Resta de polinomios. (Ejer.23)

 La multiplicación puede efectuarse en forma horizontal o bien en forma vertical.

En forma horizontal se copia primero el minuendo, después el signo de resta y luego el sustraendo entre paréntesis, cada término con su propio signo. A continuación se copia el minuendo y seguido cada término del sustraendo pero con el signo cambiado; se reducen los términos semejantes, se ordenan si es necesario y esa será la solución.

En forma vertical se copia primero el minuendo, y luego el sustraendo abajo del minuendo; pero colocando cada término del sustraendo con su semejante del minuendo.  Se efectúa la suma de cada término con su semejante y nos dará la solución.

Ejemplos:

a) De 1 restar x²+x+5

1

-5 -x -x²

-4 -x -x²  Solución.

b) Restar 9ab³-11a³b+8a²b²-b⁴  de  a⁴-1

a⁴                                        -1

.    11a³b -8a²b² -9ab³ +b⁴     

a⁴  11a³b -8a²b² -9ab³ +b⁴ -1  Solución.

En este caso los términos del minuendo no tienen semejante abajo en el sustraendo, al sumarlos solo se copian en el resultado. Y los términos del sustraendo no tienen semejante arriba en el minuendo, al sumarlos solo se copian en el resultado.

Es importante que antes de empezar a escribir el minuendo y el sustraendo, ordenarlos por su mayor exponente en relación a determinada letra. 

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Ejercicio 23.

1) De 1 restar a-1

1- (a-1) = 1 -a +1 = 2 -a  Solución.

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2) De 0 restar a-8

0 - (a-8) = 0 -a +8 = 8 -a  Solución.

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3) De -9 restar 3a+a²-5

-9 - (a²+3a-5) = -9 -a² -3a +5 = - -a² -3a-4  Solución.

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4) De 16 restar 5xy-x²+16

16- (-x²+5xy+16) = 16 +x² -5xy -16 = x² -5xy  Solución.

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5) De 1 restar a³-a²b+ab²

1 - (a³-a²b+ab²) = 1 -a³+a²b-ab² = -a³+a²b-ab²+1  Solución.

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6) De x³ restar -x³-8x²y-6xy²

x³ -( -x³-8x²y-6xy²) = x³ +x³+8x²y+6xy² = 2x³+8x²y+6xy²  Solución.

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13) Restar -5x²y+17xy²-5 de x³+y³

x³                      +y³

.   +5x²y -17xy²        +5 

x³ +5x²y -17xy² +y³ +5  Solución.

_______________________________

14) Restar 9x³y-15xy³-8x²y² de x⁴-1

x⁴                                  -1

.   -9x³y +8x²y² +15xy³     

x⁴ -9x³y +8x²y² +15xy³ -1   Solución.

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17) Restar 9y⁵+17y⁴-y³+18y²  de  y⁶+y-41

y⁶                                  +y -41

.   -9y⁵ -17y⁴ +y³ -18y²            .

y⁶ -9y⁵ -17y⁴ +y³ -18y² +y -41  Solución.

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18) Restar -15a⁵b+17a³b³-14ab⁵-b⁶  de  a⁶+9a⁴b2+a2b⁴

a⁶             +9a⁴b²              +a²b⁴

.   +15a⁵b             -17a³b³         +14ab⁵ +b⁶ 

a⁶ +15a⁵b +9a⁴b² -17a³b³ +a²b⁴ +14ab⁵ +b⁶  Solución.

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Resta de polinomios. (Ejer.22)

Procedimiento:

Se copian los términos del polinomio minuendo (ordenados), se escribe el signo menos y luego se copian entre paréntesis, los términos del polinomio sustraendo (ordenados).

Se escriben los términos del polinomio minuendo y luego se omite el signo menos, y se sacan los términos del sustraendo pero con el signo cambiado. 

Se reducen los términos semejantes para llegar al resultado final.

Los términos no semejantes solo se copian en el orden que les corresponda,, según la potencia a la que esté elevada la letra de orden.

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Ejercicio 22.

Restar:

10)  3a²+ab-6b²  de  -5b²+8ab+a² 

= -5b²+8ab+a² -(3a²+ab-6b²)

=  -5b²+8ab+a² -3a²-ab+6b²

= a²-3a²+8ab-ab-5b²+6b²

= -2a²+7ab+b²  Solución.

_____________________________________

18)  7a³b+5ab³-8a²b²+b⁴  de  5a⁴+9a³b-40ab³+6b⁴

= 5a⁴+9a³b-40ab³+6b⁴ -(7a³b+5ab³-8a²b²+b⁴)

= 5a⁴+9a³b-40ab³+6b⁴-7a³b-5ab³+8a²b²-b⁴

= 5a⁴+9a³b-7a³b+8a²b²-40ab³-5ab³+6b⁴-b⁴

= 5a⁴+2a³b+8a²b²-45ab³+5b⁴  Solución.

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20)  x⁵-x²y³+6xy⁴+25y⁵  de  -3xy⁴-8x³y²-19y⁵+18

= -8x³y²-3xy⁴-19y⁵+18 -(x⁵-x²y³+6xy⁴+25y⁵)

= -8x³y²-3xy⁴-19y⁵+18 -x⁵+x²y³-6xy⁴-25y⁵

= -x⁵-8x³y²+x²y³-3xy⁴-6xy⁴-19y⁵-25y⁵+18

= -x⁵-8x³y²+x²y³-9xy⁴-44y⁵+18  Solución.

______________________________________

22) 8a⁴b+a³b²-15a²b³-45ab⁴-8  de a⁵-26a³b²+8ab⁴-b⁵+6

= a⁵-26a³b²+8ab⁴-b⁵+6 - (8a⁴b+a³b²-15a²b³-45ab⁴-8)

= a⁵-26a³b²+8ab⁴-b⁵+6-8a⁴b-a³b²+15a²b³+45ab⁴+8

= a⁵-8a⁴b-26a³b²-a³b²+15a²b³+8ab⁴+45ab⁴-b⁵+6+8

= a⁵-8a⁴b-27a³b²+15a²b³+53ab⁴-b⁵+14  Solución.

_______________________________________

25) y⁷-60x⁴y³+90x³y⁴-50xy⁶-x²y⁵  de  x⁷-3x⁵y²+35x⁴y³-8x²y⁵+60

= x⁷-3x⁵y²+35x⁴y³-8x²y⁵+60 - (-60x⁴y³+90x³y⁴-x²y⁵-50xy⁶+y⁷)

= x⁷-3x⁵y²+35x⁴y³-8x²y⁵+60+60x⁴y³-90x³y⁴+x²y⁵+50xy⁶-y⁷

= x⁷-3x⁵y²+35x⁴y³+60x⁴y³-90x³y⁴-8x²y⁵+x²y⁵+50xy⁶-y⁷+60

= x⁷-3x⁵y²+95x⁴y³-90x³y⁴-7x²y⁵+50xy⁶-y⁷+60  Solución.

________________________________________

26) aˣ⁺²-5aˣ⁺¹-6aˣ  de  aˣ⁺³-8aˣ⁺¹-5

aˣ⁺³-8aˣ⁺¹-5 - (aˣ⁺²-5aˣ⁺¹-6aˣ)

= aˣ⁺³-8aˣ⁺¹-5-aˣ⁺²+5aˣ⁺¹+6aˣ

= aˣ⁺³-aˣ⁺²-8aˣ⁺¹+5aˣ⁺¹+6aˣ-5

= aˣ⁺³-aˣ⁺²-3aˣ⁺¹+6aˣ-5  Solución.

________________________________________

27) 8aⁿ⁻¹+5aⁿ⁻²+7aⁿ+aⁿ⁻³  de  -8aⁿ+16aⁿ⁻⁴+15aⁿ⁻²+aⁿ⁻³

= -8aⁿ+15aⁿ⁻²+aⁿ⁻³+16aⁿ⁻⁴ - (7aⁿ+8aⁿ⁻¹+5aⁿ⁻²+aⁿ⁻³)

= -8aⁿ+15aⁿ⁻²+aⁿ⁻³+16aⁿ⁻⁴-7aⁿ-8aⁿ⁻¹-5aⁿ⁻²-aⁿ⁻³

= -8aⁿ-7aⁿ-8aⁿ⁻¹+15aⁿ⁻²-5aⁿ⁻²+aⁿ⁻³-aⁿ⁻³+16aⁿ⁻⁴

= -15aⁿ-8aⁿ⁻¹+10aⁿ⁻²+16aⁿ⁻⁴  Solución.

________________________________________

28) 31xª⁺¹-9xª⁺²-xª⁺⁴-18xª⁻¹  de  15xª⁺³+5xª⁺²-6xª+41xª⁻¹

= 15xª⁺³+5xª⁺²-6xª+41xª⁻¹ - (-xª⁺⁴-9xª⁺²+31xª⁺¹-18xª⁻¹)

= 15xª⁺³+5xª⁺²-6xª+41xª⁻¹+xª⁺⁴+9xª⁺²-31xª⁺¹+18xª⁻¹

= xª⁺⁴+15xª⁺³+5xª⁺²+9xª⁺²-31xª⁺¹-6xª+41xª⁻¹+18xª⁻¹

= xª⁺⁴+15xª⁺³+14xª⁺²-31xª⁺¹-6xª+59xª⁻¹  Solución.,

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30) -mˣ⁺⁴-6mˣ⁺¹-23mˣ⁺²-mˣ⁻¹  de  -15mˣ⁺³+50mˣ⁺¹-14mˣ-6mˣ⁻¹+8mˣ⁻²

= -15mˣ⁺³+50mˣ⁺¹-14mˣ-6mˣ⁻¹+8mˣ⁻² -(-mˣ⁺⁴-23mˣ⁺²-6mˣ⁺¹-mˣ⁻¹)

= -15mˣ⁺³+50mˣ⁺¹-14mˣ-6mˣ⁻¹+8mˣ⁻²+mˣ⁺⁴+23mˣ⁺²+6mˣ⁺¹+mˣ⁻¹

= mˣ⁺⁴-15mˣ⁺³+23mˣ⁺²+50mˣ⁺¹+6mˣ⁺¹-14mˣ-6mˣ⁻¹+mˣ⁻¹+8mˣ⁻²

=  mˣ⁺⁴-15mˣ⁺³+23mˣ⁺²+56mˣ⁺¹-14mˣ-5mˣ⁻¹+8mˣ⁻²  Solución.

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Valor numérico de expresiones compuestas.(2).

Sabemos que valor numérico de una expresión es el resultado de sustituir las letras por valores numéricos dados y después efectuar las operaciones indicadas.

Para encontrar el valor numérico de una expresión algebraica, de una manera simple, se debe seguir los siguientes pasos:

1) Sustituir en la expresión dada los valores propuestos.

2) Efectuar las operaciones indicadas.

3) Simplificar hasta llegar al resultado numérico.

Tener en cuenta resolver primero lo que está entre signos de agrupamiento y también el orden de las operaciones.

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Ejemplo.

Encontrar el valor numérico de 2(2a-b)(x²+y)-(a²+b)(b-a),

Siendo a = 2 , b =3 , x = 4 , y = 1/2

> Sustituyendo los valores numéricos de cada letra en la expresión:

= 2[2(2)-3](4²+1/2)-(2²+3)(3-2)

> Operando y simplificando:

= 2(1)(33/2)-(7)(1)

= 33-7 = 26  Solución. 

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Ejercicio 13.

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones;

siendo a = 1 , b = 2 ,  c = 3 , d = 4 , m = 1/2 , n = 2/3 , p = 1/4 ,  x = 0

1) (a+b)c-d

= (1+2)(3) - 4

= 9 - 4 = 5  Solución.

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2)  (a+b)(b-a)

= (1+2)(2-1)

= (3)(1) = 3  Solución.

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3)   (b-m)(c-n)+4a2

= (2- 1/2)(3 -2/3) +4(1²)

= (3/2)(7/3) +4

= 7/2 +4 = 15/2 = 7 ¹/₂  Solución.

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7)  b²(c+d)-a²(m+n)+2x

= 2²(3+4) - 1²(1/2 +2/3) +2(0)

= 4(7) - 1(7/6) + 0

= 28 - 7/6 = 26 ⁵/₆  Solución.

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8) 2mx+6(b²+c²)-4d²

= 2(1/2)(0) +6(2²+3²) -4(4²)

= 0 +6(13) -4(16)

= 78 - 64 = 14  Solución.

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9) (8m/9n + 16p/b)a.

= [8(1/2) / 9(2/3) +16(1/4 /2)]1

= [4/6 + 16(1/8)]1

= (4/6 + 2)1

= (8/3)1 = 8/3 = 2 ²/₃  Solución.

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11) 4(m+p)/a ÷ a²+b²/c² 

= 4(1/2 +1/4)/1 ÷ 1²+2²/3²

= 4(3/4) /1 ÷ 1+4 /9

= 3/1 ÷ 5/9

= 5 ²/₅  Solución.

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14)  (√c²+d² /1 ÷ 2/√d)m.

=  (√3²+4² /1 ÷ 2/√4)1/2.

= (√9+16 / 1 ÷ 2/2)1/2

= (√25/1 ÷ 1)1/2

= (5/1)(1/2)

= 5(1/2) = 5/2 = 2 ¹/₂  Solución.

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16)  (a +d/b) /(d-b) (5 +2/m²) /p²)

=[ 1 +(4/2) / (4-2) ][(5 +(2 / (¹/₂)²) / (¹/₄)²]

= [(1+2) / 2][(5 +8) / ¹/₁₆]

= (3/2)(13/¹/₁₆)

= (3/2)(208)

= 312  Solución.

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18)  [(√a+c) /2 + (√6n) /b]  ÷ (c+d)√p

= [(√1+3) /2 + (√(6)(²/₃)) /2]  ÷ (3+4)√¹/₄

= [√(1+3) /2 + √4/2] ÷ 7(1/2)

= (√4 /2 + 2/2) ÷ 7/2

= (1+1) ÷ 7/2

= 2 ÷ 7/2 = 4/7  Solución.

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19)  3(c-b)√32m - 2(d-a)√16p -2/n

= 3(3-2)√32(1/2) - 2(4-1)√16(1/4) -2 / 2/3

= 3(1)√16 - 2(3)√4 - 3

= 3(4) - 6(2) -3

= 12 -12 -3 = -3  Solución.

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23)  (2m+3n)(4p+2c) - 4m²n²

= [2(1/2)+3(2/3)][4(1/4)+2(3)] - [(4(1/2)²)(2/3)²]

= [1+2)][1+6] - [(4(1/4)(4/9)]

= (3)(7) - (1)(4/9)

= 21 - 4/9 = 20 ⁵/₉  Solución.

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Formación de un capital mediante imposiciones sucesivas iguales.

Es formar un determinado capital en cierto número de años, imponiendo al inicio de cada uno, una cantidad fija igual, colocada a interés compuesto.

Su fórmula es:

 donde: 

i = imposiciones.

c = capital

r = 1/100, tanto por uno

t = tiempo, años.

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Ejemplo.

¿Qué imposición al 5% de interés compuesto habrá que hacer para constituir en 20 años un capital de $80000?

Determinando el valor de los elementos:

c = 80000 , r = 0.05  , t = 20 , i = ?

Sustituyendo los valores en la fórmula:

    Solución._______________________________________
Ejercicio 305.
1) ¿?Qué imposición anual al 6% habrá que hacer para tener en 9 años $30000?c = 30000 , r = 0.06 , t = 9  ,  t =?i = (30000)(0.06) / (1+0.06)⁹+¹ - (1+0.06)i = 1800 / (1.06)¹⁰ - 1.06> log (1.06)¹⁰ = 10(log 1.06) = 10(0.0253058) = 0.253058> Antilog  0.253058 = 1.791i = 1800 / 1.791 -1.06i = 1800 / 0.731i = $2,462.38  Solución.________________________________________
2) Para constituir un capital de 90000 sucres en 20 años, ¿ qué imposición anual al 4% habrá que hacer ?c = 90000 ,  r = 0.04 ,  t = 20 ,  i = ?i = (90000)(0.04) / (1+0.04)²⁰⁺¹ - (1+0.04)i = 3600 / (1.04)²¹ -(1.04)i = 3600 / 2.2788 -1.04i = 3600 / 1.2388i = 2,906.03 Sucres.  Solución.________________________________________
3) Se ha constituido un capital de $200000 en 40 años mediante imposiciones anuales fijas al 5%. ¿Cuál ha sido la imposición anual ?c = 200000 .  r = 0.05 ,  t = 40 ,  i =?i = (200000)(0.05) / (1+0.05)⁴⁰⁺¹ - (1+0.05)i =  10000 / (1.05)⁴¹ - (1.05)  i = 10000 / 7.391988 - 1.05i = 10000 / 6.341988i = $1,576.79  Solución.________________________________________

Amortización de una deuda por anualidades.

Amortización es el pago que se hace en pagos iguales, de una deuda pactada a un % de interés compuesto anual durante el tiempo en años que dure la deuda. 

 Anualidad es una cantidad fija que se paga al final de cada año para amortizar un capital prestado y sus intereses en cierto número de años.

La fórmula de la anualidad es:

Capital prestado a interés compuesto, a un tanto "r" por uno durante "t" años.

    Primera anualidad

Segunda anualidad

Tercera anualidad 

Penúltima anualidad.

en donde:

c = capital prestado

r = tanto por uno, de un % tanto por ciento.

t = tiempo de duración.

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Ejemplo:

Una ciudad toma un empréstito de $500,000 al 4%, interés compuesto para amortizarlo en 15 años. ¿Qué anualidad deberá pagar?

c = 500000  ,  r = 0.04 ,  t = 15 , a = ?

Sustituyendo los valores en la fórmula:

a = 500000(0.04)(1+0,04)¹⁵ / (1+0.04)¹⁵ -1

Hallando el valor de (1+0,04)¹⁵, por logaritmos:

(1+0.04)¹⁵ = 15(log 1.04) = 15(0.017033) = 0.255495

Antilog de 0.255495 = 1.8009

-> a = 500000(0.04)(1.8009) / 1.8009 -1 = 500000(0.04)(1.8009)/ 0.8009

Aplicando logaritmos:

log a = log 500000 + log 0.04 + log 1.8009 + Colog 0.8009

log a = (5.698970 + ⁻2.602060 + 0.255495) + 0.096422

log a = 4.556525 + 0.096422 =  4.652947

Antilog 4.652947 = $47,972.49  Solución.

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Ejercicio 304.

1) ¿Qué anualidad hay que pagar para amortizar una deuda de $40000 al 5% de interés compuesto anual en 10 años?

c = 40000 , r = 0.05 , t = 10 , a = ?

> Sustituyendo los valores en la fórmula:

a = 40000(0.05)(1+0.05)¹⁰ ) / (1+0.05)¹⁰ -1

> Hallando el valor de (1.05)¹⁰ por logaritmos:

log (1.05)¹⁰ = 10(log 1.05) = 10(0.021189) = 0.21189

Antilog 0.21189 = 1.62888

-> a = 40000(0.05)(1.62888) / 1.62888 -1

a = 40000(0.05)(1.62888)/0.62888

> Aplicando logaritmos:

log a = log 40000 + log 0.05 + log 1.62888 + colog 0.62888

log a = (4.602060 + ⁻2.698970 + 0.211889) + 0.201430

log a = 3.512919 + 0.201430

log a =  3.714349

Antilog 3.714349 = $5,180.22  Solución.

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2) Se ha tomado a préstamo una suma de 85000 soles al 3%. ¿Qué anualidad habrá que pagar para amortizar la deuda en 12 años?

c = 85000 , r = 0.03 , t = 12  , a = ?

> Sustituyendo los valores en la fórmula:

a = 85000(0.03)(1+0.03)¹² / (1+0.03)¹²-1

> Hallando el valor de  (1+0.03)¹² por logaritmos:

log  (1.03)¹²  = 12 (log 1.03¹²) = 12(0.012837) = 0.154044 

Antilog  0.154044  = 1.425752

-> a =  85000(0.03)(1.425752) / 1.425752 -1

a = 85000(0.03)(1.425752) / 0.425752

> Aplicando logaritmos:

log a = log 85000 + log 0.03 + log 1.425752 + colog 0.425752

log a = (4.929419 + ⁻2.477121 + 0.154044) + 0.3709

 log a = 3.560584 + 0.3709

log a = 3.931484

Antilog 3.931484 = 8,540.51 soles.   Solución.

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3) Una empresa toma un empréstito de $600000 al 5%. ¿Qué anualidad deberá pagar para amortizar la deuda en 20 años?

c = 600000 , r = 0.05 , t = 20 ,  a = ?

> Sustituyendo los valores en la fórmula:

a = 600000(0.05)(1+0.05)²⁰ / ((1+0.05)²⁰) -1

> Hallando el valor de (1+0.05)²⁰ por logaritmos:

log (1+0.05)²⁰ = 20(log 1+0.05²⁰) = 20(0.021189) = 0.423786

Antilog 0.423786 = 2.653298

-> a = 600000(0.05)(2.653298) / 2.653298 -1. 

a = 600000(0.05)(2.653298) / 1.653298. 

Aplicando logaritmos:

log a = (log 600000 + log 0.05 + log 2.653298) + colog 1.653298

log a = (5.778151 + -2.698970 + 0.423786) + -1.78149

log a = 4.900907 + -1.781649 = 4.682556

Antilog 4.682556 = $48,145.53 = $48,146.  Solución.

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5) Una deuda de 3000 bolívares con el 6% de interés compuesto, se debe pagar en 5 años. ¿Cuál será el importe de la anualidad?

c = 3000 , r = 0.06 , t =5 , a = ?

>Sustituyendo los valores en la fórmula:

a = 3000(0.06)(1+0.06)⁵ / (1+0.06)⁵ -1  

> Hallando el valor de (1+0.06)⁵ por logaritmos:

log (1.06)⁵ = 5(log 1.06⁵ = 5(0.025306) = 0.126529

Antilog 0.126529 = 1.338225

-> a = 3000(0.06)(1.338225) / 1.338225 -1

a =  3000(0.06)(1.338225) / 0.338225

> Aplicando logaritmos:

log a = log 3000 + log 0.06 + log 1.338225 + colog 0.338225

log a = (3.477121 + ⁻2.778151 + 0.126529) + 0.470794

log a = 2.381801 + 0.470794

log a = 2.852595

Antilog 2.852595 = 712.19 bolívares.  Solución.

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