Simplificación de radicales. Caso I.

.                                3 √81x³y⁴ = 27xy² √x

Caso I.  Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice.

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Ejemplos:

 a) Simplificar √9a³

> Se factoriza la cantidad subradical para dejar factores con exponente igual al índice y poder sacarlos del radical:

√9a³ = √3²a²a = √3² * √a² * √a

> Sacando factores con exponente igual al índice del radical:

= 3a√a,  que es la solución.

b) Simplificar  2√75x⁴y⁵

> Factorizando la cantidad subradical:

2√75x⁴y⁵ =

= 2√5²*3(x²)²(y²)²*y

= 2√5²*√3*√(x²)²*√(y²)²*√y

= 2*5*x²*y²√3y

= 10x²y²√3y   Solución.

c) Simplificar  ¹⁄₇√49x³y⁷

> Factorizando la cantidad subradical:

¹⁄₇ √49x³y⁷ =

= ¹⁄₇ √7²x²x(y³)²y

= ¹⁄₇ √7²*√x²*√x*√(y³)²*√y

= ¹⁄₇*7*x*y³*√xy =

= xy³√xy  Solución.

d) Simplificar  4  ³√250a³b⁸

> Factorizando la cantidad subradical:

4 ³√250a³b⁸ =

= 4 ³√5³*2a³(b²)³b²

= 4* ³√5³ * ³√2 * ³√a³ * ³√(b²)³ * ³√b²

= 4*5*a*b² * ³√2b²

= 20ab² ³√2b²  Solución.

e) Simplificar  ³⁄₂  ⁴√32mn⁸

> Factorizando la cantidad subradical:

³⁄₂  ⁴√32mn⁸

= ³⁄₂  ⁴√2⁴*2m(n²)⁴

= ³⁄₂ ⁴√2⁴ * ⁴√2 * ⁴√m * ⁴√(n²)⁴

= ³⁄₂*2*n²  ⁴√2m

= 3n²  ⁴√2m  Solución.

f) Simplificar  √4a⁴-8a³b

> Factorizando  la cantidad subradical:

√4a⁴-8a³b =

= √4a³(a-2b)

=√2²*a²*a(a-2b)

= (2a)√a(a-2b)

= (2a)√(a²-2ab)  Solución.

g) Simplificar  √3x²-12x+12

> Factorizando la cantidad subradical:

√3x²-12x+12

= √3(x²-4x+4)

= √3(x-2)²

= (x-2)√3  Solución.

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Ejercicio 231.

1) Simplificar  √18

> Factorizando la cantidad subradical:

√18 =

= √3²*2

= √3²*√2

= 3√2  Solución.

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5) Simplificar  2 ⁴√243

> Factorizando la cantidad subradical:

2 ⁴√243 =

= 2 ⁴√3⁴*3

= 2 ⁴√3⁴*⁴√3

= 2*3*⁴√3

= 6 ⁴√3  Solución.

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6) Simplificar  √50a²b

> Factorizando la cantidad subradical:

√50a²b =

= √5²*2*a²*b

= √5²*√2*√a²*√b

= (5a)√2b  Solución.

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8)  Simplificar  ½ √108a⁵b⁷

> Factorizando la cantidad subradical:

½ √108a⁵b⁷

= ½ √6²*3*(a²)²*a*(b³)²*b

= ½ √6²*√3*√(a²)²*√a*√(b³)²*√b

= ½ *6*a²*b³√3ab

= 3a²b²√3ab  Solución.

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Potencias de polinomios con exponentes negativos y fraccionarios.

.                  

Para este tipo de potencias se aplica las reglas relativas para elevar un binomio a una potencia cualquiera y  en polinomio al cuadrado o al cubo, dependiendo del caso. Estas reglas también son aplicables a casos en que haya exponentes negativos y fraccionarios.

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Ejemplos:

a) Desarrollar (3a⁻³+b⁻¹⁄²)²

Este es un Binomio al cuadrado, entonces:

=(3a⁻³+b⁻¹⁄²)²

= (3a⁻³)² + 2(3a⁻³)(b⁻¹⁄²) + (b⁻¹⁄²)²

= 3²a⁻³ˣ²+2(3)(a⁻³)(b⁻¹⁄²)+b⁻¹⁄² ˣ²

= 9a⁻⁶ +6a⁻³b⁻¹⁄² +b⁻¹  Solución

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b) Desarrollar (x²⁄³-4y⁻²)³

Este un Binomio al cubo, entonces:

= (x³⁄⁴-4y⁻²)³

= (x³⁄⁴)³ -3(x²⁄³)²(4y⁻²)+3(x²⁄³)(4y⁻²)²-(4y⁻²)³

= x²⁄³ ˣ³-3(4)( x²⁄³ ˣ²)(y⁻²)+3(4²)( x²⁄³)(y⁻²ˣ²)-4³y⁻²ˣ³

=x² -12x⁴⁄³y⁻² +48x²⁄³y⁻⁴ -64y⁻⁶  Solución

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c) Desarrollar (a⁻²⁄³-√b)⁵

Este Binomio se aplica la fórmula del Binomio de Newton, pero antes debe convertirse la raíz en exponente fraccionario.

Convirtiendo el segundo término en exponente fraccionario:

(a⁻²⁄³-√b)⁵ = (a⁻²⁄³-b¹⁄²)⁵

Aplicando la fórmula del Binomio de Newton:

(a⁻²⁄³-b¹⁄²)⁵ =

= (a⁻²⁄³)⁵ -5(a⁻²⁄³)⁴( b¹⁄²)+10(a⁻²⁄³)³( b¹⁄²)²-10(a⁻²⁄³)²( b¹⁄²)³+5(a⁻²⁄³)( b¹⁄²)⁴-( b¹⁄²)⁵

=a⁻¹⁰⁄³ -5a⁻⁸⁄³b¹⁄² +10a⁻²b -10a⁻⁴⁄³b³⁄² +5a⁻²⁄³b² -b⁵⁄²  Solución

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d) Elevar al cuadrado (x³⁄⁴-x¹⁄⁴+x⁻¹⁄⁴)

Este es un Cuadrado de un Trinomio.

Aplicando la regla para el cuadrado de un polinomio:

(x³⁄⁴-x¹⁄⁴+x⁻¹⁄⁴)²

= (x³⁄⁴)²+(-x¹⁄⁴)²+( x⁻¹⁄⁴)² +2(x³⁄⁴)(-x¹⁄⁴)+2(x³⁄⁴)(x⁻¹⁄⁴)+2(-x¹⁄⁴)(x⁻¹⁄⁴)

= x³⁄² +x¹⁄² +x⁻¹⁄² -2x +2x¹⁄²-2

Ordenando:

= x³⁄² -2x +x¹⁄² +2x¹⁄² -2 +x⁻¹⁄²

Simplificando:

= x³⁄² -2x +3x¹⁄² -2 +x⁻¹⁄²  Solución.

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e) Elevar al cubo   a¹⁄³-2+a⁻¹⁄³

Aplicando la regla de Polinomio al cubo:

(a¹⁄³-2+a⁻¹⁄³)³

= (a¹⁄³)³+(-2)³+(a⁻¹⁄³)³+3(a¹⁄³)²(-2)+3(a¹⁄³)²(a⁻¹⁄³)+3(-2)²(a¹⁄³)
+3(-2)²(a⁻¹⁄³)+3(a⁻¹⁄³)²(a¹⁄³)+3(a⁻¹⁄³)²(-2) +6(a¹⁄³)(-2)(a⁻¹⁄³)

= a-8+a⁻¹-6a²⁄³+3a¹⁄³+12a¹⁄³+12a⁻¹⁄³+3a⁻¹⁄³-6a⁻²⁄³-12

Ordenando:

= a-6a²⁄³+3a¹⁄³+12a¹⁄³-8-12+12a⁻¹⁄³+3a⁻¹⁄³-6a⁻²⁄³+a⁻¹

Reduciendo:

= a-6a²⁄³+15a¹⁄³-20+15a⁻¹⁄³-6a⁻²⁄³+a⁻¹  Solución

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Ejercicio 228.

Desarrollar:

1) (a¹⁄²+b¹⁄²)²

= (a¹⁄²)²+2(a¹⁄²)( b¹⁄²)+( b¹⁄²)²

= a+2a¹⁄²b¹⁄²+b   Solución.

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9) (a¹⁄³+b¹⁄³)³

= (a¹⁄³)³+3(a¹⁄³)²(b¹⁄³)+3(a¹⁄³)(b¹⁄³)²+(b¹⁄³)³

= a+3a²⁄³b¹⁄³+3a¹⁄³b²⁄³+b   Solución.

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15) (x⁻²-y⁻¹⁄³)⁴

= (x⁻²)⁴-4(x⁻²)³(y⁻¹⁄³)+6(x⁻²)²(y⁻¹⁄³)²-4(x⁻²)(y⁻¹⁄³)³+(y⁻¹⁄³)⁴

= x⁻⁸-4x⁻⁶y⁻¹⁄³+6x⁻⁴y⁻²⁄³-4x⁻²y⁻¹+y⁻⁴⁄³   Solución.

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16) (x¹⁄³+y⁻³⁄⁴)⁵

= (x¹⁄³)⁵+5(x¹⁄³)⁴(y⁻³⁄⁴)+10(x¹⁄³)³(y⁻³⁄⁴)²+10(x¹⁄³)²(y⁻³⁄⁴)³+5(x¹⁄³)(y⁻³⁄⁴)⁴+(y⁻³⁄⁴)⁵

= x⁵⁄³+5x⁴⁄³y⁻³⁄⁴+10xy⁻³⁄²+10²⁄³y⁻⁹⁄⁴+5x¹⁄³y⁻³+y⁻¹⁵⁄⁴   Solución.

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18) (a²-2√m)⁶

= (a²-2m¹⁄²)    <-- Se convirtió la raíz de “√m” en potencia de “m¹⁄²”.

= (a²)⁶-6(a²)⁵(2m¹⁄²)+15(a²)⁴(2m¹⁄²)²-20(a²)³(2m¹⁄²)³+15(a²)²(2m¹⁄²)⁴
-6(a²)(2m¹⁄²)⁵+(2m¹⁄²)⁶

= a¹²-12a¹⁰m¹⁄²+60a⁸m-160a⁶m³⁄²+240a⁴m²-192a²m⁵⁄²+64m³   <-- Solución.

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20) (a⁻²+3a⁻¹+2)²

= (a⁻²)²+(3a⁻¹)²+(2)²+2(a⁻²)(3a⁻¹)+2(a⁻²)(2)+2(3a⁻¹)(2)

= a⁻⁴+9a⁻²+4+6a⁻³+4a⁻²+12a⁻¹

= a⁻⁴+6a⁻³+9a⁻²+4a⁻²+12a⁻¹+4   <-- Ordenado

= a⁻⁴+6a⁻³+13a⁻²+12a⁻¹+4 <--  Reducidos los términos

= a⁻⁴+6a⁻³+13a⁻²+12a⁻¹+4   Solución.

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25) (x¹⁄²+x¹⁄⁴-1)³

= (x¹⁄²+x¹⁄⁴-1)³

= (x¹⁄²)³+(x¹⁄⁴)³+(-1)³+3(x¹⁄²)²(x¹⁄⁴)+3(x¹⁄²)²(-1)+3(x¹⁄⁴)²(x¹⁄²)
+3(x¹⁄⁴)²(-1)+3(-1)²(x¹⁄²)+3(-1)²(x¹⁄⁴)+6(x¹⁄²)(x¹⁄⁴)(-1)

= x³⁄²+x³⁄⁴-1+3x⁵⁄⁴-3x+3x-3⁻¹⁄²+3x¹⁄²+3x¹⁄⁴-6x³⁄⁴

= x³⁄²+3x⁵⁄⁴+x³⁄⁴-6x³⁄⁴-3x+3x-3x¹⁄²+3x¹⁄²+3x¹⁄⁴-1   <--  Ordenado

= x³⁄²+3x⁵⁄⁴-5x³⁄⁴+3x¹⁄⁴-1  <-- Reducidos los términos

= x³⁄²+3x⁵⁄⁴-5x³⁄⁴+3x¹⁄⁴-1  <--  Solución.

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Potencias de monomios con exponentes negativos y fraccionarios.

.                  (x²/³y⁻¹/²)³

La Regla para Potencia de un Monomio dice:

Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia. Esta regla se aplica también cuando las letras del monomio tienen exponentes negativos o fraccionarios.

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Ejemplos:

a) (a⁻²)³

Multiplicando el exponente de la letra “a”

por el exponente de la potencia

= a⁻²ˣ³ = a⁻⁶

b) (a¹⁄²)²

Multiplicando el exponente de la letra “a”

Por el exponente de la potencia

= a¹⁄² ˣ² = a²⁄²

Simplificando el resultado

= a¹ = a

c) (a⁻³⁄⁴)²

Multiplicando el exponente de la letra  "a" por

el exponente de la potencia

= a⁻³⁄⁴ ˣ² = a⁻⁶⁄⁴

Simplificando el resultado

= a⁻³⁄²

d) (2a⁻¹b¹⁄³)³

Elevando al cubo el coeficiente de la potencia y multiplicando los exponentes de cada letra por el exponente de la potencia

= 2³a⁻¹ˣ³b¹⁄³ ˣ³ = 8a⁻³b³⁄³

Simplificando  el resultado

= 8a⁻³b¹ = 8a⁻³b

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Ejercicio 227.
Hallar el valor de:

1) (a⁻¹)²

= a⁻¹ˣ² = a⁻²   Solución

2) (a⁻²b⁻¹)³

= a⁻²ˣ³b⁻¹ˣ³ = a⁻⁶b⁻³  Solución

3) (a³⁄²)²

= a³⁄² ˣ² = a⁶⁄² = a³   Solución

9) (a⁻³b⁻¹)⁴

= a⁻³ˣ⁴b⁻¹ˣ⁴ = a⁻¹²b⁻⁴  Solución

12) (2m⁻¹⁄²n⁻¹⁄³)³

= 2³m⁻¹⁄² ˣ³n⁻¹⁄³ ˣ³

= 8m⁻³⁄²n⁻³⁄³ = 8m⁻³⁄²n⁻¹   Solución

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División de polinomios con exponentes negativos y fraccionarios.

.              

Ejemplos:

a) Dividir a⁻¹b⁻³-2ab⁻⁵+a³b⁻⁷ entre a²b⁻²-2a³b⁻³+a⁴b⁻⁴

> Ya están ordenados en orden ascendente en relación a la “a”.

.                                         . a⁻³b⁻¹ +2a⁻²b⁻² +a⁻¹b⁻³                     <--  Solución 

a²b⁻²-2a³b⁻³+a⁴b⁻⁴              | a⁻¹b⁻³              -2ab⁻⁵            +a³b⁻⁷

.                                          -a⁻¹b⁻³+2a⁰b⁻⁴ -  ab⁻⁵

.                                                       2a⁰b⁻⁴ -3ab⁻⁵

.                                                      -2a⁰b⁻⁴+4ab⁻⁵-2a²b⁻⁶

.                                                                     ab⁻⁵ -2a²b⁻⁶+a³b⁻⁷

.                                                                    -ab⁻⁵+2a²b⁻⁶-a³b⁻⁷

.                                                                                  0

b) Dividir 4x+11-x⁻¹⁄²+7x¹⁄²+3x⁻¹  entre  4x⁻¹⁄²-1+x⁻¹⁄²

> ordenando en orden descendente

.                       . x¹⁄² +2 +3x⁻¹⁄²                  <--  Solución

4x¹⁄²-1+x⁻¹⁄²     ¦ 4x+7x¹⁄²+11 - x⁻¹⁄² +3x⁻¹

.                        -4x+ x¹⁄² -  1            

.                               8x¹⁄²+10 -  x⁻¹⁄²

.                              -8x¹⁄²+  2 -2x⁻¹⁄²

.                                         12 -3x⁻¹⁄² +3x⁻¹

.                                        -12+3x⁻¹⁄²  -3x⁻¹.                        

.                                                      0

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Ejercicio 226.

Dividir, ordenando previamente:

1) x⁻⁸+x⁻²+2x⁻⁶+2 entre  x⁻⁴-x⁻²+1

Ordenando en orden ascendente:

.                    .x⁻⁴ +3x⁻² +2                   <--  Solución

x⁻⁴-x⁻²+1      ¦ x⁻⁸+2x⁻⁶          + x⁻² +2

.                      -x⁻⁸+  x⁻⁶ - x⁻⁴

.                              3x⁻⁶ -  x⁻⁴ + x⁻²

.                             -3x⁻⁶+3x⁻⁴-3x⁻²

.                                        2x⁻⁴-2x⁻² +2

.                                      -2x⁻⁴+2x⁻² - 2

.                                                 0

 2) a⁴⁄³-2a²⁄³+1  entre  a+a¹⁄³+2a²⁄³

> Ordenando el divisor en orden descendente:

.                       . a¹⁄³ -2 +a⁻¹⁄³                    .  <--  Solución

a+2a²⁄³+a¹⁄³      ¦ a⁴⁄³        -2a²⁄³             +1

.                       -a⁴⁄³ -2a -   a²⁄³

.                              -2a - 3a²⁄³

.                               2a +4a²⁄³ +2a¹⁄³

.                                        a²⁄³ +2a¹⁄³  +1

.                                       -a²⁄³ -2a¹⁄³  - 1

.                                               - 0 –

8) a⁻¹²b⁻¹¹+a⁻⁸b⁻⁷+a⁻⁴b⁻³  entre  a⁻⁷b⁻⁶-a⁻⁵b⁻⁴+a⁻³b⁻²

> Ya está ordenado en orden ascendente en relación a la letra “a”

.                                . a⁻⁵b⁻⁵ +a⁻³b⁻³ +a⁻¹b⁻¹          <-- Solución. 

a⁻⁷b⁻⁶-a⁻⁵b⁻⁴+a⁻³b⁻²   ¦ a⁻¹²b⁻¹¹              +a⁻⁸b⁻⁷              +a⁻⁴b⁻³

.                                 -a⁻¹²b⁻¹¹ +a⁻¹⁰b⁻⁹ -a⁻⁸b⁻⁷

.                                                 a⁻¹⁰b⁻⁹

.                                                -a⁻¹⁰b⁻⁹+a⁻⁸b⁻⁷ -a⁻⁶b⁻⁵

.                                                              a⁻⁸b⁻⁷ -a⁻⁶b⁻⁵+a⁻⁴b⁻³

.                                                             -a⁻⁸b⁻⁷+a⁻⁶b⁻⁵- a⁻⁴b⁻³

.                                                                          - 0 –

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División de monomios con exponentes negativos y fraccionarios.

.              

La ley de los exponentes de la división, dice que para dividir potencias de la misma base se dividen los coeficientes, se copia la base y se resta el exponente del divisor del exponente del dividendo.  Esto se aplica también cuando los exponentes de la potencia son negativos o  fraccionarios.

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Ejemplos:

1) a⁻¹ ÷ a² = a⁻¹⁻⁽²⁾ = a⁻¹⁻² = a⁻³

2) a² ÷ a⁻¹ = a²⁻⁽⁻¹⁾ = a²⁺¹ = a³

3) a⁻³ ÷ a⁻⁵ = a⁻³⁻⁽⁻⁵⁾ = a⁻³⁺⁵ = a²

4) a¹⁄² ÷ a³⁄⁴ = a¹⁄²⁻⁽³⁄⁴⁾ = a¹⁄²⁻³⁄⁴ = a⁻¹⁄⁴

5) a ÷ a⁻¹⁄³ = a¹⁻⁽⁻¹⁄³⁾ = a¹⁺¹⁄³ = a⁴⁄³

6) a⁻¹⁄⁴ ÷ a¹⁄² = a⁻¹⁄⁴⁻⁽¹⁄²⁾ = a⁻¹⁄⁴⁻¹⁄² = a⁻³⁄⁴

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Ejercicio 225.

Dividir:

1) a² ÷ a⁻² = a²⁻⁽⁻²⁾ = a²⁺² = a⁴  <--Solución

2) x⁻³ ÷ x² = x⁻³⁻⁽²⁾ = x⁻³⁻² = a⁻⁵  <-- Solución

11) 4x²⁄⁵ ÷ 2x⁻¹⁄⁵ = 2x²⁄⁵⁻⁽⁻¹⁄⁵⁾ = 2x²⁄⁵⁺¹⁄⁵ = 2x³⁄⁵  <-- Solución

13) x⁻²y⁻¹÷ x⁻³y⁻² = x⁻²⁻⁽⁻³⁾y⁻¹⁻⁽⁻²⁾ = x⁻²⁺³y⁻¹⁺² = x¹y¹ = xy <-- Solución

18) 8x⁻²y²⁄⁵ ÷ 4xy⁻¹⁄⁵ = 2x⁻²⁻⁽¹⁾y²⁄⁵⁻⁽⁻¹⁄⁵⁾ = 2x⁻²⁻¹y²⁄⁵⁺¹⁄⁵ = 2x⁻³y³⁄⁵ <-- Solución.

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