-x = 2

x-73 = 2(436-x)  

x-72 / 872 -2x

x +2x = 872+73

3x = 945

x = 945/3 = 315 

-> 436-x = 436-315 = 121

Solución: los números buscados son 315 y 121

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3) La diferencia de dos números es 44, y si el mayor divide por el menor, el cociente es 3 y el residuo 2.  Hallar los números.

Datos:  x: mayor  , x-44 : menor  ,  cociente = 3  ,  residuo = 2 ->

x-2 / x-44 = 3

x-2 = 3(x-44)

x-2 = 3x -132

x-3x = -132+2

-2x = -130

x = -130/-2 = 65

x-44 = 65-44 = 21

Solución: los números buscados son 65 y 21.

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4)  Un número excede a otro en 56. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 3 y el residuo 8.  Hallar los números.

Datos:  x: menor  ,  x+56: mayor  ,  cociente 3  ,  residuo 8.  ->

x+56-8 /x = 3

x +48  =3x

x -3x = -48

-2x = -48

x= -48/-2 = 24

x+46 = 24+56 = 80

Solución : los números son 24 y 80.

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5) Dividir 260 en dos partes tales que el duplo de la mayor dividido entre el triplo de la menor dé 2 de cociente y 40 de residuo.

Datos:  x: mayor  ,  260-x: menor  ,  cociente = 2  ,  residuo = 40.

y si el duplo de la mayor = 2x  y  el triplo de la menor = 3(260-x) ->

2x-40 / 3(260-x) = 2

2x-40 / 780 -3x = 2

2x-40 = 2(780-3x)

2x-40 = 1560 -6x

2x +6x = 1560+40 

8x = 1600

x = 1600/8 = 200

260-x = 260-200 = 60

Solución: los números son 200 y 60

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