Multiplicación de cantidades imaginarias puras.

.                              (√-81)(√-49)

Procedimiento:

1) Se convierten las cantidades imaginarias a la forma a√-1

2) Se multiplican los coeficientes de las imaginarias y luego se multiplican la unidad imaginaria.

3) Se simplifica utilizando la tabla de potencias de imaginarias. Ver Ejercicio 253.

4) Si fuera el caso que al convertir las imaginarias a la forma a√-1, queden fuera de la imaginaria cantidades con radicales no imaginarios (√2 u otro similar):

4a) Se multiplican los coeficientes,

4b) Se multiplican los radicales no imaginarios y por último se multiplican los imaginarios.

4c) Se simplifica el resultado a su mínima expresión.

5) Si se diera el caso de una multiplicación de un monomio por un binomio, o dos o mas binomios; se procede a convertir las cantidades imaginarias a la forma a√-1; y luego se multiplican las expresiones como radicales compuestos. ( Se copia una primera expresión y abajo otra expresión y luego se multiplica).

Para todas las operaciones tomar en cuenta la tabla de potencias de imaginarios. Ver Ejercicio 253.

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Ejemplos:

a) Multiplicar √-4 por √-9

→ (√-4)(√-9)

√-4 = √[(4)(-1)] = (√2²)(√-1) = 2√-1

√-9 = √[(9)(-1)] = (√3²)(√-1) = 3√-1

→ (2√-1)(3√-1)

= (2)(3)(√-1)(√-1)

= 6(√-1)²

= 6(-1) = - 6 Solución.

b) Multiplicar √-5 por √-2

→ (√-5)(√-2)
√-5 = √[(5)(-1)] = (√5)(√-1)
√-2 = √[(2)(-1)] = (√2)(√-1)
→ [(√5)(√-1)][(√2)(√-1)]
= [(√5)(√2)][(√-1)(√-1)]
= (√10)(√-1)²
= (√10)(-1)
= - √10 Solución.
En este caso tanto √5 como √2, el 5 y el 2 son números primos y no se pueden factorizar para eliminar el signo radical, por lo que se multiplican por separado como radicales reales.

c) Multiplicar √-16 por √-25 por √-81

→ (√-16)(√-25)(√-81)
√-16 = √[(16)(-1)] = (√16)(√-1) = (√4²)(√-1) = 4√-1
√-25 = √[(25)(-1)] = (√5)(√-1) = (√5²)(√-1) = 5√-1
√-81 = √[(81)(-1)] = (√81)(√-1) = (√9²)(√-1) = 9√-1
→ (4√-1)(5√-1)(9√-1)
= (4)(5)(9)(√-1)³ (ver tabla de potencias imaginarias. Ejercicio 253)
= 180 -(√-1)
= -180√-1
= - 180i Solución.

d) Multiplicar √-9 + 5√-2 por √-4 - 2√-2

→ (√-9 + 5√-2)(√-4 -2√-2)

(3√-1 + 5√2√-1)(2√-1 – 2√2√-1) (Convertidas a la forma a√-1)

. 3√-1 + 5√2√-1

. 2√-1 - 2√2√-1 . (multiplicando)
. 6(√-1)² +10√2(√-1)²
. - 6√2(√-1)² - 10(√2)²(√-1)²
. 6( -1 ) + 4√2( -1 ) - 10(2)(-1) ( Se eliminaron los signos radicales)

= -6 – 4√2 +20 ( Simplificando)

= 14 - 4√2 Solución.

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Ejercicio 255.

Multiplicar:

2) (√-81)(√-49)
→√-81 = √[(81)(-1)] = (√9²)(√-1) = 9√-1
√-49 = √[(49)(-1)] = (√7²)(√-1) = 7√-1
→ (9√-1)(7√-1)
= (9)(7)(√-1²)

= 63(-1) = - 63 Solución.

3) (5√-6)(4√-64)
5√-36 = 5[(√36)(-1)] = 5(√6²)(√-1) = 5(6)(√-1) = 30√-1
4√-64 = 4[(√64)(-1)] = 4(√8²)(√-1) = 4(8)(√-1) = 32√-1

→ (30√-1)(32√-1)

= (30)(32)(√-1)²

= 960(-1) = - 960 Solución.

10) (√-12)(√-27)(√-8)(√-50)

√-12 = √[(12)(-1)] = (√2²3)(√-1) = 2(√3)(√-1) = 2√3√-1
√-27 = √[(27)(-1)] = (√3²3)(√-1) = 3(√3)(√-1) = 3√3√-1
√-8 = √[(8)(-1)] = (√2²2)(√-1) = 2(√2)(√-1) = 2√2√-1
√-50 = √[(50)(-1)] = (√5²2)(√-1) = 5(√2)(√-1) = 5√2√-1
→ (2√3√-1)(3√3√-1)(2√2√-1)(5√2√-1)
= (2)(3)(2)(5)(√3)(√3)(√2)(√2)(√-1)⁴
= 60(√36)(1)

= 60(√6²)(1)

= 60(6)(1)

= 360 Solución.

13) (√-2 + 3√-5)(2√-2 – 6√-5)

= {(√2)(√-1) + 3(√5)(√-1)} {2(√2)(√-1) -6 (√5)(√-1)}
= (√2√-1 + 3√5√-1)(2√2√-1 – 6√5√-1)

→ √2√-1 + 3√5√-1

. 2√2√-1 – 6√5√-1
. 2√4(√-1)² + 6√10(√-1)²
. - 6√10(√-1)² - 18√25(√-1)²
. 2√4(√-1)² - 18√25(√-1)²

= 2√4(-1) – 18√25(-1)

= -2√4 +18√25

= -2√² +18√5²

= -2(2) +18(5)

= -4 +90

= 86 Solución.

Suma y resta de cantidades imaginarias puras.

. √-4 + √-16

Se reducen a la forma de una cantidad real (a) multiplicada por √-1 y luego se reducen como radicales semejantes.

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Ejemplos:



a) Simplificar √-4 + √-9

> Convirtiendo a la forma a√-1

√-4 = √[(4)(-1)] = (√2²)(√-1) = 2√-1
√-9 = √[(9)(-1)] = (√3²)(√-1) = 3√-1
> Reduciendo como radicales semejantes:
2√-1 + 3√-1

= (2+3)√-1

= 5√-1

= 5i Solución.

b) Simplificar 2√-36 - √-25 + √-12

> Convirtiendo a la forma a√-1:

2√-36 = 2[(√36)(-1)] = 2(√6²)(√-1) = 2(6)√-1 = 12√-1

√-25 = [(√25)(-1)] = (√5²)(√-1) = 5(√-1) = 5√-1
√-12 = [(√12)(-1)] = [√2²(3)](√-1) = 2(√3)(√-1)

> Reduciendo los radicales semejantes:

12√-1 – 5√-1 + 2(√3)(√-1)

= (12-5+2√3)(√-1)

= (7+2√3)(√-1)
= (7+2√3)i Solución.

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Ejercicio 254

Simplificar:

1) √-4 + √-16

√-4 = √[(4)(-1)] = (√2²)(√-1) = 2(√-1)
√-16 = √[(16)(-1)] = (√4²)(√-1) = 4(√-1)
→ 2(√-1) + 4(√-1)
= (2+4)√-1
= 6√-1
= 6i Solución.

2) √-25 + √-81 - √-49
√-25 = √[(25)(-1)] = (√5²)(√-1) = 5(√-1)
√-81 = √[(81)(-1)] = (√9²)(√-1) = 9(√-1)
√-49 = √[(49)(-1)] = (√7²)(√-1) = 7(√-1)
→ 5(√-1) + 9(√-1) – 7(√-1)
= (5+9-7)√-1
= 7√-1
= 7i Solución.

3) 2√-9 + 3√-100
2√-9 = 2√[(9)(-1)] = 2√(3²)(√-1) = 2(3)√-1 = 6√-1
3√-100 = 3√[(100)(-1)] = 3√(10²)(√-1) = 3(10)√-1 = 30√-1
→ 6√-1 + 30√-1
= (6+30)√-1
= 36√-1
= 36i Solución.

6) √-18 + √-8 + 2√-50
√-18 = √[(18)(-1)] = (√3²)(2)(√-1) = 3(√2)(√-1)
√-8 = √[(8)(-1)] = (√2²)(2)(√-1) = 2(√2)(√-1)
2√-50 = 2√[(50)(-1)] = 2(√5²)(2)(√-1) = 2(5)(√2)(√-1)
→ 3(√2)(√-1) + 2(√2)(√-1) + 10(√2)(√-1)
= (3+2+10)√2√-1
= 15√2√-1
= 10√2i Solución.

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