Ejercicios del Álgebra de Baldor

miércoles, 14 de febrero de 2024

Raíz cúbica de polinomios con términos fraccionarios.

Procedimiento:

1) Se ordena el polinomio. (Si fuera necesario).

2) Se extrae la raíz cúbica de su primer término, que será el primer término de la raíz; este término se eleva al cubo y se resta del polinomio.

3) Se bajan los tres términos siguientes del polinomio y se divide el primero de ellos por el triplo del cuadrado del término ya hallado de la raíz; el cociente de esta división es el segundo término de la raíz.

4) Se forman tres productos;

1º. Triplo del cuadrado del primer término de la raíz por el segundo término de la raíz.

2º. Triplo del primer término por el cuadrado del segundo.

3º. Cubo del segundo término de la raíz.

Estos productos se restan (cambiándoles los signos) de los tres términos del polinomio que se habían bajado.

5) Se bajan los términos que faltan del polinomio y se divide el primer término del residuo por el primer término que resulte del triplo del cuadrado de la parte ya hallada de la raíz. El cociente es el tercer término de la raíz.

Se forman tres productos:

1º. Triplo del cuadrado del binomio que forman el 1º y 2º término de la raíz por el 3er. Término.

2º. Triplo de dicho binomio por el cuadrado del tercer término.

3º. Cubo del tercer término de la raíz.

Estos productos se restan (reduciendo antes términos semejantes si los hay) del residuo del polinomio. Si la diferencia es cero, la operación ha terminado. Si aún quedan términos en el residuo, se continúa el procedimiento anterior.

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Ejemplo:

Hallar la raíz cúbica de a³/x³ +153x/4a -15a²/x² +153a/2x -140 -15x²/4a² +x³/8a³.

Ordenado = a³/x³ -15a²/x² +153a/2x -140 +153x/4a -15x²/4a² +x³/8a³

. ______________________________________________

. ³√ a³/x³ -15a²/x² +153a/2x -140 +153x/4a -15x²/4a² +x³/8a³ | a/x -5 +x/2a Solución

. - a³/x³ | ³√a³/x³ = a/x

-15a²/x² +153a/2x -140 | 3(a/x)² = 3a²/x² ⇒ -15a²/x² ÷ 3a²/x²= -5

. 15a²/x² - 75a/ x +125 | 3(a/x)²(-5) = -15a²/x²

. 3a/2x - 15 +153x/4a -15x²/4a² +x³/8a³ | 3(a/x)(-5)² = 75a/x

. -3a/2x + 15 -153x/4a +15x²/4a² - x³/8a³ | (-5)³ = -125 .

. 0 | 3(a/x-5)²=3(a²/x²-10a²/x+25) =

. | 3a²/x²-30a²/x+75)

. | 3a/2x ÷ 3a²/x² = x/2a_____________

. | 3(a/x-5)² (x/2a)=3a²/x²-30a/x+75)(x/2a)=

. | 3a/2x-15+75x/2a

. | 3(a/x-5) (x/2a)²=(3a/x-15)(x²/4a²)=

. | 3x/4a-15x²/4a²

. | (x/2a)³ = x³/8a³

. |_______________________________

. | 3a/2x -15 + 75x/2a

. | 3x/4a -15x²/4a²

. |_________________________+x³/8a³

. | 3a/2x -15 +153x/4a -15x²/4a² +x³/8a³

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Ejercicio 217.

Hallar la raíz cúbica de:

. ³√ x⁶/8 -x⁵/4 +5x⁴/3 -55x³/27 +20x²/3 -4x +8 | x²/2 -x/3 +2 Solución

. - x⁶/8 | ³√ x⁶/8 = x²/2

. -x⁵/4 +5x⁴/3 -55x³/27 | 3(x²/2)² = 3x⁴/4 ⇒ -x⁵/4 ÷ 3x⁴/4 = -x/3

. x⁵/4 - x⁴/6 + x³/27 | 3(x²/2)²(-x/3) = -x⁵/4

. 3x⁴/2 - 2x³ +20x²/3 -4x +8 | 3(x²/2)(-x/3)² = x⁴/6

. 3x⁴/2 +2x³ - 20x²/6 +4x- 8 | (-x/3)³ = -x³/27

. 0 | 3(x²/2-x/3)² =3(x⁴/4 -x³/6 -x³/27) = 3x⁴/4 -3x³/6 -3x²/27

. | ⇒ 3x⁴/2 ÷3x⁴/4 = 2

. | 3(x²/2-x/3)² (2) = 3x⁴/2 -2x³+2x²//3

. | 3(x²/2-x/3) (2)² = 6x²-4x

. | (2)³ = 8

. | ⇒ 3x⁴/2 -2x³ + 2x²/3

. | 6x² -4x

. | +8

. | 3x⁴/2 -2x³ +20x²/6 -4x+8

__________________________________

. .

.³√ a⁹ +3a⁸/2 - a⁷/4 -7a⁶/8 +a⁵/12 +a⁴/6 -a³/27 | a³ +a²/2 -a/3 Solución

. - a⁹ | ³√a⁹ = a³

. 3a⁸/2 - a⁷/4 -7a⁶/8 | 3(a³)² = 3a⁶ ⇒ 3a⁸/2 ÷ 3a⁶ = a²/2

. -3a⁸/2 -3a⁷/4 - a⁶/8 | 3(a³)²(a²/2) = 3a⁸/2

. - a⁷ - a⁶ +a⁵/12 +a⁴/6 - a³/27 | 3(a³)(a²/2)² = 3a⁷/4

, a⁷ + a⁶ - a⁵/12 - a⁴/6 +a³/27 | (a²/2)³ = a⁶/8

. 0 | 3(a³+a²/2)² = 3(a⁶+a⁵+a⁴/4) = 3a⁶+3a⁵+3a⁴/4

. | ⇒ -a⁷ ÷ 3a⁶ = -a/3

. | 3(a³+a²/2)²(-a/3) = -a⁷ -a⁶ -a⁵/4

. | 3(a³+a²/2)(-a/3)² = a⁵/3 +a⁴/6

. | (-a/3)³ = -a³/27

. | ⇒ -a⁷ -a⁶ - a⁵/4

. | a⁵/3 +a⁴/6

. | - a³/27

. | -a⁷ -a⁶ +a⁵/12 +a⁴/6 - a³/27

.________________________________

. .

.³√ x³/8 -9x²/4 +15x -45 +60/x -36/x² +8/x³ | x/2 -3 +2/x Solución

. - x³/8 | ³√x³/8 = x/2

. -9x²/4 +15x - 45 | 3(x/2)² = 3x²/4 ⇒ -9x²/4 ÷ 3x²/4 = -3

. 9x²/4 -27x/2 +27 | 3(x/2)²(-3) = -9x²/4

. 3x/2 -18 +60/x -36/x² +8/x³ | 3(x/2)(-3)² = 27x/2

. -3x/2 +18 -60/x +36/x² -8/x³ | (-3)³ = -27

. 0 | 3(x/2-3)² = 3(x²/4-3x+9) = 3x²/4-9x+27

. |⇒ 3x/2 ÷ 3x²/4 = 2/x

. | 3(x/2-3)²(2/x) = 3x/2 -18 +54/x

. | 3(x/2-3)(2/x)² = 6/x -36/x²

. | (2/x)³ = 8/x³

. |⇒ 3x/2 -18 +54/x

. | 6/x -36/x²

. | +8/x³

. | 3x/2 -18 +60/x-36/x² +8/x³

_________________________________

. .

.³√ a³/8b³ -3a²/4b² +15a/8b -5/2 +15b/8a-3b²/4a² +b³/8a³ | a/2b -1 +b/2a Solución

. -a³/8b³ | ³√a³/8b³ = a/2b

. -3a²/4b² +15a/8b -5/2 | 3(a/2b)²=3a²/4b² ⇒ -3a²/4b² ÷3a²/4b² = -1

. 3a²/4b² - 3a/2b + 1 | 3(a/2b)²(-1)= -3a²/4b²

. 3a/8b - 3/2.+15b/8a- 3b²/4a² +b³/8a³ | 3(a/2b)(-1)² = 3a/2b

. -3a/8b +3/2.- 15b/8a+3b²/4a² - b³/8a³ | (-1)³ = -1 .

. 0 | 3(a/2b -1)²=3(a²/4b²-a/b+1) =

. | =3a²/4b²-3a/b+3 ⇒ 3a/8b ÷ 3a²/4b²=b/2a

. | 3(a/2b -1)²(b/2a) = 3a/8b -3/2 +3b/2a

. | 3(a/2b -1)(b/2a)² = 3b/8a -3b²/4a²

. | (b/2a)³ = b³/8a³

. |⇒ 3a/8b -3/2 + 3b/2a

. | 3b/8a-3b²/4a²

. | +b³/8a³

. | 3a/8b -3/2 +15b/8a-3b²/4a² +b³/8a³

. |

_______________________________________

. .

.³√ 8a³/27x³-2a²/3x²+a/18x+18/24-x/36a-x²/6a²-x³/27a³ | 2a/3x -1/2 -x/3a Solución

. -8a³/27x³ | ³√8a³/27x³ = 2a/3x

. -2a²/3x²+a/18x+18/24 | 3(2a/3x)² = 2a²/3x² ⇒ -2a²/3x² ÷ 4a²/3x² =

. 2a²/3x² - a/2x + 1/8 | = -1/2 .

. - 4a/9x+ 2/3 -x/36a - x²/6a² -x³/27a³ | 3(2a/3x)² (-1/2) = -2a²/3x²

. 4a/9x - 2/3 +x/36a+x²/6a²+x³/27a³ | 3(2a/3x) (-1/2)² = a/2x

. 0 | (-1/2)³ = -1/8 .

. | 3(2a/3x-1/2)² =3(4a²/9x²-2a/3x+1/4)(-1/2)

. | = 4a²/3x² -2a/x +3/4 ⇒

. | - 4a/9x ÷ 4a²/3x² = - x/3a

. | 3(2a/3x-1/2)² (-x/3a) = -4a/9x+2/3-x/4a

. | 3(2a/3x-1/2) (-x/3a)² = 2x/9a -x²/6a²

. | (-x/3a)³ = -x³/27a³ .

. | ⇒ -4a/9x +2/3 - x/ 4a

. | 2x/ 9a -x²/6a²

. | -x³/27a³

. | -4a/9x +2/3 -x/36a -x²/6a² -x³/27a³

_________________________________________.

. .

³√ 8a³/27b³+4a²/3b²+3a/b +4 +27b/8a+27b²/16a²+27b³/64a³ | 2a/3b +1 +3b/4a Solución

. -8a³/27b³ | ³√8a³/27x³ = 2a/3x

. 4a²/3b²+3a/b +4 | 3(2a/3b)² ⇒ 4a²/3b² ÷ 4a²/3b² = 1

. - 4a²/3b²- 2a/b - 1 | 3(2a/3b)²(1) = 4a²/3b²

. a/b +3+27b/8a+27b²/16a²+27b³/64a³ | 3(2a/3b)(1)² = 2a/b

. - a/b -3 -27b/8a -27b²/16a² -27b³/64a³ | (1)³ = 1 .

. 0 | 3(2a/3b+1)² = 3(4a²/9b²+4a/3b+1=

. | = 4a²/3b²+4a/b+3

. | ⇒ a/b 4a²/3b² = 3b/4a .

. | 3(2a/3b+1)²(3b/4a)= a/b+3+9b/4a

. | 3(2a/3b+1)(3b/4a)² = 9b/8a+27b/16a

. | (3b/4a)³ = 27b³/64a³ .

. | ⇒ a/b+3 + 9b/4a

. | 9b/8a+27b/16a

. | +27b³/64a³

. | a/b+3+27b/8a+27b/16a+27b³/64a³

._______________________________________________________________________________

martes, 30 de enero de 2024

Triángulo de Pascal.

El triángulo de Pascal representa los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio.

El triángulo de Pascal se forma con líneas horizontales del desarrollo de un binomio ; partiendo de la potencia 0, que es igual a la unidad (1) y las siguientes líneas según la potencia que se quiere desarrollar de un binomio.

El Binomio de Newton es una fórmula que sirve para calcular una potencia cualquiera de un binomio, cuyo exponente sea entero y positivo.

Se utiliza para el cálculo los coeficientes de los términos del binomio; semejante a una sucesión de números combinatorios.

(a±b)ⁿ =

$(a+b)^n = a^n +na^{n-1}b+ \frac{n(n-1)}{(1)(2)}a^{n-2}b^2+ \frac{n(n-1)(n-2)}{(1)(2)(3)}a^{n-3}b^3+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{(1)(2)(3)(4)}a^{n-4}b^4+ \cdots +b^n$

En la fórmula anterior si el segundo término es negativo (a - b)ⁿ ; los signos del desarrollo se alternan + y - , sucesivamente hasta llegar al último término.

Esta fórmula sin desarrollarse puede escribirse como una regla, que variará según sea el exponente del binomio:

El Binomio de Newton tiene una gran relación con el Triángulo de Pascal, ya que cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia respectiva del binomio de Newton:

Para el desarrollo del binomio se deben cumplir las siguientes leyes:

1) Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.

2) El exponente de "a" en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada término posterior al primero disminuye 1.

3) El exponente de "b" en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a éste, aumenta en 1.

4) El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de "a" en el primer término del desarrollo.

5) El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de "a" en dicho término anterior y dividiendo este producto por el exponente de "b" en ese mismo término aumentado en 1.

6) El último término del desarrollo es "b" elevado al exponente del binomio.

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Ejemplo.

Desarrollar (x²-3y⁵)⁶ por el triángulo de Pascal.

Formando el triángulo hasta la línea horizontal en que después del 1 viene el 6, que es el exponente del binomio.

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1 (coeficientes para el desarrollo de la fórmula del binomio) (a - b)⁶

1 7 21 35 35 21 7 1 (coeficientes para el desarrollo de la fórmula del binomio) (a - b)⁷

Entonces:

(x²-3y⁵)⁶ = (x²)⁶ -6(x²)⁵(3y⁵) +15(x²)⁴(3y⁵)² -20(x²)³(3y⁵)³ +15(x²)²(3y⁵)⁴ -6(x²)(3y⁵)⁵ - (3y⁵)⁶

= x¹² -18x¹⁰y⁵ +135x⁸y¹⁰ -540x⁶y¹⁵ +1215x⁴y²⁰ -1458x²y²⁵ -729y³⁰ Solución.

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Ejercicio 211.

Desarrolla, hallando los coeficientes del binomio por medio del triángulo de Pascal.

1) (a + 2b)⁶

(a + 2b)⁶

= (a)⁶ +6(a)⁵(2b) +15(a)⁴(2b)² +20(a)³(2b)³ +15(a)²(2b)⁴ +6(a)(2b)⁵ +(2b)⁶

= a⁶ + 12a⁵b +60a⁴b² +160a³b³ +240a²b⁴ +192ab⁵ +64b⁶. Solución.

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2) (2m² - 3n³)⁵

(2m² - 3n³)⁵

= (2m²)⁵ - 5(2m²)⁴(3n³) + 10(2m²)³(3n³)² - 10(2m²)²(3n³)³ + 5(2m²)(3n³)⁴ - (3n³)⁵

= 32m¹⁰ - 240m⁸n³ + 720m⁶n⁶ - 1080m⁴n⁹ + 810m²n¹² - 243n¹⁵. Solución.

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3) (x² +y³)⁶

(x² +y³)⁶

= (x²)⁶ + 6(x²)⁵(y³) + 15(x²)⁴(y³)² + 20(x²)³(y³)³ + 15(x²)²(y³)⁴ + 6(x²)(y³)⁵ + (y³)⁶

= x¹² + 6x¹⁰y³ + 15x⁸y⁶ + 20x⁶y⁹ + 15x⁴y¹² + 6x²y¹⁵ + y¹⁸. Solución.

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4) (3 - y⁷)⁷

(a ± b)⁷ ⇒ 1 7 21 35 35 21 7 1 (coeficientes para el desarrollo del binomio)

⇒ (3-y⁷)⁷ =

= (3)⁷ - 7(3)⁶(y⁷) + 21(3)⁵(y⁷)² - 35(3)⁴(y⁷)³ + 35(3)³(y⁷)⁴ - 21(3)²(y⁷)⁵ + 7(3)(y⁷)⁶ - (y⁷)⁷

= 2187 - 5103y⁷ + 5103y¹⁴ - 2835y²¹ + 945y²⁸ - 189y³⁵ +21y⁴² - y⁴⁹ Solución.

__________________________________________

5) (2x³ -3y⁴)⁶

(2x³ -3y⁴)⁶

= (2x³)⁶ - 6(2x³)⁵(3y⁴) + 15(2x³)⁴(3y⁴)² - 20(2x³)³(3y⁴)³ + 15(2x³)²(3y⁴)⁴ - 6(2x³)(3y⁴)⁵ + (3y⁴)⁶

= 64x¹⁸ - 576x¹⁵y⁴ + 2160x¹²y⁸ - 4320x⁹y¹² + 4860x⁶y¹⁶ - 2916x³y²⁰ + 729y²⁴ Solución.

__________________________________________

6) (1/2 x² + y³)⁵

(1/2 x² + y³)⁵

= (1/2x²)⁵ + 5(1/2x²)⁴(y³) + 10(1/2x²)³(y³)² + 10(1/2x²)²(y³)³ + 5(1/2x²)(y³)⁴ + (y³)⁵

= 1/32x¹⁰ + 5/16x⁸y³ + 5/4x⁶y⁶ + 5/2x⁴y⁹ + 5/2x²y¹² + y¹⁵ Solución.

__________________________________________

7) (a/3 - 3/b)⁶

(a/3 - 3/b)⁶

= (a/3)⁶ - 6(a/3)⁵(3/b) + 15(a/3)⁴(3/b)² - 20(a/3)³(3/b)³ + 15(a/3)²(3/b)⁴ - 6(a/3)(3/b)⁵ + (3/b)⁶

= 1/729a⁶ - 2a⁵/27b + 5a⁴/3b² - 20a³/b³ + 135a²/b⁴ - 486a/b⁵ +729/b⁶ Solución.

__________________________________________

8) (1 -x⁴)⁸

(a ± b)⁷ ⇒ 1 7 21 35 35 21 7 1

(a ± b)⁸ ⇒ 1 8 28 56 70 56 28 8 1

⇒ (1 -x⁴)⁸ =

= (1)⁸ - (1)⁷(x⁴) + (1)⁶(x⁴)² - (1)⁵(x⁴)³ + (1)⁴(x⁴)⁴ - (1)³(x⁴)⁵ + (1)²(x⁴)⁶ - (1)(x⁴)⁷ + (x⁴)⁸

= 1 - x⁴ + x⁸ - x¹² + x¹⁶ - x²⁰ + x²⁴ - x²⁸ + x³². Solución.

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9) (2/3x - 3/2y)⁷

(2/3x - 3/2y)⁷ =

= (2/3x)⁷ - 7(2/3x)⁶(3/2y) + 21(2/3x)⁵(3/2y)² - 35(2/3x)⁴(3/2y)³ + 35(2/3x)³(3/2y)⁴ - 21(2/3x)²(3/2y)⁵ + 7(2/3x)(3/2y)⁶ - (3/2y)⁷ =

= 28/2187x⁷ - 224/243x⁶y + 56/9x⁵y² - 70/3x⁴y³ + 105/2x³y⁴ - 567/8x²y⁵ +

1701/32xy⁶ -2187/128y⁷ Solución.

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10) (2/m - m²/2)⁷

⇒ (2/m - m²/2)⁷ =

(2/m)⁷ - 7(2/m)⁶(m²/2) + 21(2/m)⁵(m²/2)² - 35(2/m)⁴(m²/2)³ + 35(2/m)³(m²/2)⁴ - 21(2/m)²(m²/2)⁵ + 7(2/m)(m²/2)⁶ + (m²/2)⁷ =

= 128/m⁷ - 224/m⁴ + 168/m - 70m² + 35/2 m⁵ - 21/8 m³ + 7/32 m¹¹ - m¹⁴/128 Solución.

______________________________________

11) (x³ + mm)⁸

⇒ (x³ + mm)⁸ =

(x³)⁸ + 8(x³)⁷(mm) + 28(x³)⁶(mm)² + 56(x³)⁵(mm)³ + 70(x³)⁴(mm)⁴ + 56(x³)³(mm)⁵ + 28(x³)²(mm)⁶ + 8(x³)(mm)⁷ + (mm)⁸ =

= x²⁴ +8x²¹mn +28x¹⁸m²n² +56x¹⁵m³n³ +70x¹²m⁴n⁴ +56x⁹m⁵n⁵ +28x⁶m⁶n⁶ +8x³m⁷n⁷ + m⁸n⁸. Solución.

_______________________________________

12) (3 - b²/3)⁹

(a ± b)⁸ ⇒ 1 8 28 56 70 56 28 8 1

(a ± b)⁹ ⇒ 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

⇒ (3 - b²/3)⁹ =

(3)⁹ - 9(3)⁸(b²/3) + 36(3)⁷(b²/3)² - 84(3)⁶(b²/3)³ + 126(3)⁵(b²/3)⁴ - 126(3)⁴(b²/3)⁵ + 84(3)³(b²/3)⁶ - 36(3)²(b²/3)⁷ + 9(3)(b²/3)⁸ - (b²/3)⁹ =

=19683 -19683b² +8748b⁴ -2268b⁶ +378b⁸ -42b¹⁰ + 28b¹²/9 - 4b¹⁴/27 +b¹⁶/243 +b¹⁸/19683. Solución.

_________________________________________

13) (1 - 1/x)¹⁰

(a ± b)⁹ ⇒ 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

(a ± b)¹⁰ ⇒ 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

⇒ (1 - 1/x)¹⁰ =

(1)¹⁰ - 10(1)⁹(1/x) + 45(1)⁸(1/x)² - 120(1)⁷(1/x)³ + 210(1)⁶(1/x)⁴ - 252(1)⁵(1/x)⁵ + 210(1)⁴(1/x)⁶ - 120(1)³(1/x)⁷ - 45(1)²(1/x)⁸ + 10(1)(1/x)⁹ - (1/x)¹⁰ =

= 1 - 10/x + 45/x² - 120/x³ + 210/x⁴ - 252/x⁵ + 210/x⁶ - 120/x⁷ + 45/x⁸ + 10/x⁹ - 1/x¹⁰. Solución.

__________________________________________

14) (2m² -5n⁵)⁶

⇒ (2m² -5n⁵)⁶ =

(2m²)⁶ - 6(2m²)⁵(5n⁵) + 15(2m²)⁴(5n⁵)² - 20(2m²)³(5n⁵)³ + 15(2m²)²(5n⁵)⁴ - 6(2m²)(5n⁵)⁵ + (5n⁵)⁶ =

= 64m¹² - 960m¹⁰n⁵ + 6000m⁸n¹⁰ - 20000m⁶n¹⁵ +37500m⁴n²⁰ - 37500m²n²⁵ +15625n³⁰. Solución.

___________________________________________

15) (4 - x⁵/4)⁷

⇒ (4 - x⁵/4)⁷ =

(4)⁷ - 7(4)⁶(x⁵/4) + 21(4)⁵(x⁵/4)² - 35(4)⁴(x⁵/4)³ + 35(4)³(x⁵/4)⁴ - 21(4)²(x⁵/4)⁵ - 7(4)(x⁵/4)⁶ - (x⁵/4)⁷ =

16384 - 7168 x⁵ + 1344 x¹⁰ - 140 x¹⁵ + 35/4 x²⁰ - 21/64 x²⁵ + 7/1024 x³⁰ -1/16384 x³⁵. Solución.

___________________________________________

lunes, 8 de enero de 2024

Resolución y gráfica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Es hallar el punto del espacio por el que pasan los tres planos correspondientes a las ecuaciones.

Procedimiento:

1) Se representan gráficamente los tres planos que corresponden a cada una de las ecuaciones del sistema hallando sus trazas.

2) Se traza la intersección de dos cualesquiera de ellos, que será una línea recta.

3) Se traza la intersección del tercer plano con cualquiera de los anteriores, que será otra línea recta.

4) Se busca un punto donde se intersecan las dos rectas halladas y ese será el punto común a los tres planos.

Las coordenadas del punto común son la solución del sistema.

_____________________________________

Ejemplo. Resolver gráficamente el sistema:

Hallando las trazas de los tres planos para cada ecuación:

Para 2x +2y +z = 12

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+(0) =12 -> 2x = 12 -> x = 6 Punto (6, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+(0)=12 -> 2y = 12 -> y = 6 Punto (0, 6, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+z =12 -> z = 12 Punto (0, 0, 12)

Para x +y +z = 8

Si y = 0, z = 0 -> x+(0)+(0) =8 -> x = 8 Punto (8, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> (0)+y+(0)= 8 -> y = 8 Punto (0, 8, 0)

Si x = 0, y = 0 -> (0)+(0)+z =8 -> z = 8 Punto (0, 0, 8)

Para 3x +2y +5z = 30

Si y = 0, z = 0 -> 3x+2(0)+5(0) =30 -> 3x = 30 -> x = 10 Punto (10, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+2y+5(0)=30 -> 2y = 30 -> y = 15 Punto (0, 15, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+2(0)+5z =30 -> 5z = 30 -> z = 6 Punto (0, 0, 6)

Graficar los planos para cada una de las ecuaciones.

Trazar la intersección del 1° plano ABC con el 2° DEF y resulta una recta MN

Trazar la intersección del 2° plano DEF con el 3° plano GHI y resulta una recta RQ

Ambas intersecciones MN y QR se cortan en el punto P, este punto pertenece a los 3 planos.

Las coordenadas de P de la figura son x = 2, y = 2 , z = 4, (2, 2, 4), que es la solución al sistema de ecuaciones dado.

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Ejercicio 191.

Resolver y representar gráficamente los sistemas:

Para x +2y + z = 8

Si y = 0, z = 0 -> x+2(0)+(0) =8 -> x = 8 Punto (8, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> (0)+2y+(0)=8 -> 2y = 8 -> y = 4 Punto (0, 4, 0)

Si x = 0, y = 0 -> (0)+2(0)+z=8 -> z = 8 Punto (0, 0, 8)

Para 2x +2y + z = 9

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+(0)=9 -> 2x = 9 -> x = 4.5 Punto (4.5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+(0)=9 -> 2y = 9 -> y = 4.5 Punto (0, 4.5, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+z=9 -> z = 9 Punto (0, 0, 9)

Para 3x +3y +5z = 24

Si y = 0, z = 0 -> 3x+3(0)+5(0)=24 -> 3x = 24 -> x = 8 Punto (8, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+3y+5(0) =24 -> 3y = 24 -> y = 8 Punto (0, 8, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+3(0)+5z =24 -> 5z = 24 -> z = 4.8 Punto (0, 0, 4.8)

_____________________________________

Para x +y + z = 5

Si y = 0, z = 0 -> x+(0)+(0) =5 -> x = 5 Punto (5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> (0)+y+(0)=5 -> y = 5 Punto (0, 5, 0)

Si x = 0, y = 0 -> (0)+(0)+z=5 -> z = 5 Punto (0, 0, 5)

Para 3x +2y + z = 8

Si y = 0, z = 0 -> 3x+2(0)+(0)=8 -> 3x = 8 -> x = 2.66 Punto (2.66, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+2y+(0)=8 -> 2y = 8 -> y = 4 Punto (0, 4, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+2(0)+z=8 -> z = 8 Punto (0, 0, 8)

Para 2x +3y +3z = 14

Si y = 0, z = 0 -> 2x+3(0)+3(0)=14 -> 2x = 14 -> x = 7 Punto (7, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+3y+3(0) =14 -> 3y = 14 -> y = 4.66 Punto (0, 4.66, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+3(0)+3z =14 -> 3z = 14 -> z = 4.66 Punto (0, 0, 4.66)

______________________________________

Para 2x +2y +3z = 23

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+3(0) =23 -> 2x = 23 -> x = 11.5 Punto (11.5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+3(0)=23 -> 2y = 23 -> y = 11.5 Punto (0, 11.5, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+3z=23 -> 3z = 23 -> z = 7.66 Punto (0, 0, 7.66)

Para 2x +3y + 2z = 20

Si y = 0, z = 0 -> 2x+3(0)+2(0)=20 -> 2x=20 -> x = 10 Punto (10, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+3y+2(0)=20 -> 3y=20 -> y = 6.66 Punto (0, 6.66, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+3(0)+2z=20 -> 2z= 20 -> z = 10 Punto (0, 0, 10)

Para 4x +3y +2z = 24

Si y = 0, z = 0 -> 4x+3(0)+2(0)=24 -> 4x=24 -> x = 6 Punto (6, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 4(0)+3y+2(0) =24 -> 3y=24 -> y = 8 Punto (0, 8, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 4(0)+3(0)+2z =24 -> 2z=24 -> z = 12 Punto (0, 0, 1)

_________________________________________

Para 2x +2y +3z = 24

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+3(0) =24 -> 2x = 24 -> x = 12 Punto (12, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+3(0)=24 -> 2y = 24 -> y = 12 Punto (0, 12, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+3z=24 -> 3z = 24 -> z = 8 Punto (0, 0, 8)

Para 4x +5y + 2z = 35

Si y = 0, z = 0 -> 4x+5(0)+2(0)=35 -> 4x=35 -> x = 8.75 Punto (8.75, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 4(0)+5y+2(0)=35 -> 5y=35 -> y = 7 Punto (0, 7, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 4(0)+5(0)+2z=35 -> 2z= 35 -> z = 11.5 Punto (0, 0, 11.5)

Para 3x +2y +z = 19

Si y= 0, z = 0 -> 3x+2(0)+(0)=19 -> 3x=19 -> x = 6.33 Punto (6.33, 0, 0)

Si x= 0, z = 0 -> 3(0)+2y+(0) =19 -> 2y=19 -> y = 9.5 Punto (0, 9.5, 0)

Si x= 0, y = 0 -> 3(0)+2(0)+z =19 -> z=19 -> z = 19 Punto (0, 0, 19)

_____________________________________

Para 3x +4y +5z = 35

Si y=0, z=0 -> 3x+4(0)+5(0) =35 -> 3x=35 -> x=11.66 Punto (11.66, 0,0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+4y+5(0)=35 -> 4y=35 -> y= 8.75 Punto (0, 8.75, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+4(0)+5z=35 -> 5z=35 -> z=7 Punto (0, 0, 7)

Para 2x +5y + 3z = 27

Si y = 0, z = 0 -> 2x+5(0)+3(0)=27 -> 2x=27 -> x=13.5 Punto (13.5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+5y+3(0)=27 -> 5y=27 -> y=5.4 Punto (0, 5.4, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+5(0)+3z=27 -> 3z= 27 -> z=9 Punto (0, 0, 9)

Para 2x +y +z = 13

Si y= 0, z = 0 -> 2x+(0)+(0)=13 -> 2x=13 -> x=6.5 Punto (6.5, 0, 0)

Si x= 0, z = 0 -> 2(0)+y+(0) =13 -> y=13 -> y=13 Punto (0, 13, 0)

Si x= 0, y = 0 -> 2(0)+(0)+z =13 -> z=13 -> z=13 Punto (0, 0, 13)

_____________________________________

Para 3x +4y +5z = 35

Si y=0, z=0 -> 3x+4(0)+5(0) =42 -> 3x=42 -> x=14 Punto (14, 0, 0)

Si x= 0, z= 0 -> 3(0)+4y+5(0)=42 -> 4y=42 -> y=10.5 Punto (0, 10.5, 0)

Si x 0, y= 0 -> 3(0)+4(0)+5z=22 -> 5z=42 -> z=8.4 Punto (0, 0, 8.4)

Para 3x +4y + 3z = 33

Si y= 0, z= 0 -> 3x+4(0)+3(0)=33 -> 3x=33 -> x=11 Punto (11, 0, 0)

Si x= 0, z= 0 -> 3(0)+4y+3(0)=33 -> 4y=33 -> y=8.25 Punto (0, 8.25, 0)

Si x= 0, y= 0 -> 3(0)+4(0)+3z=33 -> 3z= 33 -> z=11 Punto (0, 0, 11)

Para 2x +5y +2z = 29

Si y= 0, z= 0 -> 2x+5(0)+2(0)=29 -> 2x=29 -> x=14.5 Punto (14.5, 0, 0)

Si x= 0, z= 0 -> 2(0)+5y+2(0) =29 -> 5y=29 -> y=5.8 Punto (0, 5.8, 0)

Si x= 0, y= 0 -> 2(0)+5(0)+2z =29 -> 2z=29 -> z=14.5 Punto (0, 0, 14.5)

________________________________________

martes, 26 de diciembre de 2023

Desarrollo de una determinante de segundo orden.

Una determinante de segundo orden se refiere al producto de los términos que pertenecen a la diagonal principal ( \ ), menos el producto de los términos que pertenecen a la diagonal secundaria ( /)

Veamos unos ejemplos:

a ) | a ⬂ n |

. | m ⬀ b | = (a)(b) - (m)(n)

b) | a ⬂ -n |

. | m ⬀ b | = (a)(b) - (m)(-n)

c) | 3 ⬂ 2 |

. | 5 ⬀ 4 | = (3)(4) - (5)(2) = 12 - 10 = 2

d) | 3 ⬂ -5|

. | 1 ⬀ -2 | = (3)(-2) - (1)(-5) = -6 - (-5) = -6 +5 = -1

e) | -2 ⬂ -5|

. | -3 ⬀ -9 | = (-2)(-9) - (-3)(-5) = 18 - (-5) = 18 -15 = 3

____________________________________

Ejercicio 183.

Desarrolla las determinantes:

1) | 4 ⬂ 5 |

. | 2 ⬀ 3 | = (4)(3) - (2)(5) = 12 - 10 = 2

2) | 2 ⬂ 7 |

. | 3 ⬀ 5 | = (2)(5) - (3)(7) = 10 - 21 = -11

3) | -2 ⬂ 5 |

. | 4 ⬀ 3 | = (-2)(3) - (4)(5) = -6 - 20 = -26

4) | 7 ⬂ 9 |

. | 5 ⬀ -2 | = (7)(-2) - (5)(9) = -14 - 45 = -59

5) | 5 ⬂ -3|

. | -2 ⬀ -8 | = (5)(-8) - (-2)(-3) = -40 - (6) = -46

6) | 9 ⬂ -11|

. | -3 ⬀ 7 | = (9)(7) - (-3)(-11) = 63 - (33) = 30

7) | -15 ⬂ -1|

. | 13 ⬀ 2 | = (-15)(2) - (13)(-1) = -30 - (-13) = -30 +13 = -17

8) | 12 ⬂ - 1|

. | 13 ⬀ -9 | = (12)(-9) - (13)(-1) = -108 - (-13) = -108 +13 = -95

9) | 10 ⬂ 3 |

. | 17 ⬀ 13 | = (10)(13) - (17)(3) = 130 - 51 = 79

10) | - 5 ⬂ - 8|

. | -19 ⬀ -21| = (-5)(-21) - (-19)(-8) = 105 - (152) = -47

11) | 8 ⬂ 2 |

. | -3 ⬀ 0 | = (-8)(0) - (-3)(2) = 0 - (-6) = 0 +6 = 6

12) | 31 ⬂ -85|

. | -20 ⬀ 43 | = (31)(43) - (-20)(-85) = -1333 - (1700) = -367

_______________________________________

martes, 5 de diciembre de 2023

Problemas sobre ecuaciones enteras. Ejercicio 83.

Ejemplo a) La edad de A es doble que la de B, y ambas edades suman 36 años. Hallar ambas edades.

Entonces:

x = edad de B,

y como al edad de A es el doble de B ⇒ 2x = edad de A.

Si la suma de ambas edades es 36 años

Resolviendo:

x + 2x = 36

3x = 36

x = 36/2

x = 12 años

2x = 2(12) = 24 años

Respuesta: 12 años . edad de B ; 24 años, edad de A.

________________________________________

Ejemplo b) Se ha comprado un coche, un caballo y sus arreos por $350. El coche costó el triplo de los arreos, y el caballo, el doble de lo que costó el coche. Hallar el costo de los arreos, del coche y del caballo.

Entonces:

x = costo de los arreos

Como el coche costó el triplo de los arreos ⇒ 3x = costo del coche.

Como el caballo costó el doble del costo del coche ⇒ 6x = costo del caballo.

La suma del coche, los arreos y del caballo es $350.

Resolviendo;

x + 3x + 6x = 350

10x = 350

x = 35/10

x =35

3x = 3(35) = 105

6x = 6(35) = 210

Respuesta: Costo del coche = $35; costo de los arreos = $105. , costo del caballo = $210.

________________________________________

Ejemplo c) Repartir 180 Bolívares entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la B y un tercio de la de C.

A mitad de B es ⇒ 2B = A

A es un tercio de C ⇒ 3C = A

Por tanto A = x

La suma de los tres es 180.

Resolviendo:

x + 2x + 3x = 180

6x = 180

x = 180/6

x = 30

2x = 2(30) = 60

3x = 3(30) = 90

Suma: 30 + 69 + 90 = 180 Bls.

Respuesta : la parte de A = 60 Bls., la de B = 90 Bls. y la de C = 90 Bls.

___________________________________________

Ejercicio 83.

1) La edad de Pedro es el triplo de la de Juan y ambas edades suman 40 años. Hallar ambas edades.

Edad Pedro = 3x ; Edad de Juan = x ; Suma = 40

x + 3x = 40

4x = 40

x = 40/4

x = 10

3x = 3(10) = 30

Respuesta: Edad de Juan = 10 años. , Edad de Pedro = 30 años.

____________________________________________

2) Se ha comprado un caballo y sus arreos por $600. Si el caballo costó 4 veces los arreos, ¿cuánto costó el caballo y cuánto los arreos?

Arreos = x ; Caballo = 4x ; Suma = 600.

x + 4x = 600

5x = 600

x = 600/5

x = 120

4x = 4(120) = 480

Respuesta: El caballo costó $480 y los arreos $120.

_____________________________________________

3) En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en cada piso?

1° Nivel es 1/2 que 2° entonces el 2° nivel es el doble que el primero.

1° nivel = 2x ; 2° nivel = x ; suma = 48

x + 2x = 48

3x = 48

x = 48/3

x = 16

2x = 2(16) = 32

Respuesta: El primer piso tiene 32 habitaciones y el 2° piso 16 habitaciones.

______________________________________________

4) Repartir 300 colones entre A, B y C de modo que la parte de B sea doble que la de A y la de C el triplo de la de A.

A = x ; B = 2x ; C = 3x ; Colones a repartir 300.

x + 2x + 3x = 300

6x = 300

x = 300/6

x = 50

2x = 2(50) = 100

3x = 3(50) = 150

Respuesta: La parte que les corresponde es: A; 50 cls, B; 100 cls. y C; 150 cls.

_____________________________________________

5) Repartir 133 sucres entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y la de C doble de la de B.

A = x ; B = 2x ; C = 2(2x)= 4x ; a repartir 133 sucres.

x + 2x +4x = 133

7x = 133

x = 133/7

x = 19

2x = 2(19) = 38

4x = 4(19) = 76

Respuesta: Le corresponde a: A; 19 sucres, B; 38 sucres y C; 76 sucres.

____________________________________________

6) El mayor de dos números es 6 veces el menor y ambos números suman 147. Hallar los números.

x = menor ; 6x mayor ; suma: 147

x +6x = 147

7x = 147

x = 147/7

x = 21

6x = 6(21) = 126

Respuesta: 126 y 21.

___________________________________________

7) Repartir 140 quetzales entre A, B y C de modo que la parte de B sea la mitad de la de A y un cuarto de la de C.

Si B es la mitad de A ⇒ A es el doble de B

Si B es un cuarto de C ⇒ C es el cuádruple de B

x = B ; A = 2x ; C = 4x ; a repartir 140.

x + 2x +4x = 140

7x = 140}x = 140/7

x = 20

2x = 2(20) = 40

4x = 4(20) = 80

Respuesta: le corresponde a: A, 40 ; B, 20 ; C, 80.

___________________________________________

8) Dividir el número 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera.

Si la primera es el cuarto de la segunda ⇒ la segunda es 4 veces la primera

Si la primera es el quinto de la tercera ⇒ la tercera es 5 veces la primera.

Primera = x ; segunda = 4x ; tercera = 5x ; a dividir 850.

x + 4x +5x = 850

10x = 850

x = 850/10

x = 85

4x = 4(85) = 340

5x = 5(85) = 425

Respuesta: 1a., 85 ; 2a. 340 ; 3a. 425.

__________________________________________

9) El duplo de un número equivale al número aumentado en 111.Hallar el número.

Número: x ; duplo: 2x ; aumentado en 111: x+111

2x = x + 111

2x -x = 111

x = 111

Respuesta: el número es 111.

___________________________________________

10) La edad de María es el triplo de la de Rosa más quince años y ambas edades suman 59 años. Hallar ambas edades.

x: edad de Rosa ; 3x+15: edad de María ; suma de las edades: 59

x +3x+15 = 59

4x = 59-15

x = 44/4

x = 11

3x+15 = 3(11)+15 = 48.

Respuesta: Edad de Rosa, 11 años. ; edad de María, 48 años.

____________________________________________

11) Si un número se multiplica por 8 el resultado es el número aumentado en 21. Hallar el número.

Número: x , multiplicado por 8: 8x ; aumentado en 21: x+21

8x = x+21

8x -x = 21

7x = 21

x = 21/7

x = 3

Respuesta: es 3.

_____________________________________________

12) Si al triplo de mi edad añado 7 años, tendría 100 años. ¿Qué edad tengo?

Edad: x ; triplo: 3x ; más 7 años ; tendría 100 años.

3x +7 = 100

3x = 100 -7

x = 93/3

x = 31

Respuesta: Mi edad es 31 años.

_____________________________________________

13) Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el triplo de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda.

Primera: 3x ; segunda: x ; tercera: 3x+x = 4x ; a dividir 96

3x + x +4x = 96

8x = 96

x = 96/8

x = 12

3x = 3(12) = 36

3x+x = 3(12)+12 = 48

Respuesta: 1a., 36 ; 2a., 12 ; 3a., 48

_____________________________________________

14) La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan el triplo de la de Enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años, ¿qué edad tiene cada uno?

Si edad de E es 1/2 de edad de P -> P es el doble de Er

Si edad de J es triplo de edad de Er -> edad Juan es 3x

Si edad de Eu es doble de la de J -> Edad de Eu es 2(3x) = 6x

Enrique: x años ; Pedro: 2x años ; Juan: 3x años ; Eugenio: 6x ; Suma edades: 132

x + 2x + 3x + 6x = 132

12x = 132

x = 132/12

x = 11

2x = 2(11) = 22

3x = 3(11) = 33

6x = 6(11) = 66

Respuesta: Pedro, 32 años ; Enrique, 11 años ; Juan, 33 años ; Eugenio, 66 años.

_____________________________________________

Ejercicios del Álgebra de Baldor

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Resolución y gráfica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

martes, 26 de diciembre de 2023

Desarrollo de una determinante de segundo orden.

martes, 5 de diciembre de 2023

Problemas sobre ecuaciones enteras. Ejercicio 83.