Radicación de radicales.

.                        ³√‾⁴√27a³

Para extraer una raíz a un radical se multiplica el índice del radical por el índice de la raíz y se simplifica el resultado.
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Ejemplos:

a) Hallar la raíz cuadrada de ³√4a²

→ √‾³√4a²

= ⁶√4a²

= ⁶√2²a²

= ⁶/²√2a

= ³√2a Solución.

b) Hallar la raíz cúbica de 5√5

→ ³√‾5√5

= ³√‾√5²(5) (Se introdujo el coeficiente de la raíz cuadrada (5) dentro del signo radical)

= ³√‾√5³ ( Se efectuó la multiplicación)

= ⁶√5³ (Se multiplicaron los índices de la raíz(³) y del radical (²), para dejar un solo radical (⁶) )

= √5 (Se dividió el índice (⁶) entre el exponente (³) para simplificar el resultado (²) )

→ √5 es la Solución.

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Ejercicio 246.

Simplificar:

1) √‾³√a²

= ⁶√a²

= ⁶÷²√a

= ³√a Solución.

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3) ⁴√‾√81

= ⁸√‾81

= ⁸√‾3⁴

= ⁸÷⁴√‾3

= √‾3 Solución.

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6) ³√‾2√2

= ³√‾√2²(2)

= ³√‾√2³

= ⁶√‾2³

= ⁶÷³√‾2

= √‾2 Solución.

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Potenciación de radicales.

.                      (2 √3)²

Regla.

Para extraer una raíz a un radical se multiplica el índice del radical por el índice de la raíz y se simplifica el resultado.

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Ejemplos.

a) Elevar 5√2 y 4√3

(5√2)² = (5²)(√2²) = 25(2) = 50 Solución.

(4√3)² = (4²)(√3²) = 16(3) = 48 Solución.

Nota: Cuando el índice de la raíz y el exponente de la cantidad subradical son iguales, se elimina el signo radical, quedando únicamente la cantidad. √2² = 2 y √3² = 3.

b) Elevar al cubo ⁵√4x²

→ (⁵√4x²)³ = ⁵√(4x²)³ = ⁵√64x⁶

Simplificando ⁵√64x⁶:

= ⁵√(2)(32)(x)(x⁵)

= ⁵√(2)(2⁵)(x)(x⁵)

= 2x ⁵√2x Solución.

c) Elevar al cuadrado √5 -3√2

→ (√5 -3√2)²

= (√5)² -2(√5)(3√2) + (3√2)² (Se factorizó como Cuadrado de la diferencia de un binomio)

= 5 -6√10 +9(2)

= 5 -6√10 +18

= 23 -6√10 Solución.

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Ejercicio 245

Desarrollar el cuadrado de los monomios:

1) (4√2)² = 4²(√2²) = 16(2) = 32

4) (2 ³√4)² = (2²)(³√2²)² = (2)²(³√2⁴) = 4 ³√2³2¹ = 4(2) ³√2¹= 8³√2

Elevar al cuadrado:

13) √2 -√3

= √2² -√3²

= (√2)² - 2(√2)(√3) + (√3)²

= 2 -2√6 +3

= 2+3 - 2√6

= 5 -2√6 Solución.

17) √x + √x-1

= √x² + √(x-1)²

= (√x)² + 2(√x)(√x-1) + (√x-1)²

= x + 2√x²-x + x-1

= x + x -1 + 2√x²-x

= 2x-1 + 2√x²-x Solución.

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División de radicales de distinto índice.

.           ³√8a³b ÷ ⁴√4a³ = ⁶√8a³b²

Regla.

Se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como radicales del mismo índice.

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Ejemplo.

Dividir ³√4a² entre ⁴√2a

³√4a² ÷ ⁴√2a

> El m.c.m. de los índices 3 y 4 es 12. -->

³√4a² = ¹²√( 4a²)¹²÷³ = ¹²√( 4a²)⁴ = ¹²√256a⁸

⁴√2a = ¹²√( 2a)¹²÷⁴ = ¹²√( 2a)³ = ¹²√8a³

→ ¹²√256a⁸ ÷ ¹²√8a³

= ¹²√256a⁸/¹²√8a³

= ¹²√32a⁵ Solución.

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Ejercicio 244.

Dividir:

1) ³√2 ÷ √2

El m.c.m. de los índices 3 y 2 es 6. →

³√2 = ⁶√(2)² = ⁶√4

√2 = ⁶√(2)³ = ⁶√8

→ ⁶√4 ÷ ⁶√8

= ⁶√4/8

Simplificando:

= ⁶√4/8 =

= ⁶√(4/8)(8/8)

= ⁶√32/64

= ⁶√32/2⁶

= ½ ⁶√32 Solución.

__________________________________________

6) ⁶√18x³y⁴z⁵ ÷ ⁴√3x²y²z³

El m.c.m. de los índices 6 y 4 es 12. →

⁶√18x³y⁴z⁵ = ¹²√(18x³y⁴z⁵)² = ¹²√324x⁶y⁸z¹⁰

⁴√3x²y²z³ = ¹²√(3x²y²z³)³ = ¹²√27x⁶y⁶z⁹

→ ¹²√324x⁶y⁸z¹⁰ ÷ ¹²√27x⁶y⁶z⁹

= ¹²√324x⁶y⁸z¹⁰/27x⁶y⁶z⁹

= ¹²√12y²z Solución.

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7) ³√3m⁴ ÷ ⁹√27m²

> El m.c.m. e los índices es 9. →

³√3m⁴ = ⁹√(3m⁴)³ = ⁹√27m¹²

⁹√27m² = ⁹√27m²

→ ⁹√27m¹² ÷ ⁹√27m²

= ⁹√27m¹²/27m²

= ⁹√m¹⁰

> Simplificando:

⁹√m¹⁰ = ⁹√m⁹m¹

= m⁹√m Solución.

____________________________________________

División de radicales del mismo índice.

.                      2√3a ÷ 10√a = ¹/₅√3

Regla.

Se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, colocando el cociente de las cantidades subradicales bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.

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Ejemplo.

Dividir 2 ³√81x⁷ entre 3 ³√3x²

= ⅔ ³√81x⁷/3x² (Indicando las divisiones)

= ⅔ ³√27x⁵ (Se dividieron los coeficientes y la cantidad subradical)

= ⅔ ³√3³(x³)(x²) (Se factorizó o simplificó la cantidad subradical)

= ⅔ (3)(x) ³√x² (Se simplificó los resultados)

= 2x ³√x² Solución.

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Ejercicio 243.

Dividir:

1) 4√6 ÷ 2√3

= ⁴/₂ √⁶/₃

= 2√2 Solución.

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3) ½ √3xy ÷ ¾ √x

= ½ / ¾ √3xy/x (al simplificar se elimina la “x” del numerador con la del denominador)

= ⅔ √3y Solución.

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4) √75x²y³ ÷ 5√3xy

= 1/5√ 75x²y³/3xy

= 1/5√25xy²

= 1/5√5²xy²

= 1/5(5)(y)√x

= 1y√x = y√x Solución.

____________________________________________

5) 3 ³√16a⁵ ÷ 4 ³√2a²

= ¾ ³√16a⁵/2a²

= ¾ ³√8a³

= ¾ ³√2³a³

= ¾ (2)(a)

= 6a/4

= 3a/2 Solución.

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Multiplicación de radicales de distinto índice.

.                       

Regla.

Se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como radicales del mismo índice.

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Procedimiento:

1) Se encuentra el m.c.m de los índices, que será el mínimo común índice de los radicales.

2) Se multiplican los coeficientes de los radicales y se multiplican las cantidades subradicales entre sí.

3) Se simplifican el producto de los radicales, factorizándolo.

4) Se simplifican los resultados hasta llegar a la solución.

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Ejemplo:

Multiplicar 5√2a * ³√4a²b

> Encontrando el m.c.m de los índices ² y ³

→ el m.c.m de 2 y 3 es 6

> Convirtiendo los radicales dados a radicales con mismo índice:

5√2a = 5 ⁶√(2a)⁶÷² = 5 ⁶√(2a)³ = 5 ⁶√8a³

³√4a²b = ⁶√(4a²b) ⁶÷³ = ⁶√(4a²b)² = ⁶√16a⁴b²

> Multiplicando los radicales del mismo signo:

→ 5 ⁶√8a³ * ⁶√16a⁴b²

= (5)(1)⁶√(8a³)(16a⁴b²)

= 5 ⁶√128a⁷b²

> Simplificando:

5 ⁶√128a⁷b²

= 5 ⁶√(2)(2⁶)(a⁶)(a)(b²)

= 5(2)(a) ⁶√2ab²

= 10a ⁶√2ab² Solución.

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Ejercicio 242.

Multiplicar:

1) √x * ³√2x²

m.c.m de los indices 2 y 3 es 6.

> Convirtiendo a radicales del mismo índice:

√x = ⁶√(x) ⁶÷² = ⁶√(x)³ = ⁶√x³

³√2x² = ⁶√(2x²) ⁶÷³ = ⁶√(2x²)² = ⁶√4x⁴

> Multiplicando los radicales del mismo signo:

→ ⁶√x³ * ⁶√4x⁴

= ⁶√(x³)(4x⁴)

= ⁶√4x⁷

> Simplificando:

⁶√4x⁷

= ⁶√4(x⁶)(x)

= x ⁶√4x Solución.

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2) 3√2ab * 4 ⁴√8a³

m.c.m de los índices 2 y 4 es 4.

< Convirtiendo a radicales del mismo signo:

3√2ab = 3 ⁴√(2ab)⁴÷² = 3 ⁴√(2ab)² = 3 ⁴√4a²b²

4 ⁴√8a³ = 4 ⁴√(8a³) ⁴÷⁴ = 4 ⁴√(8a³)¹ = 4 ⁴√8a³

> Multiplicando los radicales del mismo signo:

→3 ⁴√4a²b² * 4 ⁴√8a³

= (3)(4) ⁴√(4)(8)(a²b²)(8a³)

= 12 ⁴√32a⁵b²

> Simplificando:

12 ⁴√32a⁵b²

= 12 ⁴√(2)(2⁴)(a⁴)(a)(b²)

= 12(2)(a) ⁴√2ab²

= 24a ⁴√2ab² Solución.

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6) ⅔ ³√4m² * ¾ ⁵√16m⁴n

m.c.m de los índices 3 y 5 es 15.

< Convirtiendo a radicales del mismo signo:

⅔ ³√4m² = ⅔ ¹⁵√(4m²) ¹⁵÷³ = 3⅔ ¹⁵√(4m²)⁵ = ⅔ ¹⁵√1024m¹⁰

¾ ⁵√16m⁴n = ¾ ¹⁵√(16m⁴n) ¹⁵÷⁵ = ¾ ¹⁵√(16m⁴n)³ = ¾ ¹⁵√4096m¹²n³

> Multiplicando los radicales del mismo índice:

→ ⅔ ¹⁵√1024m¹⁰ * ¾ ¹⁵√4096m¹²n³

= (⅔)(¾) ¹⁵√(1024m¹⁰ )(4096m¹²n³)

= ½ ¹⁵√4194304m²²n³

> Simplificando:

½ ¹⁵√4194304m²²n³

= ½ ¹⁵√(128)(2 ¹⁵)(m¹⁵)(m⁷)(n³)

= (½)(2)(m) ¹⁵√128m⁷n³

= m ¹⁵√128m⁷n³ Solución.

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