División de dos polinomios y su prueba.

Para comprobar si el cociente de una divisón de dos polinomios es correcto, basta con multiplicar dicho cociente por el divisor y el resultado deberá ser igual al dividendo.

En ocasiones para efectuar la prueba o comprobación, se puede multiplicar el divisor por el cociente, para hacer más sencilla la multiplicación.

___________________________________

 

Ejemplos:

 

a) Dividir 2x³ -2 -4x entre 2 +2x.

 

> Primero ordenar tanto el divisor como el dividendo:

2x³ -4x -2  ÷ 2x +2

 

Resolviendo la división:

 

.            x² -x-1

2x+2  | 2x³          -4x -2

.          -2x³ -2x²

.                  -2x² - 4x

.                    2x² +2x

.                           -2x -2

.                            2x +2

.                                0

Comprobación:

x² -x -1

2x+2               .

2x³ - 2x² -2x

.     +2x² -2x -2

2x³         -4x -2 ->  = 2x³ -4x -2

_______________________________

b) Dividir  x¹²+x⁶y⁶-x⁸y⁴-x²y¹º entre x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶

 

> Ordenando los polinomios:

 

 x¹²-x⁸y⁴+x⁶y⁶-x²y¹º  ÷ x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶

 

> Efectuando la división: 

.                             x⁴ -x²y² +y⁴                                     .

x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶ | x¹²           -x⁸y⁴ + x⁶y⁶           - x²y¹º

.                            -x¹² -x¹ºy² +x⁸y⁴ + x⁶y⁶

.                                   -x¹ºy²          +2x⁶y⁶       

 .                                   x¹ºy² +x⁸y⁴ -   x⁶y⁶ - x⁴y⁸ 

.                                               x⁸y⁴ +  x⁶y⁶ - x⁴y⁸ - x²y¹º

.                                              -x⁸y⁴  -  x⁶y⁶ +x⁴y⁸ +x²y¹º

.                                                                 0 

Comprobación:

 

x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶

x⁴ -x²y² +y⁴         .
x¹² +x¹ºy²- x⁸y⁴-x⁶y⁶

.     -x¹ºy²- x⁸y⁴+x⁶y⁶+x⁴y⁸

.              +x⁸y⁴+x⁶y⁶- x⁴y⁸ -x²y¹º

x¹²           - x⁸y⁴+x⁶y⁶          -x²y¹º

-> = x¹² - x⁸y⁴ +x⁶y⁶ -x²y¹º

Nota: En este caso se aplicó la propiedad conmutativa de la multiplicación.(Se multiplicó el divisor por el cociente). Como recordarás el cambio de orden de los factores no altera el producto.

__________________________________

Ejercicio 55.

Dividir los siguientes polinomios y comprobar el cociente:

 

2) x⁵+12x²-5x entre x²-2x+5

 

 .              x³+2x²-x                 

x²-2x+5 | x⁵              +12x²-5x

.             -x⁵+2x⁴ -5x³

.                    2x⁴ -5x³+12x² 

.                   -2x⁴+4x³ -10x²

.                           - x³ + 2x² -5x

.                              x³ - 2x²+5x

.                                      0

Comprobación.

x³+2x²-x

x²-2x+5

x⁵+2x⁴-  x³

.   -2x⁴-4x³+  2x²

.           5x³+10x²-5x

x⁵              +12x²-5x = x⁵+12x²-5x  Solución.

__________________________________

5) x⁶+6x³-2x⁵-7x²-4x+6 entre x⁴-3x²+2

 

.               x²-2x+3                             .

x⁴-3x²+2 | x⁶- 2x⁵       +6x³ -7x² -4x+6

.               -x⁶       +3x⁴        -2x²

.                   - 2x⁵+3x⁴+6x³ -9x²      +6

.                     2x⁵        - 6x³       +4x

.                             3x⁴        -9x²      +6

.                            -3x⁴       +9x²      - 6

.                                           0

Comprobación:

x²-2x+3

x⁴-3x²+2

x⁶-2x⁵+3x⁴

.         - 3x⁴+6x³-9x²

.                          2x²-4x+6

x⁶-2x⁵        +6x³-7x² -4x+6 = x⁶-2x⁵+6x³-7x²-4x+6  Solución.

___________________________________

8) 3x³y-5xy³+3y⁴-x⁴  entre x²-2xy+y²

= -x⁴+3x³y-5xy³+3y⁴ ÷ x²-2xy+y²  (ordenado el dividendo)

 

 .                 -x²+xy+3y²                     .

 x²-2xy+y² | -x⁴+3x³y         -5xy³+3y⁴

.                    x⁴- 2x³y+  x²y²

.                            x³y+  x²y²-5xy³

.                           -x³y+2x²y²-  xy³

.                                    3x²y²-6xy³+3y⁴       

.                                   -3x²y²-6xy³+3y⁴

.                                                 0

Comprobación:

 -x²+xy+3y²

 x²-2xy+y²

-x⁴+  x³y+3x²y²

.      2x³y- 2x²y² - 6xy³

.             -   x²y² + xy³+3y⁴

-x⁴+3x³y            -5xy³+3y⁴ = -x⁴+3x³y-5xy³+3y⁴  Solución.

___________________________________

 

13) 5a³x²-3x⁵-11ax⁴+3a⁴x-2a⁵  entre  3x³-a³+2ax²

=  -2a⁵+3a⁴x+5a³x²-11ax⁴-3x⁵ ÷ -a³+2ax²+3x³ (ordenados)

.                      2a²-3ax-x²                                      .

-a³+2ax²+3x³ | -2a⁵+3a⁴x+5a³x²          -11ax⁴ -3x⁵

.                        2a⁵          -4a³x² -6a²x³

.                                3a⁴x+ a³x² -6a²x³

.                               -3a⁴x         +6a²x³ +9ax⁴

.                                           a³x²           - 2ax⁴                              

.                                          -a³x²           +2ax⁴+3x⁵

.                                                            0

Comprobación:

2a²-3ax-x²

-a³+2ax²+3x³

-2a⁵+3a⁴x+ a³x²

.                4a³x²- 6a²x³- 2ax⁴

.                        +6a²x³- 9ax⁴ -3x⁵

-2a⁵+3a⁴x+5a³x²         -11ax⁴ -3x⁵

 

-> = -2a⁵+3a⁴x+5a³x²-11ax⁴-3x⁵  Solución.

___________________________________

 

16) m⁶-m⁵+5m³-6m+9  entre  m⁴+3-m²+m³

= m⁶-m⁵+5m³-6m+9  ÷  m⁴+m³-m²+3 (ordenado el divisor)

 

.                       m²-2m+3                                 .

 m⁴+m³-m²+3 | m⁶-  m⁵       +5m³         +6m+9

 .                     -m⁶-  m⁵+ m⁴         - 3m²

 .                          - 2m⁵+ m⁴+5m³- 3m²

.                           +2m⁵+2m⁴-2m³         - 6m 

.                                     3m⁴+3m³- 3m²     

.                                    -3m⁴- 3m³+3m²       - 9

 .                                                    0

Comprobación:

m²-2m+3

m⁴+m³-m²+3

m⁶-2m⁵+3m⁴

.   + m⁵ -2m⁴+3m³

.            -  m⁴+2m³- 3m²

.                             +3m²-6m+9

m⁶-  m⁵         +5m³         -6m+9

 

= m⁶-m⁵+5m³-6m+9  Solución.

__________________________________

19) 4y³-2y⁵+y⁶-y⁴-4y+2  entre  y⁴+2-2y²

=  y⁶-2y⁵-y⁴+4y³-4y+2 ÷ y⁴-2y²+2

 

.               y²-2y+1                                .

y⁴-2y²+2 | y⁶ - 2y⁵ -   y⁴+4y³       -4y+2

.               -y⁶         +2y⁴        -2y²

.                    - 2y⁵ +  y⁴+4y³-2y²

.                    +2y⁵         -4y³        +4y

.                                 y⁴       -2y²        +2

.                                -y⁴      +2y²        - 2

.                                              0

Comprobación:

y²-2y+1

y⁴-2y²+2

y⁶-2y⁵+ y⁴

.         -2y⁴+4y³- 2y²

.                       +2y²-4y+2

y⁶-2y⁵ - y⁴+4y³        -4y+2

 

= y⁶-2y⁵-y⁴+4y³-4y+2  Solución.

____________________________________

 

22) 24x⁵-52x⁴y+38x³y²-33x²y³-26xy⁴+4y⁵ entre 8x³-12x²y-6xy²+y³

 

.                               3x²-2xy+4y²                                          .

8x³-12x²y-6xy²+y³ | 24x⁵-52x⁴y+38x³y²-33x²y³ -26xy⁴+4y⁵

.                              -24x⁵+36x⁴y+18x³y²-  3x²y³

.                                       - 16x⁴y+56x³y²-36x²y³

.                                         16x⁴y- 24x³y²-12x²y³ + 2xy⁴

.                                                  +32x³y² -48x²y³- 24xy⁴

.                                                   -32x³y²+48x²y³+24xy⁴-4y⁵

.                                                                          0 

Comprobación:

3x²-2xy+4y²

8x³-12x²y-6xy²+y³

24x⁵-16x⁴y+32x³y²

.      -36x⁴y+24x³y²- 48x²y³

.                 - 18x³y²+12x²y³-24xy⁴

.                              +  3x²y³-  2xy⁴+4y⁵

24x⁵-52x⁴y+38x³y² -33x²y³- 26xy⁴+4y⁵  Solución.

_____________________________________

 

28)  x¹¹-5x⁹y²+8x⁷y⁴-6x⁵y⁶-5x³y⁸+3xy¹⁰ entre x⁵-2x³y²+3xy⁴

 

 .                        x⁶-3x⁴y²-x²y⁴+y⁶                               .

x⁵-2x³y²+3xy⁴ | x¹¹- 5x⁹y²+8x⁷y⁴ -6x⁵y⁶ -5x³y⁸+3xy¹⁰

-                       -x¹¹+2x⁹y²- 3x⁷y⁴

.                              -3x⁹y²+5x⁷y⁴

.                             +3x⁹y²- 6x⁷y⁴+9x⁵y⁶

.                                        -   x⁷y⁴+3x⁵y⁶   

.                                        +  x⁷y⁴- 2x⁵y⁶+3x³y⁸

.                                                   +  x⁵y⁶- 2x³y⁸

.                                                    -  x⁵y⁶+2x³y⁸- 3xy¹⁰

.                                                                      0

 Comprobación:

x⁶-3x⁴y²-x²y⁴+y⁶

x⁵-2x³y²+3xy⁴  .

x¹¹- 3x⁹y²-  x⁷y⁴+  x⁵y⁶ 

.   - 2x⁹y²+6x⁷y⁴+2x⁵y⁶-2x³y⁸ 

.              +3x⁷y⁴- 9x⁵y⁶-3x³y⁸+3xy¹⁰

x¹¹- 5x⁹y²+8x⁷y⁴- 6x⁵y⁶-5x³y⁸+3xy¹⁰  Solución.

___________________________________

 

 33) a⁵+b⁵ entre a+b

 

.       a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴         .

a+b | a⁵                               +b⁵

.      -a⁵ -a⁴b

.            -a⁴b

.             a⁴b+a³b²

.                  +a³b²

.                   -a³b²-a²b³ 

.                           -a²b³

.                          +a²b³+ab⁴

.                                   +ab⁴ 

.                                    -ab⁴-b⁵

.                                         0

Comprobación.

a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴

a + b 

a⁵- a⁴b+a³b²- a²b³+ab⁴

.  +a⁴b- a³b²+a²b³- ab⁴+b⁵

a⁵                                +b⁵

 

-> = a⁵ +b⁵  Solución.

__________________________________

 

 38) x³+y³+3x²y+3xy²-1 entre x²+2xy+y²+x+y+1

= x³+3x²y+3xy²+y³-1 ÷ x²+2xy+y²+x+y+1

 

 .                               x+y-1                                                .

 x²+2xy+y²+x+y+1 | x³+3x²y           +3xy²               +y³ -1

 .                              -x³- 2x²y-x²-xy-    xy² -x

.                                        x²y-x²-  xy+2xy²-x

.                                       -x²y    -  xy- 2xy²     -y -y² - y³

.                                             -x²-2xy          -x - y - y²

.                                              x²+2xy         +x +y +y²     +1  

.                                                                     0

Comprobación:

x²+2xy+y²+x+y+1

x +y -1

x³+2x²y+ xy² +x²+ xy+x

.      x²y+2xy²      + xy    +y+y²+y³

.                      -x²-2xy -x- y -y²      -1

x³+3x²y+2xy²                           +y³ -1

 

-> =  x³+3x²y+2xy²+y³ -1  Solución.

____________________________________ 

División de un polinomio entre un monomio con coeficientes fraccionarios.

Ejemplo: 

 

 

_______________________________________

Ejercicio 53.

________________________________________

__________________________________________

___________________________________________

_________________________________________

División de monomios con coeficientes fraccionarios.

 Ejemplo: Dividir 2/3 a²b³c  entre  -5/6 a²bc

2/3 a²b³c ÷ -5/6 a²bc

= (2/3 ÷ -5/6)(a²⁻²)(b³⁻¹)(c¹⁻¹)

= -4/5 (a⁰)(b²)(c⁰)

= -4/5 (1)(b²)(1= -4/5 b²  Solución.

______________________________________

Ejercicio 51.

Dividir:

2) -3/5 a³b  entre  -4/5 a²b

-3/5 a³b ÷ -4/5 a²b

= (-3/5 ÷ -4/5)(a³⁻²)(b¹⁻¹)

= 3/4 a  Solución.

_______________________________________

4) -7/8 a^mbⁿ entre -3/4 ab²

= -7/8 a^mbⁿ ÷ -3/4 ab²

= (-7/8 ÷ -3/4)(a^m⁻¹)(bn-2)

= 7/6 a^m⁻¹bn-2  Solución.

________________________________________

6) 3m⁴n⁵p⁶ entre -1/3m⁴np⁵

3m⁴n⁵p⁶ ÷ -1/3m⁴np⁵

= (3 ÷ -1/3)(m⁴⁻⁴)(n⁵⁻¹)(p⁶⁻⁵)

= -9 m⁰n⁴p¹ = -9n⁴p  Solución.

________________________________________

8) 2/3 aˣb^m entre -3/5 ab²

 2/3 aˣb^m ÷ -3/5 ab²

= (2/3÷-3/5)(aˣ⁻¹)(b^m⁻²)

= -10/9 aˣ⁻¹b^m⁻² Solución.  

^{________________________________________________}

^{10) 3/4 ambn entre -3/2 b³}

^{3/4 ambn ÷ -3/2 b³}

= (3/4 ÷ -3/2)(a^mbⁿ⁻³)

= -1/2 a^mbⁿ⁻³  Solución.

_______________________________________

12) -1/15aˣ⁻³b^m⁺⁵c² entre 3/5 aˣ⁻⁴b^m⁻¹

= -1/15aˣ⁻³b^m⁺⁵c² ÷ 3/5 aˣ⁻⁴b^m⁻¹

= (-1/15 ÷ 3/5)(aˣ⁻³⁻⁽ˣ⁻⁴⁾)(b^m⁺⁵⁻⁽^m⁻¹⁾)(c²)

= -1/9 a¹b⁶c²

= -1/9 ab⁶c²  Solución.

________________________________________

Multiplicación combinada con suma y resta.

 Ejemplos:

a) Simplificar (x+3)(x-4)+3(x-1)(x+2)

> Operando los productos:

= (x²-x-12)+3(x²+x-2)

= x²-x-12 + (3x²+3x-6)

> Realizando la suma:

= x² +3x² -x +3x -12 -6

= 4x² +2x -18   Solución.

______________________________

b) Simplificar  x(a-b)² - 4x(a+b)²

> Resolviendo los binomios al cuadrado:

= x(a²-2ab+b²) - 4x(a²+2ab+b²)

> Realizando los productos:

= a²x -2abx+b²x - (4a²x+8abx+4b²x)

> Realizando la resta:

 = a²x -2abx +b²x -4a²x -8abx -4b²x

= a²x -4a²x -2abx -8abx +b²x -4b²x

= -3a²x -10abx -3b²x  Solución.

_____________________________________

Ejercicio 47.

Simplificar:

3) a(a-x) +3a(x+2a) - a(x-3a)

= a²-ax +(3ax+6a²) - (ax-3a²)

= a² -ax +3ax +6a² -ax +3a²

= a² +6a² +3a² -ax +3ax  -ax 

= 10a² +ax   Solución.

_____________________________________

5) 4m³ -5mn² +3m²(m²+n²) -3m(m²-n²)

=  4m³ -5mn² + 3m⁴ +3m²n² - (3m³ -3mn²)

= 4m³ -5mn² + 3m⁴ +3m²n² -3m³ +3mn²

= 3m⁴ +4m³ -3m³ +3m²n² -5mn² +3mn² 

= 3m⁴ +m³ +3m²n² -2mn²   Solución.

______________________________________

6) y² +x²y³ -y³(x²+1) +y²(x²+1) -y²(x²-1)

= y² +x²y³ -x²y³ -y³ +x²y² +y² -x²y² +y²

= -y³ +x²y³ -x²y³ +x²y² -x²y² +y² +y² +y²

= -y³ +3y²   Solución.

______________________________________

8) (a+5)(a-5) -3(a+2)(a-2) +5(a+4)

= a² -25 -3(a² -4) +5a +20

= a² -25 -3a² +12 +5a +20

= a² -3a² +5a -25 +12 +20 

= -2a² +5a +7   Solución.

______________________________________

10) (a+c)² - (a-c)²

= a² +2ac +c² - (a² -2ac +c²)

=  a² +2ac +c² -a² +2ac -c²

= a² -a² +2ac +2ac +c² -c²

= 4ac   Solución.

_______________________________________

12) (m+n)² -(2m+n)² +(m-4n)² 

= m² +2mn +n² -(4m² +4mn +n²) +(m² -8mn +16n²)

= m² +2mn +n² -4m² -4mn -n² +m² -8mn +16n²

= m² -4m² +m² +2mn -4mn -8mn +n² -n² +16n²

= -2m² -10mn +16n²   Solución.

_______________________________________

14) (a+b-c)² +(a-b+c)² -(a+b+c)².

= (a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc) + (a²+b²+c²-2ab+2ac-2bc) - (a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)

= a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc+a²+b²+c²-2ab+2ac-2bc-a²-b²-c²-2ab-2ac-2bc

= a²+a²-a²+b²+b²-b²+c²+c²-c²+2ab-2ab-2ab-2ac+2ac-2ac-2bc-2bc-2bc

= a² +b² +c² -2ab -2ac -6bc  Solución.

________________________________________

16) (x+y+z)² -(x+y)(x-y) +3(x²+xy+y²)

= (x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz) - (x²-y²) + (3x²+3xy+3y²)

= x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz -x²+y²+3x²+3xy+3y²

= x²-x²+3x²+y²+y²+3y²+z²+2xy+3xy+2xz+2yz 

= 3x² +5y² +z² +5xy +2xz +2yz   Solución.

________________________________________

18) [3(x+2) -4(x+1)][3(x+4) -2(x+2)]

= [3x +6 -4x -4][3x +12 -2x -4]

= (-x+2)(x+8)

= -x²-6x+16  Solución.

________________________________________

20) [(x+y)² -3(x-y)²][(x+y)(x-y) +x(y-x)]

= [(x²+2xy+y²) -3(x²-2xy+y²)][x²-y² +xy-x²]

= (x²+2xy+y²-3x²+6xy-3y²)(-y²+xy)

= (x²-3x²+2xy+6xy+y²-3y²)(-y²+xy)

= (-2x²+8xy-2y²)(-y²+xy)

= 2x²y² -2x³y -8xy³ +8x²y²+2y⁴-2xy³

= -2x³y +10x²y² -10xy³+2y⁴   Solución.

_____________________________________

Multiplicación de polinomios por coeficientes separados.

 Es la forma simplificada de la operación, en la que no se colocan las letras; pero si se consideran al final del producto.

Este tipo de operación se se aplica en los casos siguientes:

I) Cuando se multiplican dos polinomios que contengan una sola y misma letra y estén ordenados con relación a esa misma letra.

II) Cuando se multiplican dos polinomios homogéneos que contengan sólo dos letras comunes y estás estén ordenadas con relación a una y misma letra. Además la suma de los exponentes en cada término son iguales. 

Ejemplo: x⁴ +x³y +x²y² +xy³ +y⁴ este polinomio es homogéneo porque la suma de los exponentes de cada término es 4.

________________________________________

Procedimiento:

1) Se multiplican los coeficientes, con sus propios signos, del multiplicando por los coeficientes del multiplicador.

2) Se multiplica la literal del primer término del multiplicando, por la literal del primer término

del multiplicador, ambas con su respectivo exponente.

3) El resultado anterior será la literal que debe agregarse al primer coeficiente del producto de los coeficientes de los polinomios.

4) A partir del segundo término en adelante se disminuye una unidad en el exponente, si los polinomios fueron ordenados en orden descendente en relación a una misma letra. Y este resultado será la Solución.

________________________________________

Ejemplos Caso I.

a) Multiplicar 3x³-2x²+5x-2  por  2x²+4x-3

> Multiplicando los coeficientes separados:

3 -2 +5 -2

2 +4 -3    .

6  - 4 +10  -  4

.  +12 -  8 +20 - 8

 .         - 9 +  6 -15 +6

6 + 8  -  7 +22 -23 +6    

> Multiplicando el primer término del multiplicando por el primer término del multiplicador, sin los coeficientes, para obtener el exponente del primer término del resultado;

-> (x³)(x²) = x⁵  

> Al coeficiente del primer término del producto se le agrega x⁵ y como en los polinomios multiplicados el exponente de cada término disminuye una unidad, se hace lo mismo en los siguientes términos del producto:

-> 6x⁵ +8x⁴ -7x³ +22x² -23x +6   es la Solución.

_____________________________________

b) Multiplicar  a⁴-6a²+2a-7  por  a³-2a+4

> Multiplicando los coeficientes del multiplicando por los coeficientes del multiplicador. Como en el multiplicando falta un término con exponente 0, y en el multiplicador falta un término con el exponente 2; entonces agregamos un cero en su lugar correspondiente:

1  0  -6  +2  -7

.  +1  0   -2  +4

1  0  -6  +2  - 7

.       -2   0  +12  -  4  +14

.            +4     0  - 24  + 8  -28

1  0  -8  +6  + 5  -28  +22  -28

> Multiplicando el primer término del multiplicando por el primer término del multiplicador, sin los coeficientes, para obtener el exponente del primer término del resultado;

-> (a⁴)(a³) = a⁷  

> Agregando las literales a el resultado de los coeficientes:

1a⁷  0a⁶  -8a⁵  +6a⁴  + 5a³  -28a²  +22a  -28

= a⁷ -8a⁵  +6a⁴  + 5a³  -28a²  +22a  -28  Solución.

_________________________________

Ejemplos Caso II:

a) Multiplicar a⁴-5a³m+7a²m²-3m⁴  por  3a²-2m²

> Multiplicando los coeficientes de los polinomios:

1  -5  +7  0  -3

3   0  -2               .

3  -15  +21    0    - 9

.           -  2  +10  -14  -0  +6

3  -15  +19  +10  -23  -0  +6

> Multiplicando el primer término del multiplicando por el primer término del multiplicador, sin los coeficientes, para obtener el exponente del primer término del resultado;

-> (a⁴)(a²) = a⁶

> Agregando las literales a el resultado de los coeficientes:

3a⁶ -15a⁵m +19a⁴m² +10a³m³ -23a²m⁴  -0am⁵ +6m⁶

= 3a⁶ -15a⁵m +19a⁴m² +10a³m³ -23a²m⁴ +6m⁶  Solución.

_______________________________________

Ejercicio 45.

Multiplicar por coeficientes separados:

2)  x⁴+3x³-5x²+8  por  x³-2x²-7

1  +3  -5  0  +8

1  -2  0  -7       .

1  +3   -5     0   + 8

.   - 2   -6  +10    0   - 16

.                 -  7  -21  +35  0  -56

1  +1  -11  + 3  -13  +19  0  -56

(x⁴)(x³) = x⁷

-> x⁷ +x⁶ -11x⁵ +3x⁴ -13x³ +19x² -0x -56

= x⁷ +x⁶ -11x⁵ +3x⁴ -13x³ +19x² -56   Solución.

______________________________________

3) a⁴+3a³b-2a²b²+5ab³-b⁴  por  a²-2ab+b²

1  +3  -2  +5  -1

1  -2  +1           .

1  +3  -2  +5  -  1

    - 2  -6  +4  -10  +2

            1  +3  -  2  +5  -1

1  +1 - 7  +12  -13 +7  -1

(a⁴)(a²) = a⁶

-> 1a⁶  +1a⁵b - 7a⁴b²  +12a³b³  -13a²b⁴ +7ab⁵  -1b⁶

= a⁶ +a⁵b -7a⁴b² +12a³b³ -13a²b⁴ +7ab⁵ -b⁶   Solución.

______________________________________

4) m³+n³+6mn²-5m²n  por  m³-4mn²-n³

m³-5m²n+6mn²+n³  por  m³-4mn²-n³  (ordenado en relación a m)

1  -5  +6  +1

1   0  -4 -1   .

1  -5  +6  +1

.         -4  +20  -24   -4

.               -1    + 5   -6   -1

1  -5  +2  +20  -19  -10  -1

(m³)(m³) = m⁶

-> m⁶ -5m⁵n +2m⁴n² +20m³n³ -19m²n⁴ -10mn⁵ -n⁶  Solución.

_______________________________________

6) a⁶-3a⁴-6a²+10  por  a⁸-4a⁶+3a⁴-2a²

1  -3  -6  +10

1  -4  +3  -2  .

1  - 3  -  6  +10

.    -4  +12 +24  -40

 .            3    - 9  -18   +30

.                    -2  + 6   +12  -20 

1   -7  + 9   +23  -52  +42  -20

(a⁶)(a⁸) = a¹⁴ ( en este caso los exponentes del 2º término en adelante disminuyen de dos en dos igual que en los polinomios dados.)

-> a¹⁴ -7a¹² +9a¹º +23a⁸ -52a⁶ +42a⁴ -20a²  Solución.

__________________________________________

8) m¹² -7m⁸ +9m⁴ -15  por  m¹⁶ -5m¹² +9m⁸ -4m⁴ +3

1  -7  +9  -15

1  -5  +9  -4  +3

1  -7  +  9  - 15

.   -5  +35  - 45  + 75

.         + 9  - 63  + 81 -135

.                -   4  + 28  - 36  +60

.                         +  3  -  21  +27  -45  

1 -12 +53 -127 +187 -192  +87  -45

(m¹²)(m¹⁶) = m²⁸   ( en este caso los exponentes del 2º término en adelante disminuyen de cuatro en cuatro igual que en los polinomios dados.)

-> m²⁸ -12m²⁴ +53m²º -127m¹⁶ +187m¹² -192m⁸ +87m⁴ -45  Solución.

_______________________________________

10)  6a⁵ -4a² +6a -2  por  a⁴ -2a² +a -7

6  +0  +0  -4  +6 -2

1  +0  -2  +1  -7     .

6  +0  +0  - 4  + 6  - 2

.         -12  -0  -  0  +8  -12  +  4

.                +6  + 0  +0  -  4  +  6    -2

.                       -42 - 0   - 0  +28  -42  +14

6  +0  -12  +2  -36  +6  -16  +38  -44  +14

(a⁵)(a⁴) = a⁹

-> 6a⁹ +0a⁸ -12a⁷ +2a⁶ -36⁵ +6a⁴ -16a³ +38a² -44a +14

= 6a⁹ -12a⁷ +2a⁶ -36⁵ +6a⁴ -16a³ +38a² -44a +14  Solución.

_____________________________________

13) x¹º -5x⁶y⁴ +3x²y⁸ -6y¹º  por  x⁶ -4x⁴y² +y⁶ -5x²y⁴

x¹º + 0x⁸y² -5x⁶y⁴ +x⁴y⁶ +3x²y⁸ -6y¹º  por  x⁶ -4x⁴y² -5x²y⁴ +y⁶  (0rdenados)

1  +0  -5  +0  +3  -6  

1  -4  -5  +1      -

1  +0  -5  +  0  +  3  -  6

.   - 4  -0  +20  -  0  - 12  +24

.         -5   -  0   +25 -  0  - 15 +30

.               + 1   +  0  -  5  + 0  + 3  -6

1  - 4 -10 +21  + 28  -23  + 9  +33 -6

(x¹º)(x⁶) = x¹⁶  

-> x¹⁶ -4x¹⁴y² -10x¹²y⁴ +21x¹ºy⁶ +28x⁸y⁸ -23x⁶y¹º +9x⁴y¹² +33x²y¹⁴ -6y¹⁶

Solución.

_________________________________________

16)  xª⁺² -5xª -6xª⁻²  por  6xª⁺¹ -4xª +2xª⁻¹ +xª⁻²

1  +0  -5  +0  -6

6  -4  +2  +1     .

6  + 0  -30  + 0  -36

.    -4  - 0  +20  -  0  +24

.          +2  +  0  -10  + 0   -12

,                +  1  + 0   -  5  + 0  -6

6  -4   -28  +21  -46  +19  -12  -6

(xª⁺²)(xª⁺¹) = x²ª⁺³

-> 6x²ª⁺³ -4x²ª⁺² -28x²ª⁺¹ +21²ª -46²ª⁻¹ +19²ª⁻² -12²ª⁻³ -6²ª⁻⁴  Solución.

_________________________________________

17) a²ˣ⁺² -a²ˣ -3a²ˣ⁺¹ -5a²ˣ⁻¹  por  3a³ˣ⁻¹ -5a³ˣ +6a³ˣ⁺¹

= a²ˣ⁺² -3a²ˣ⁺¹ -a²ˣ  -5a²ˣ⁻¹  por  6a³ˣ⁺¹ -5a³ˣ +3a³ˣ⁻¹  (ordenado)

1  -3  -1  -5

6  -5  +3    .

6  -18  -  6  -30

.    - 5  +15  + 5  +25

.           + 3   - 9  -   3  -15

6  -23  +12  -34  +22  -15

(a²ˣ⁺²)(a³ˣ⁺¹) = a⁵ˣ⁺³

-> 6a⁵ˣ⁺³ -23a⁵ˣ⁺² +12a⁵ˣ⁺¹ -34a⁵ˣ +22a⁵ˣ⁻¹ -15a⁵ˣ⁻²  Solución.

__________________________________________